刚刚，GPT-6 Astra取得哥德巴赫猜想重大突破！

来源：新智元

编辑：Aeneas 大卫

数学界重大突破！

就在最近，GPT-6 Astra又在哥德巴赫猜想上取得新进展了。

网友Captain Sude宣布：Astra已成功证明了关于刘维尔函数的一项类哥德巴赫猜想！

具体来说，它无条件证明了哥德巴赫猜想的Liouville弱形式。

更惊人的是，跟我们的想象不同，这一次，Astra并不只是靠着大力出奇迹的算力碾压——它做出l非常优雅的逻辑推理。

并且，这个证明现在已经通过了Lean 4的形式化验证。

摘不下的明珠

在这之前，哥德巴赫猜想这个幽灵，已经折磨了人类数学家近三个世纪。

1742年，哥德巴赫在欧拉的信中提出这个猜想：「任一大于2的偶数，都可以写成两个素数之和。」

为了它，无数人耗尽心血。从哈代、李特尔伍德，到陈景润证明「1+2」，人类始终无法皇冠上的明珠——「1+1」。

这是因为，素数的分布太诡异了！

既然死磕行不通，数学家们脑洞大开，搞出一套「替身文学」——刘维尔版本的哥德巴赫猜想。

为了模拟素数，数学家们引入了一个奇妙的工具：刘维尔函数。

这个函数记作 ，其中的代表一个数字包含的质数因子的总个数。

它的规则就像一个只认「单双数」的开关：如果一个数包含的质数块个数是偶数，那么λ(n)=1。

如果包含的质数块个数是奇数，那么λ(n)=-1。

所有的纯质数（比如2, 3, 5, 7, 11），它们的刘维尔函数值绝对都是 -1！然而，反过来并不成立，比如8、12的λ值也是 -1。

2018年，在知名数学论坛MathOverflow上，有人提出了一个弱化版哥德巴赫猜想：

对于每一个大于2的偶数N，是否总能找到两个正整数 a和b，使得 N=a+b，并且 λ(a)=λ(b)=−1。

如果经典的哥德巴赫猜想是对的，那么这俩素数的刘维尔值必然都是-1，所以这个「刘维尔猜想」也绝对是对的。

但现在，数学家们放宽了条件：加数不一定非得是纯素数，只要它的质因子个数是奇数就行！

黎曼阴影下的突围：AI给出惊天两页纸

既然放宽了条件，应该很容易证明吧？结果，它依然难得令人发指！

问题的核心在于，数学家想要研究这种正负交替的符号在加法组合下，会不会像抛硬币一样互相抵消，从而揭示隐藏在加法底下的深层秩序。这关乎打通数学中「乘法积木」与「加法组合」的桥梁。

直到2024年，数学家 Alexander P. Mangerel 终于有了突破。在一篇论文中，他证明了：对于所有足够大的偶数，这个猜想是成立的。

链接：https://arxiv.org/abs/2404.12117

但是！它的证明带着两个限制。

1.「足够大」：意味着它不包括那些比较小的偶数。

2.「GRH」：他的证明严重依赖于广义黎曼猜想。也就是说，只有在广义黎曼猜想成立的前提下，他的结论才成立。

而这一次，Astra 和 Captain Sude 的团队，直接把这两个枷锁突破了！

一开始，Astra丢出了一份仅仅只有2页纸的PDF。

这份精悍的论文中，Astra 宣布——

无需广义黎曼猜想，可以无条件证明：所有能被4整除的正整数，都可以表示为两个刘维尔值为-1的正整数之和！

在PDF中，Astra巧妙地利用了Mangerel论文中的一个「无条件相关性界限」，结合了一个极其精妙的下降法。

定理的核心逻辑，是用反证法：假设存在一个奇数 m（不被3整除），并且在4m这个规模下，没有任何一对和为4m的数字的刘维尔值都是 -1。

接下来，Astra开始步步紧逼。

1.因为乘以4不会改变刘维尔值，所以m本身也不能被拆成两个负号的数。

2.因为乘以2会翻转刘维尔值（多了一个质因子2），所以 2m 不能被拆成两个正号的数。

3.接着，AI通过构造 a+b=m 且 λ(a)=λ(b)=1的情况，并选取差值 b−a 最小的一对，利用它们与 3的整除关系，强行推导出了一个矛盾！

它发现，如果你假设 4m没有这样的拆分，那么通过乘法与加法的交错逼近，最终会在局部迫使所有的数字都带有相反的符号，这直接违背了Mangerel之前证明的界限。

就这样，仅仅用初等的代数推导（甚至高中生都能看懂推导过程），Astra就这样发现了无条件成立的情况。

48小时，彻底终结全偶数域

而且，还没结束。

据项目作者 Captain Sude 透露，Astra 在第一天证明了「4的倍数」情形后，第二天，它又找到了一条全新的初等证明路线，直接把结果推广到了全部大于2的偶数！

这一次，它给出这个核心主张：

其中，没有任何「充分大」的限制，没有有限例外集，所有偶数，无条件成立！

而它的证明思路，更是让人拍案叫绝。

它并没有使用暴力穷举，也没有靠把以前的解析估计压缩得更紧，而是玩了一步漂亮的「结构转化」。

AI的逻辑链条如下。

第一步：寻找替罪羊。 AI先证明，对于每一个大于3的素数p ，都存在正整数u,v，使得2p=u+v，并且它们的刘维尔值都是1。如果不成立会怎样？这就构成了「加法符号模式的缺失」。

第二步：逼迫现出原形。 把刘维尔函数延拓到有限域Fp上，定义一个函数G。因为前面的「加法分解不存在」，这个函数G在局部被逼出了乘法对称性缺陷（Defects）。

第三步：完美的交换律。 这是证明中最惊艳的一笔！因为乘以 -2 再乘以 -3，和乘以 -3 再乘以 -2 是一样的。AI利用这个「可交换」的性质，让两条路径互相抵消，最终把所有的非零缺陷全部消灭！

第四步：向全局传染。 利用一个下降引理，把局部成立的乘法规则，像病毒一样传播到整个有限域，强迫函数G变成一个全局严格的乘法对象。

第五步：致命一击（二次剩余制造矛盾）。 既然G变成了严格的乘法函数，那么任何数的平方，其G值必须是 1。然而，根据二次互反律，能在有限域内找到一个素数ℓ，它明明是个「平方数」，但因为它是素数，它本身的刘维尔值又必须是 -1。

于是，1 = -1。矛盾爆发！

至此，一开始「分解不存在」的假设被彻底粉碎。Liouville–Goldbach 猜想在全偶数域无条件成立！

这条把加法阻碍转化为乘法刚性的论证路线，简直太优雅了，体现了高度抽象和直觉的顶级思维。

已通过Lean 4形式化验证

这一次，Astra还同时提交了Lean 4的完整形式化验证。

通过Lean 4验证，就意味着逻辑上绝对正确。

知乎上UP主@SUNNY99 立马对 Astra 开源的 v1.0.0 版本进行了独立复核。结果令人震撼：Lean 证明可以完美重新编译！

其中，最终定理与论文主张完全一致。代码里没有任何「sorry」（在Lean中代表未填补的坑）、没有乱造的自定义数学公理、所有的公理依赖完全正常，249个偶数的数值冒烟测试全部通过。

看到这里，可能有些朋友会问：那这代表哥德巴赫猜想彻底被解决了吗？

我们必须严谨地说：还没有。

目前解决的，是哥德巴赫猜想的刘维尔弱化版本。

从「质因数个数为奇数的合数」跨越到「纯正的质数」，中间仍然隔着天堑。经典的哥德巴赫猜想，依然是那颗高高悬挂的果实。

但是，这绝不意味着这次突破不伟大。

首先，在纯数学意义上，它为整个数论搭起了一座打通「乘法积木」与「加法组合」的宏伟桥梁。

这可能就是未来攻克原版哥德巴赫猜想的核心钥匙。

其次，在AI意义上，这是一个历史性的奇点时刻。

一直以来，我们认为AI擅长的是海量记忆和暴力计算，比如下围棋、算蛋白质折叠。但这一次，Astra 展现出了惊人的数学直觉和品味。

它像一位极具天赋数学家，写出一篇让人类数学家直呼优雅的证明。

参考资料：

https://x.com/captain_sude/status/2099890355613155420

https://www.zhihu.com/question/2083895373177931200/answer/2084099614551102975