北京
很难想象还有比台球桌更简单的物理系统。
把球打向桌子另一边，它的路径遵循一条简单规则：沿直线前进，直到撞到桌壁，然后以与入射相同的角度弹开。
然而，即使如此简单的系统，至少从理论上说，也能重现一台复杂得多的计算机所能执行的任何计算。
据西班牙加泰罗尼亚理工大学的数学家伊娃·米兰达和瑞士苏黎世联邦理工学院的艾萨克·拉莫斯所说，一个球在一个特殊形状的二维台球系统中弹跳，可以模拟一台通用图灵机——也就是能够模拟任何其他图灵机的图灵机。
对米兰达来说，这是多年工作的成果，目标是把一个机械系统精简到作为计算机运行所需的最少部件。
“让一个物理系统进行通用计算所需的最小几何机制是什么？我们又如何检测它？”她说。
“台球系统是对这一简化过程最严苛的检验。单个粒子。整个程序都铭刻在边界的几何形状中。”
图灵机并不是传统意义上的机器。它是英国数学家艾伦·图灵在1936年提出的计算数学模型。
其最简单形式由一条假想的、被划分为若干格子的纸带，一个能在纸带上读写符号的读写头，以及一套告诉它下一步做什么的指令组成。
每个单独操作都极其简单：读一个符号，写一个符号，沿纸带移动，重复。
通用图灵机则更进一步：它能模拟任何其他图灵机，意味着它原则上能执行任何可表示为算法的计算。
米兰达和拉莫斯找到了一种方法，仅用几何和一个弹跳的球就能重现图灵机的功能。
在他们的数学“台球”模型中——他们用这个词来描述自己的系统——球的位置可以编码信息，而精心设计的墙壁形状决定这些信息接下来会怎样变化。
当球从台球系统的一处运动到另一处时，它的轨迹推进着计算，正如图灵机一步步执行指令。
台球系统此前就与计算联系在一起，但先前的模型需要额外的复杂性，例如多个相互作用的球、三维结构或移动的墙壁。
米兰达和拉莫斯把这一切都剥离掉。他们的系统只需要一个粒子在二维固定墙壁之间运动。
“一台会计算的台球桌看起来不像计算机。它看起来像画得很糟的迷宫，满是看似随意的角落和弧线，”米兰达说。
“程序就是墙壁的形状。算法就是轨迹，字面意义上的轨迹。”
但是，尽管可以把台球桌变成通用计算机，被传递过来的并不只是有用的部分。台球系统也继承了那些局限。
其中之一就是被称为停机问题的难题。
想象一下，让计算机判断一个程序最终会结束运行，还是会永远运行下去。
就个案而言，这完全可以做到——比如操作系统更新安装完成，或者文件转换结束。
但图灵证明，没有任何单一算法能对所有可能的程序和输入可靠地回答这个问题。
此前的研究表明，这一根本极限可以在涉及多个球的物理系统中重现。
米兰达和拉莫斯的台球系统表明，它也可以在单个球的运动中重现。
为证明这一点，研究人员设计了他们的台球系统，使计算达到停机状态时，对应的是球以90度角撞墙，并沿来路返回。
如果计算永不停机，球的轨迹就永不重复。但如果某种算法能判定它最终是否会重复，它就能解决停机问题——而正如图灵所证明的，这是不可能的。
“混沌设下精度壁垒；不可判定性设下逻辑壁垒，”米兰达说。
“即使我们精确知道方程和初始数据，也可能不存在算法能判定某条轨迹是否会进入给定区域。”
“这并不意味着每条个别轨迹都神秘莫测。在许多具体情况下，我们会得到答案。不可能的是有一种能解决所有情况的通用方法。”
有充分理由表明，没人会用台球来取代硅芯片。这个构造是理想化的数学模型，依赖以越来越精细的尺度编码的信息，而实体台球桌无法以无限精度重现这些信息。
但这类台球系统不只是数学奇观。
这些理论结构对物理学家很有用，因为粒子在边界之间弹跳的简单运动可以替代更复杂的物理系统，从气体中碰撞的粒子到受陡峭束缚力支配的系统。
“我们可以说，它们是经典力学的一种骨架，”米兰达说。
这种骨架甚至可以出现在天体力学中，尤其是在引力天体近距离相遇的数学描述中，包括以极其困难著称的三体问题的各种变体。
这并不意味着米兰达和拉莫斯已经证明三体问题本身是不可判定的。
相反，他们的工作提出了一个问题：同样的计算极限是否会在更现实的引力系统中出现——从而把不可判定性加入混沌，成为预测的又一根本障碍。
“需要多少颗行星，引力才能进行计算？”米兰达说。“需要多少颗，不可判定性才会出现？也许三颗，也许五颗，也许更多。这完全是一个开放问题。”
该研究已发表在《美国国家科学院院刊》上。
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