Quanta：博士生证明分形量子不确定性原理

导语

不确定性原理是量子力学的核心结论，其数学本质根植于傅里叶变换，描述了函数空间域与频率域此消彼长的约束关系。分形不确定性原理将这一思想延伸至具有自相似、多孔特征的分形集合，解释了经典混沌与量子混沌的本质差异。一维情形已于2016年得到证明，但高维推广长期存在理论障碍。2026年麻省理工学院博士生Alex Cohen引入 “线多孔性” 条件，借助复分析工具完成高维分形不确定性原理证明。该成果不仅完善调和分析理论，也为双曲空间等混沌系统的波动力学研究提供全新工具。

关键词：分形不确定性原理，傅里叶变换，调和分析，分形，混沌系统，高维空间

来源：集智俱乐部

作者：王璇

审校： 赵思怡

文章题目：Graduate Student Proves a Quantum Uncertainty Principle for Fractals 文章链接：https://www.quantamagazine.org/graduate-student-proves-the-fractal-uncertainty-principle-20260812/ 发表时间：2026年8月12日 文章来源：Quanta Magazine

这套融合混沌理论、量子理论与无限复杂分形结构的数学成果，被称作一项 “奠基性结论”。

图1：高维空间中波函数传播与分形混沌的抽象示意图

在量子尺度下，微观粒子会表现出奇异的行为。其中一大根源便是不确定性原理：你对一个量子粒子的位置了解得越精确，对它运动速度的认知就越模糊，反之亦然。最近，这条经典理论迎来一次意义重大的拓展。

新的不确定性原理和分形有关：无论把图像放大多少倍，分形的复杂程度始终保持不变。

大约十年前，麻省理工学院数学家Semyon Dyatlov（谢苗・佳特洛夫）就在研究：处于相同混沌环境中时，量子粒子的行为是否会和普通粒子有所不同。处于混沌运动状态的物体，有时会被束缚，永远沿着类分形轨迹运动。那量子粒子是否也会出现这种情况？

量子粒子会像波一样向外弥散，自身精确位置会变得模糊。为弄清量子粒子是否会因为弥散效应过强，而无法形成这类复杂的束缚轨迹，佳特洛夫需要一套全新的不确定性原理，一套可以处理分形问题的原理。

2016 年，依托著名数学家Jean Bourgain（让・布尔甘）（这项工作完成后不久他便离世）提出的关键思路，佳特洛夫证明了一维分形的分形不确定性原理。一维分形表现为锯齿状线条，这类线条可以描述二维平面内物体的运动轨迹，比如台球桌上滚动的台球。同年秋天，佳特洛夫与布尔甘在新泽西组织了一场研讨会，集结全球各地数学家，希望把该证明拓展到更高维度。拓展后的证明既可以用来研究三维现实世界，本身也会成为一套普适的数学工具。

图2：Alex Cohen（亚历克斯・科恩）

但这项工作难度远超预期。参会者之一、索邦大学数学家Frédéric Naud（弗雷德里克・诺德）回忆，研讨会结束时，“几乎没人相信这件事能够做成”。

数年之后，麻省理工学院博士生Alex Cohen（亚历克斯・科恩）终于取得突破。2025 年，他在数学界顶刊《数学年刊》发表论文，将分形不确定性原理推广到全部高维情形。该成果也成为他的博士毕业论文，25 岁的他也借此获得纽约大学助理教授职位。

高等研究院的Peter Sarnak（彼得・萨纳克）评价，分形不确定性原理是 “一项奠基性成果”，“一个博士生能做出这样的成果，相当了不起”。

该原理已经揭示出量子粒子与经典粒子之间一处全新的深层差异。

弹球机的启示

不确定性原理在粒子物理中看似晦涩，但也会以不那么神秘的形式出现。声音持续时间越短，我们就越难确定它包含的音调。短促的雷达脉冲可以精准定位潜艇，却需要更长的信号才能判断潜艇的运动状态。

包括量子版本在内的所有不确定性原理，都源自同一个数学内核。这套更深层的数学不确定性原理具备广泛适用性，几乎可以作用于任意函数（也可以粗略理解为任意曲线，无论它多么崎岖无序）。它来自 19 世纪诞生的一个方程 —— 傅里叶变换。该变换以法国数学家约瑟夫・傅里叶命名，可以把任意函数拆解成一系列不同频率（音调）的简单波，把这些简单波叠加，又可以还原出原始函数。

不确定性原理就蕴含在傅里叶变换之中。无限延展在整个空间的简单正弦波，拥有唯一确定的频率，因此它的傅里叶变换是一个单独的尖峰。而军鼓的敲击声在空气中表现为一个脉冲，它的傅里叶变换会覆盖很宽的频率范围，对应一段没有明确音调的声音。

图3： 正弦波只有一个确定频率（傅里叶变换为单一尖峰），而鼓点是一段脉冲（频谱很宽）

图4：函数越窄，其傅里叶变换就越宽，反之亦然

一般来说：函数本身越窄，它的傅里叶变换就必然越弥散，反之亦然。换句话说：你对函数在空间中的峰值位置掌握得越确定，对它的频率（随时间的变化方式）就越不确定。

在量子力学中，粒子被数学描述为波，波的峰值对应粒子最有可能出现的位置。这列波的傅里叶变换描述粒子的运动。这正是量子粒子的位置和动量无法同时被精确测量的根源：二者通过傅里叶变换相互关联。

但如果我们对一个分形形态的函数做傅里叶变换，又会发生什么？

要理解这个问题，我们可以看一个简单分形：取一条线段，切为三段，去掉中间一段；不断重复这个操作，把剩下的每一段再三等分，删掉中间部分。最终得到的分形集合叫做康托尔集。这个集合具备数学家所说的 “多孔” 特性：在任意尺度下，集合内部都布满孔洞，就像海绵。

图5：康托尔集：反复删去线段的中间段，得到处处有洞的“多孔”分形

想象这个康托尔集位于x轴上，集合上的每一个点，都对应一个频率的峰值。

分形不确定性原理指出：如果把这组分形分布的频率对应的波叠加在一起，得到的曲线就不能再是分形，它不可以具备多孔特性。反过来也成立：如果对一个分形形态的函数做傅里叶变换，输出结果就不能是一组分形分布的频率。

图6：把康托尔集放在 x 轴上，每个点对应一个频率峰

图7：分形不确定性原理：类分形的频率集叠加出的曲线，不可能仍是"多孔"的分形

这类分形形态的函数听起来十分罕见，但数学家研究量子粒子（或者更广义的波）在混沌环境中的行为时，就会频繁遇到它们。

就像弹球机里乱撞的弹珠，处于混沌状态的物体会在整个空间内无规律运动。哈佛大学数学家Elena Kim（埃琳娜・金）说：“观察它的运动轨迹，看起来就像随手画的乱线。”

图8：哈佛大学的数学家 Elena Kim（埃琳娜・金），已用分形不确定性原理理解非常规空间中的混沌系统

但少数情况下，物体可以在混沌之中找到稳定状态。在平面弹球机里，一颗弹珠可以永远被困在三个缓冲挡板之间来回弹跳。它不会重复完全相同的路径，但会始终被限制在挡板之间，每一次撞击的落点都有细微差别。如果你标记出弹珠撞击挡板的每一个位置，就会发现这些标记点构成类似康托尔集的结构。

这一堆标记点也被叫做分形尘埃。绝大多数撞到挡板的弹珠都会飞离出去，“剩下的就是这堆尘埃”，加州大学伯克利分校的Maciej Zworski（马切伊・兹沃尔斯基）解释道。

但分形不确定性原理告诉我们：波和弹珠不一样，波无法被束缚在分形轨迹上。如果你试图把一束波限制在三块挡板之间，波就会向外泄漏、逃逸。

佳特洛夫表示：“量子混沌和经典混沌之间确实存在本质区别，而不确定性原理，就是我们用来研究这种区别的工具之一。”

未竟的知识

2021 年，科恩进入麻省理工学院，他自称是一名 “年轻、充满干劲的调和分析学者”。调和分析这一数学方向，专门研究函数与其傅里叶变换。读博期间，他听过很多佳特洛夫关于分形不确定性原理的报告。科恩回忆：“每场报告结尾，他几乎都会说：‘我们还没有高维版本的分形不确定性原理，真希望我们能把它做出来。’我当时就想，好吧，这看起来是个很有意思的研究课题。”

可很快，他的热情就遭遇现实阻碍。数学家已经知道，很多场景下分形不确定性原理在高维空间会失效。科恩面临的第一个难题，就是找到一套清晰的判定条件，排除这些失效的情况。

图9：谢尔宾斯基地毯：反复删去正方形网格的中心方块；它有很多洞，但仍能画出完全落在其中的直线。

分形的典型特征就是多孔，也就是处处都能找到孔洞。二维分形谢尔宾斯基地毯就是例子：把正方形不断切分成更小的方格，反复挖掉中心方格。但这个图形虽然孔洞众多，却可以在它内部画出一条完整连续的直线。

这类直线会直接破坏分形不确定性原理。竖直线的傅里叶变换是水平线，反之亦然。在二维及更高维空间中，这两种直线都属于分形——因为直线不占据面积，周围绝大部分空间都是空白，满足孔洞密布的条件。因此，只要一个分形内部包含完整连续的直线，分形不确定性原理就不再成立。

科恩需要定义一套更严格的 “多孔” 概念。他提出了线多孔性：在这个分形上，无论你画哪一条直线，直线都会频繁穿过孔洞。他的证明把不满足该条件的分形排除在外，普通的谢尔宾斯基地毯就被排除；但如果修改谢尔宾斯基地毯，制造更多空白区域，修改后的版本就满足该条件。

图10：线多孔性：分形上任何一条直线都应碰到许多洞——一种更严格的"多孔"条件。

确立好前提假设之后，科恩正式着手证明。他很快意识到，这个问题和他之前处理过的所有傅里叶相关问题都截然不同。“我用尽了自己掌握的全部工具，没有一个能沾上边。”

陷入困境后，他回头仔细研读佳特洛夫与布尔甘的一维版本证明，想要彻底搞懂其内在逻辑。

佳特洛夫和布尔甘的证明用了一套并不常见的思路：他们把分形函数的一个个峰值单独剥离出来，证明每一个峰值的傅里叶变换都会向外弥散；把所有峰值的傅里叶变换叠加之后，整体的傅里叶变换就无法高频归零，也就无法形成分形——不会拥有足够多的孔洞。

图11：Jean Bourgain（让・布尔甘）是横跨数学众多领域、发表过 500 多篇论文的作者。

想要单独剥离每一个峰值，就需要构造一个特殊函数：把它和原始分形函数相乘，就可以单独提取出这一个峰值，而在其余位置取值几乎为零。这个函数叫做阻尼函数，需要高度定制化。科恩坦言：“构造这样一个东西难度很高。” 但他明白，如果能在高维空间实现阻尼函数，整个证明的大门就会被打开。

科恩向佳特洛夫请教构造该函数的思路。布尔甘在 2018 年末离世之前，也在为这个难题苦苦思索，他把自己未发表的笔记留给了佳特洛夫，佳特洛夫又把笔记给到科恩。“布尔甘是传奇的分析学家，” 科恩说，阅读这些笔记就仿佛 “接过他留下的未竟的知识”。

图12：MIT 的数学家 Semyon Dyatlov（谢苗・佳特洛夫），于 2016 年证明了一维分形不确定性原理。

笔记中恰好给出了科恩需要的关键提示。“当时我大为震撼，” 科恩说，“这直接解开了整个难题。”

在读到这份笔记之前，科恩也构思过几种构造阻尼函数的方案，但那些方案极其复杂精密，就像一砖一瓦搭建房屋。而笔记给出了一个出人意料的思路：绕路进入复分析领域（研究包含虚数，例如负数平方根这类虚数的函数）。借助复分析，科恩得以构造出一个灵活得多的对象，再用它间接得到阻尼函数。

科恩本科阶段的导师，耶鲁大学的William Schlag（威廉・施拉格）评价：“要构造出满足这么多特殊性质的对象绝非易事，整个过程十分精巧。二维空间里，还没有人知道怎么做，而亚历克斯完成了这个绝妙的构造。”2023 年 5 月，科恩把证明论文发布到网上，震惊了数学界。

“他的论文写得非常漂亮，给所有人留下深刻印象。” 施拉格说道。后来科恩才发现，布尔甘笔记里的这个技巧并非什么秘传绝学，它来自上世纪 60 年代一个著名定理——博尔林‑马利亚万定理。科恩笑称：“我一度以为自己拿到了独家内部资料，后来才发现圈内人早就知道这个办法。”

倘若当时他就知道这是圈内人都尝试过的方法，自己或许早早就放弃了。“正因为我不知道很多人已经试过这条路，我才有充足的信心往下推进。”

万花筒般的混沌

科恩公布自己的成果之后，其他数学家立刻用这套工具，完成大量关于波在混沌环境中行为的全新证明。

自然界中，湍流、天气这类系统都存在混沌：初始状态相差极小的物体，后续演化会产生巨大的差异。这类系统过于复杂，很难直接用数学描述。于是研究混沌的数学家常会借助一种天然自带混沌属性的特殊空间——双曲空间。

在双曲空间中，平行线会急剧发散，越往远处延伸，彼此距离就越大。（球面正好相反，球面上的平行线会互相靠拢）。这就意味着物体之间微小的初始差距，后续会被无限放大——这正是混沌的标志性特征。

图13：双曲空间中平行线剧烈发散——混沌的标志。

佳特洛夫说：“当然，这和预测天气完全不是一回事。但双曲空间给数学家提供了一个简单的混沌模型。我们研究力所能及的对象，把现象剥离出来单独分析，这是数学研究很常用的思路。”

2017 年，佳特洛夫与清华大学金龙利用一维分形不确定性原理证明：波永远无法被束缚在双曲曲面上，波一定会不断扩散，最终抵达曲面的每一处角落。

他们做了这样一个设想：假设曲面上存在一块区域，无论给波多少时间向外传播，波都永远无法抵达。把所有会进入该区域的运动轨迹全部剔除，剩下的集合，就和前面弹球例子中的分形尘埃完全一致。而分形不确定性原理禁止波被束缚在分形集合上，因此这样一块无法抵达的区域根本不可能存在，波必须扩散到全部空间。

2025 年，埃琳娜・金与俄克拉荷马大学的Nicholas Miller（尼古拉斯・米勒），借助科恩的高维分形不确定性原理，把上述结论拓展到更高维的双曲空间。萨纳克评价：“这是高维分形不确定性原理迄今为止最惊艳的应用。”

许多数学家希望进一步证明：处于混沌状态的波，不仅会铺满整个空间，还会在整个空间上实现完全均匀的分布。这是萨纳克与Zeev Rudnick（泽夫・鲁德尼克） 1994 年提出的著名猜想，该猜想还和数论领域存在关联。金表示：“这是一个重大的公开猜想，很多学者都为之投入，难度非常大。”

如果猜想得证，就说明处于混沌中的波，在微观尺度上行为看似随机、充满变化，但在宏观层面却表现简单。

佳特洛夫用莫奈的画作打比方：“凑近看，画面满是微观细节，一道道笔触错综复杂。但往后退远一点眯起眼睛看，画面就变成一片均匀的色彩。” 这和经典混沌截然不同：经典体系中的物体，是可以被困在复杂精细的轨迹之中的。

分形不确定性原理带来的影响，不会止步于量子混沌。傅里叶分析的工具渗透数学诸多分支，也是所有信号处理相关产业的底层基础。萨纳克总结：“这是傅里叶分析领域的一条基础性结论，它的全部应用潜力，我们至今还没有完全挖掘出来。”