湖北
【解题研究】圆中的黄金等腰三角形——2026年南通中考数学第10题
我们在八年级学习等腰三角形的时候，会接触到一类特殊等腰三角形，当然不仅是指等边三角形，那太特殊了，当等腰三角形中有特殊角的时候，它的边角关系也存在特殊联系。例如等腰直角三角形，有一个角是90°的等腰三角形，三边满足1:1:√2；有一个角是120°的等腰三角形，三边满足1:1:√3，当然它还能被进一步分成两个含30°角的直角三角形等；
还有一类三角形(人教版八年级上册数学教材79页例1)是含36°的等腰三角形，包括顶角是36°或底角是36°，我们在例题中见识过它的特殊性，而在圆中，借助圆周角的转移作用，它还能有更多变化。
题目
如图，正五边形ABCDE内接于圆O，圆O的直径为DM，连接AM，BM，CM，EM，小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论.小慧：∠BMC=36°；小丽：AM/CM+OM/EM=1.下列关于两人结论的判断中，正确的是（ ）
A.小慧和小丽的结论都正确
B.小慧和小丽的结论都错误
C.小慧的结论正确，小丽的结论错误
D.小慧的结论错误，小丽的结论正确
解析
对于圆内接正五边形而言，直径DE是它的一条对称轴，所以由对称性可得EM=CM，正五边形的五个顶点将圆周分成五等分，每一段弧所对的圆心角是72°，而∠BMC是其中一段弧BC所对的圆周角，所以∠BMC=36°，小慧的结论正确；
将小丽的结论利用EM=CM变换一下，得(AM+OM)/EM=1，即只要能证明AM+OM=EM即可；
经典的证明两条线段和等于另一条线段，基本思路是截长补短：
0 1
方法一
在DM上截取MF=ME，连接EF，OE，OA如下图：
刚才证明了正五边形将圆分成的五段弧，每段弧所对圆心角是72°，而点M是弧AB中点，所以弧AM所对圆心角是36°，△AOM是顶角为36°的等腰三角形且腰长是半径；
由∠DME=1/2∠DOE=36°，则△EFM也是顶角为36°的等腰三角形，所以∠EFM=72°，又∠DOE=72°，得△EOF是等腰三角形，且顶角也是36°，腰长是半径；
于是△AOM≌△OEF，AM=OF，再加上MF=ME，所以得到AM+OM=EM，小丽的结论正确；
0 2
方法二
连接OE，OA，OA与EM相交于点G，如下图：
前面已经证明过△AOM是顶角为36°的等腰三角形，不再重复；
∠AEM是弧AM所对圆周角，所以∠AEM=1/2×36°=18°，而∠AEO=54°，所以∠OEG=36°，即△OEG也是顶角为36°的等腰三角形，∠AGM=∠EGO=72°，得到△AGM同样也是顶角为36°的等腰三角形，这些等腰三角形可以得到EG=OE=OM，AM=GM，所以AM+OM=EM，同样证明了小丽的结论是正确的；
解题思考
本题只是利用了含36°等腰三角形的基本性质，其实最关键的一点是利用了正五边形和圆的对称性，从而将问题转化成两条线段和等于另一条线段的问题，方法一是补短，将AM和OM都搬到了FM处，方法二是截长，将EM分成了AM和OM，因为通常情况下，能截长也能补短，这两种方法是相通的。
题目难度不高，但考察学生对圆心角、圆周角、弧之间的关系，也考察了轴对称性质，特殊等腰三角形，是一道十分优秀的选择压轴题。
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