【解题研究】数学情境怎么玩——2026年南通中考数学第25题

【解题研究】数学情境怎么玩——2026年南通中考数学第25题

在2022版新课标理念中提出“教学活动应注重启发式，激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题”，关于真实情境的理解，不能简单当作生活情境或现实背景，数学来源于生活没错，反过来生活中也包含数学，数学本身也有自已的情境，同样也属于真实情境范畴，我们在这个情境中进行数学主题活动或项目活动，同样能发展学生的核心素养。

许多生活情境可抽象成数学情境，而赋予数学情境一定的现实意义，它也是生活情境，无论是哪一种，都符合新课标理念。

题目

主题式学习：某校九年级学习小组围绕“坐标系中的图形旋转问题”进行研究.

数学情境

在平面直角坐标系xOy中，将点M(m,1)(m≥3)绕点O逆时针旋转得到点A.旋转角为α(30°≤α≤60°)，点A关于直线OM的对称点为B.分别过点A，B，作AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C，D.设线段AB与OM交于点E，连接CE，DE.

特例感知

(1)如图1，当m=3，α=45°时，求线段AB的长；

猜想证明

(2)在图2中根据“数学情境”作出图形，判断线段CE，DE的大小关系，并说明理由；

拓广探索

(3)若w·cosα=OC+OD，求实数w的取值范围.

解析：

01

(1)此时M(3,1)，α=45°，由对称性可知∠AOB=90°，所以△AOB是等腰直角三角形，AB=√2OA，而OA=OM，由两点距离公式求出OM=√10，所以AB=2√5；

02

(2)作图之后，先猜想CE和DE相等，然后思考如何证明；由两根垂线可知AC∥DB，再加上点E是AB中点，所以构造全等三角形相对容易，如下图：

延长DE交AC于点F，则△AEF≌△BED，于是DE=FE，而在Rt△DCF中，CE是斜边DF上的中线，所以CE=DE；

03

(3)条件w·cosα=OC+OD确实初看上去挺不“友好”的，又是三角函数又是线段和，所以需要学生能在读到条件的同时，利用数学概念进行解读，首先说cosα，它作为旋转角指∠AOM，初中阶段的三角函数依赖于一个直角三角形，恰好它也在Rt△AOE中，所以cosα=OE/OA，但新的困惑在于，一个线段比值乘以一个常数w，怎么就变成另两条线段和了呢？

目光转向OC+OD，它们都在x轴上，其中OD包含OC，因此OC+OD=2OC+CD，想到这一步，前面路学生就不太能看清了，接下来究竟朝何处去？

前面我们证明了EC=ED，即CD是等腰三角形的底边，所以它也可以写成某条线段的2倍，形式上就和2OC吻合了，因此过点E作EF⊥x轴，如下图：

现在OC+OD=2OC+2CF=2(OC+CF)=2OF，对于条件右侧的化简，也到此为止了；我们简单归纳一下目前的进展:w·OE/OA=2OF，处理线段比值，学生最容易想到的是利用相似三角形，当我们过点E作EF⊥x轴之后，将比值中的OA换成OM，便可联想到过点M作MG⊥x轴，OE/OM就能派上用场了。

由EF⊥轴，MG⊥x轴，可证△OEF∽△OMG，得比例式OE/OM=OF/OG，其中OG=m，所以继续前面的推理：

最后得到w=2m，由于m≥3，所以w≥6.

解题思考

我们读武侠小说时，会有这么一个感觉，武器越怪死得越快，传统武器经过千百年发展，最终剩下的也就十八般兵器，适用不同场合，这和我们教学生解题十分类似，教材上的基本概念、基本题型(母题)搞清楚了，中考压轴题其实是不在话下的，没必要去训练解题套路，换在解题教学中，套路越多死得越快。

这道题拿到手之后，就有学生开始写直线OM的函数解析式，然后表示各点坐标，又引入一堆新参数，试图用解析法完成，这条路也能走得通，但路上的艰辛，正是给概念理解买单了，课堂上有多忽视概念，解题过程就有多复杂。

在数学情境中，思维不能局限，既然是探究，就不会只设置一条路，所以几何图形解析化在初中阶段并不太好使，初中数学应该有初中数学的样子，该在高中学习的方法，不轻易“下放”到初中，这也是尊重新课标、新教材，更重要的是尊重数学教学。