【解题研究】绘制函数图象经验的迁移——2026年南京中考数学第27题

【解题研究】绘制函数图象经验的迁移——2026年南京中考数学第27题

在初中阶段我们学习一次函数、二次函数和反比例函数的时候，都会经历函数图象的绘制，从简单的直线到抛物线，再到双曲线，遵循的步骤通常是列表、描点、连线，由于一次函数的图象是一条直线，通常情况下我们只需要两个点就能画出来；而二次函数和双曲线至少需要五个点才能画出大致形状，我们在课堂上要求学生用铅笔绘制它们的时候，也是要求用平滑曲线去描，并没有要求精确经过每个函数上的点，这是只有计算机才能做到的事情，事实上我们在纸上绘制的抛物线和双曲线，都属于近似图象。

但在绘制图象之前，我们需要先确定函数自变量取值范围，变化趋势，对称性等，建立相应的直观模型之后再去绘制图象，能够让图象更接近真实曲线。

题目(回忆版)

背景材料：模拟“月食”变化

已知圆O的圆心为O，半径为3，另有一圆M，半径为2.当t=0时，圆M的圆心为(-4,3)，圆M以每分钟1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，在运动过程中，将圆M中未被圆O覆盖的部分称为“亮面”，当亮面再次变为一个完整的圆时，圆M停止运动，示意图如图所示：

(1)判断下列命题是否正确，并说明理由：

①亮面始终为轴对称图形；

②当t=8时，亮面再次为完整的圆；

③在整个运动过程中，亮面的面积始终不小于圆M面积的三分之二；

(2)画出亮面面积S关于运动时间t的大致图象，并简述理由.

解析：

01

(1)利用圆的基本概念和图形性质来判断：

①一个圆的对称轴是经过圆心的一条直线，两个圆组合而成的图形，对称轴是经过两圆心的直线，所以①正确；

②t=0时，圆M和圆O的位置关系是外切，此时圆心距为5，两圆半径分别是2和3，由两圆位置关系来判断；而当t=8时，圆M的圆心位置在(4,3)，同样利用两圆位置关系可判断它们外切，所以亮面是完整的圆；

③不妨称被圆O覆盖的部分为暗面，我们将命题改造得看上去更容易一些：

原命题：亮面的面积始终不小于圆M面积的三分之二

改造一：亮面的面积始终大于等于圆M面积的三分之二；

改造二：暗面的面积始终小于圆M面积的三分之一

暗面即两圆重合部分，而圆M的三分之一，是一个扇形，这个扇形的圆心角是120°，借助两圆心连线这条对称轴，我们在两侧各画一个圆心角为60°的扇形来拼成圆M的三分之一，如下图：

红色扇形面积即圆M面积的三分之一，两圆重合部分为黄色部分，此时满足暗面面积小于圆M面积的三分之一；

随着圆M的平移，它们之间的大小关系是否始终保持呢？直观发现，当圆M向右平移时，暗面的面积增大，直到圆心M到达y轴时最大，我们将这种特殊位置的图形画出来，如下图：

连接GH，交y轴于点F，连接OH，此时∠GMH=120°，GH⊥y轴，所以△HFM中，HM=2，FM=1，HF=√3；

又OM=3，所以OF=2，在Rt△FOH中利用勾股定理求出OH=√7<3，所以点H在圆O内部，而两圆交点C，D在圆O上，所以暗面面积大于扇形GMH的面积，即暗面面积大于圆M面积的三分之一；

这个特例说明③是错误的；

02

(2)首先S和t之间的函数关系在初中阶段没办法用解析式写出来，所以这就回到了我们最初学习函数的方法，将课堂上的经验迁移过来，解决这个新型函数的图象问题；

第一步：确定自变量t的取值范围

t=0时，圆M与圆O外切，这是变化的起点；当t=8时，圆M在右侧与圆O再次外切，这是变化的终点，所以0≤t≤8；

第二步：研究函数对称性，由图形性质可知亮面是轴对称图形，当点M距离y轴距离相同时，亮面面积相同，所以S关于t的函数也是轴对称图形，且对称轴是t=4；

第三步：研究函数中的特殊点，前面已经有了起点和终点，那么借助前一小题中③的研究，我们知道亮面最小值是t取4时，此时点M在y轴上，但我们没办法求出这个最值；

当t=0时，S=4π；当t=8时，S=4π，分别对应函数起点是A(0,4π)，终点是B(8,4π)；当t=4时，S小于圆M面积的三分之二，即S<8π/3，则可找到最低点C的大概位置，绿色虚线代表y=8π/3，在对称轴t=4左侧S随t增大而减小，在对称轴t=4右侧S随t增大而增大，如下图：

显然仅A，B，C三个点是无法较准确描述函数图象的，其中点C还只是大概坐标，继续寻求更多满足这个函数的点坐标，再连线作图，对于初中学生而言，确实很难；

但对于描点这件事，又是绘制函数图象必经之路，所以要解决的第一个问题就是，点坐标必须精准无比吗？

答案是未必，以二次函数描点为例，测量工具存在误差，哪怕坐标中出现的整数，描出来的点也只是在精准位置附近，更何况还存在大量点坐标是有理数甚至无理数的情况，所以我们在教材上所学习的描点，本身就不是“精确无比”，除了特殊位置例如原点，我们只需要找到那个精确位置附近的点就可以了。

要解决的第二个问题，究竟它是直线，还是曲线？不妨回想我们做出第一条抛物线之后，班上就有学生用线段连接各点，有经验的教师通常会设计一个小活动验证，即在这条线段上再寻找一个坐标已知的点，代入抛物线解析式中，发现它并不满足，所以证明了函数图象并不是直线，这个思路完全可以迁移至此处；

不是直线的理由：由于我们在计算亮面面积的时候，用到了扇形面积，在这个公式中需要圆心角∠COD和∠CMD，亮面面积=4π-扇形COD+扇形CMD-四边形CODM，其中四边形CODM面积为对角线乘积的一半，即1/2OM·CD，我们不用求出解析式也知道它一定不是关于某个变量的一次函数，因此它并不是直线；

不是抛物线的理由：抛物线解析式中是关于某个变量的二次式，同样根据亮面面积的求法，这里存在变量∠COD、∠CMD、OM、CD，其中OM与CD相乘属于二次变量，再结合前面的角的变量，所以它也一定不是抛物线；

通过作草图观察，亮面面积开始变化很小，到t=2附近变化很快，快接近最低点时变化又很小；

所以绘制出来的图象大致如下：

解题思考

虽然我们可以利用作图软件或工具得到精确的函数图象，但对于考场上的学生而言，他们能够使用的，只有手中的笔和自已的大脑，因此脑中的图象至关重要。

我们在学习函数图象的时候，通常情况下采取的列表描点连线法，只能用于可以求出其中的点坐标的前提下，并且绘制出来的也是“近似”图象，所以在作图时不要有顾虑，大胆想像，大胆动笔，在无法得到函数图象上的点坐标时，知道大概位置也可以作，所以题目要求是“大致图象”，反倒是利用微积分、反三角函数等超出了课标要求，这一类解法确实没必要给学生讲，解题秀技而已，换个角度，真要秀技，何必拿这种初等函数呢？高数那么多函数，去那儿最合适。

当学生尝试求点坐标而不得的时候，就是考察核心素养是否到位的时候，更是检查教师平时的教学是否深入的时候。我们在一次函数、二次函数、反比例函数作图时，是如何要求学生画的？尤其是反比例函数，它也是曲线，也不是直线或抛物线，课堂上是否有学生问到这个问题，教师又是如何回应的？