【解题研究】抛物线中的矩形边界——2026年扬州中考数学第28题

【解题研究】抛物线中的矩形边界——2026年扬州中考数学第28题

矩形作为一个封闭图形，将整个平面分成矩形内、矩形上、矩形外三部分，将这个矩形放在平面直角坐标系中，则矩形上的点坐标存在最值，这很容易理解，无论是从数或形角度。

现在加入抛物线背景，以抛物线上任意两点作为矩形顶点，随着这两点位置不同，矩形内部的点最值也随之发生变化，这需要学生对这个变化的矩形有一定的几何直观，更要求学生对函数变化有足够的了解。

2026年全国各地函数压轴题中，这一类考查方式屡见不鲜，有非常精彩的命题（例如本题），也有相对平庸的命题。虽然是讨论矩形，但本质上仍然是研究函数性质，体现函数思想。

题目

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+1经过点(2,1)和(4,-7).

(1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标；

(2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m,n(m

①若m=-2，矩形R的垂直高度h=9，则矩形R的水平宽度p的取值范围是________________；

②若矩形R的水平宽度p=5，则矩形R的垂直高度h的取值范围是_________________；

③若矩形R为正方形且边长为3，求点M的坐标.

解析：

01

(1)将点(2,1)，(4,-7)分别代入y=ax²+bx+1，解出a=-1，b=2，所以抛物线解析式为y=-x²+2x+1，化为顶点式后为y=-(x-1)²+2，即顶点为(1,2)；

02

(2)矩形R的顶点未必一定是M，N，这一定要注意，因为M，N两点间的抛物线上，最高点和最低点不一定恰好就是M和N，因此在每个小题中，先找抛物线，再定最高最低点，最后才能知道矩形边界在哪；矩形R的水平宽度p与M，N的横坐标有关，而矩形R的垂直高度h与图象G的最高点最低点有关；

①当m=-2时，点M坐标可求出，为(-2,-7)，则另一点N的位置可能在何处，是首先要明确的，如下图：

可能是图中的位置吗？此时需要看条件“矩形R的垂直高度h=9”，图中点A为抛物线顶点，那么点N在抛物线上可能的位置：点M左侧、M和A之间，点A右侧，根据m

需要注意的是，点N不能在M点下方，如下图：

此时图象G的最高点为A，最低点为N，“垂直落差”超过9；

所以，我们得到了点N可能的范围，自(1,2)开始，至(4,-7)为止，所以矩形R的水平宽度p的取值范围是3≤p≤6；

②矩形R的水平宽度p，与M，N横坐标有关，当p=5时，即n=m+5；

而矩形R的垂直高度与最高最低点有关，此时我们并不知道最高点和最低点在哪里，须分类讨论:

第一类，当MN均在对称轴同侧时，同为左侧或同为右侧情况类似，我们研究其中一种即可；

若M，N均在对称轴x=1右侧，即m>1时，分别写出它们的坐标M(m,-m²+2m+1)，N(m+5,-m²-8m-14)，此时图象G并不包含抛物线顶点，所以矩形R的形状大致如下图：

则矩形R的垂直高度h=-m²+2m+1-(-m²-8m-14)=10m+15，而m>1，则h>25；

第二类，当M，N分别在对称轴两侧时，此时矩形R的最高点是顶点A(1,2)，最低点还需要M，N两个点纵坐标PK一下；

显然当M，N“势均力敌”时，这个最低点是可以确定的，如下图：

-m²+2m+1=-m²-8m-14，解得m=-3/2，所以M(-3/2,-17/4)，N(7/2,-17/4)，此时矩形R的垂直高度h=2-(-17/4)=25/4；

所以矩形R的垂直高度最小也是25/4，即h≥25/4；

③借助前面的探究，矩形R的水平宽度p=3，仍然设M(m,-m²+2m+1)，N(m+3,-m²-4m-2)，同样需要分类讨论：

第一类，当M，N均在对称轴同侧时，例如都在右侧，则m≥1，矩形R的垂直高度h=6m+3，此时h≥9，不符合正方形要求，同理都在左侧也不符合；

第二类，当M，N分别在对称轴两侧时，此时正方形R的最高点是A(1,2)，最低点需要M，N相互PK一下，由抛物线对称性可知，当MN中点在对称轴左侧，则M比N低；反之当MN中点在对称轴右侧，M比N高，以此为进一步分类依据：

当m<-1/2时，2-(-m²+2m+1)=3，解得m=1-√3；

当m>-1/2时，2-(-m²-4m-2)=3，解得m=-2+√3；

接下来求纵坐标就容易了，直接代入即可.

综上，点M的坐标为(1-√3，-1)或(-2+√3，6√3-10).

解题思考

对于形状不确定的几何图形，分类讨论是必要的，明白为什么要分类比怎样分类更重要，本题中的图象G和矩形R是相互关联的，虽然没有新定义的样式，但实质上却和新定义无二，这也是新中考特色之一。

学生理解这道题的难点就在于如何从图象G中找到合适的点去构造矩形R，尤其是矩形R的垂直高度、水平宽度分别与M，N，顶点A之间的关系，把这一层弄明白，本题难点自然也就突破了；而另一层需要明确的则是函数图象性质，尤其是对称性，我们在分类讨论的过程中多次用到了“同理”，学生是否真的明白道理相同，是我们在给学生讲解时重点确认的，有时老师一句同理可得，学生一脸懵，或者半懂，都不是课堂上应该有的状态。

将矩形和抛物线结合的压轴题很多，但论及数学思想高度，扬州这道题确实突出，虽无新定义之名，却有新定义之实，没有数形结合的思想，想不到边界是正常的。