湖北
【解题研究】轮换式参数的奥秘——2026年南通中考数学第16题
含参一元二次方程是学生一直以来理解的难点，包括含参二次函数，由此带来的对“参数”的恐惧，贯穿于所有中等生的学习生涯，我们没办法移植学霸们的大脑给中等生，只能耐心地引导他们去逐步理解，从核心概念解读开始，到真的懂了，最后真的会了。
一元二次方程根与系数的关系，是新教材相对旧版强化的部分内容，在不需要求根的前提下研究一元二次方程，系数当然是关键，而找准它们的关系是重点。
题目
关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)有两个相等的实数根.
(1)若a=1，b=c+1，则代数式c²-2c的值为_______;
(2)若m，n为不相等的非零实数，当a=m-n，b=n-mn，c=mn-m时，代数式(2m-n)/2mn的值为__________;
解析：
01
(1)由“方程有两个相等的实数根”得△=0
即b²-4ac=0，将a=1，b=c+1代入：
(c+1)²-4c=0
(c-1)²=0
所以c=1，则c²-2c=-1；
02
0 1
方法一
先观察a，b，c三个参数的表示形式，均含参数m，n，其中mn这一项是二次项，以我们解方程消元的经验来看，它非常不容易处理，所以优先处理，让它消失最好。所以基于这个“经验”，再观察发现b+c的结果，刚好可以消掉mn，于是b+c=n-m；
很惊喜地再次发现a=m-n，所以我们便有了a+b+c=0，即b=-a-c；
仍然从△=0出发
b²-4ac=0
将b=-a-c代入得(-a-c)²-4ac=0
(a+c)²-4ac=0
(a-c)²=0
所以a=c，即m-n=mn-m
移项得2m-n=mn
所以(2m-n)/2mn=1/2；
0 2
方法二
仍然观察a，b，c三个参数的形式，发现得更多，a+b+c=0，比方法一更快得到。
但对于这个等式的解读不一样，说明x=1是这个方程的一个根，同时题目说这个一元二次方程有两个相等的实数根，则这两个实数根都是1；
由根与系数的关系可得-b/a=1+1=2，即b=-2a
所以n-mn=-2(m-n)，整理后得2m-n=mn，结果仍然可得(2m-n)/2mn=1/2;
0 3
方法三
由a+b+c=0可知x=1是这个方程的两个相等的实数根，则这个方程一定可以写成a(x-1)²=0的形式，所以a=c，即m-n=mn-m，得2m-n=mn
最后(2m-n)/2mn=1/2.
解题思考
其实这些方法都是基于这三个参数间的关联，这也属于轮换式代数式，当学生发现这三个参数的和为0时，这道题的口子就打开了，至于后面的路有多少条，那是仁者见仁，智者见智了。
从研究一元二次方程根与系数关系来看，其实给出的这三个关于m，n的代数式，就是想告诉学生这三个参数间的数量关系，即a+b+c=0，进而联想到当x=1时，a+b+c=0，这个关联建立起来之后，学生顿时便觉得此题很简单了。
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