湖北
【解题研究】巧构特殊三角形——2026年扬州中考数学第18题
我们在八年级学习三角形单元的时候，会接触到一些特殊三角形，例如小学就学过的等边三角形、等腰直角三角形等，这些三角形的边、角存在特殊的数量关系，而在后面进一步学习了勾股定理之后，对这些三角形的边、角有了更多认识；而在九年级三角函数之后，我们便打通了三角形的边、角间的关联。在一些中档题中，合理构建特殊三角形，往往是解题突破的关键。
题目
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°.将线段AB绕点A按逆时针方向旋转至AM（∠BAM是旋转角，且0°<∠BAM<120°），连接BM，CM，作AN⊥CM，垂足为N，用等式表示线段BM，CM，AN之间的数量关系为_________
解析：
题目中唯一的特殊角是∠BAC=120°，而AM将这个角分成两部分∠BAM和∠CAM，由AN⊥CM，可知AN将∠CAM平分，那么我们将剩下的∠BAM也平分，如下图：
过点A作AD⊥BM，延长AN交BM延长线于点E，这样构造出∠DAN这个特殊角，它由∠BAM和∠CAM“各取一半”而来，所以∠DAN=60°，再加上∠ADM=90°，所以得到了一个含30°角的直角三角形，即Rt△ADE；
接下来我们的任务，是将BM，CM，AN和这个特殊三角形的边关联起来：
由 三 线 合 一 得
Rt△EMN同样也是含30°角的直角三角形
对于Rt△ADE，直角边DE与斜边AE的关系很容易得到
可 得
整 理 得
解题思考
本题的难点在于构造出特殊直角三角形，并将它的三边关系迁移至三条相互之间缺少直接联系的线段上，所以含120°角的等腰三角形是关键条件，常见的建构方法是作底边上的高，或延长两腰，但本题采用了另一种方法，借助旋转后各取一半的思路，构造含60°的特殊角，这对学生几何直观要求较高；
而这三条相互之间“看上去没啥关系”的线段，则是另一个难以突破的地方，一般的转化套路本题并不适用，事实上也确实有学生在硬套手拉手模型，浪费了大量时间，寻找线段间的数量关系，需要学生“看得见，算得清”，才能找得到关联。
特别声明：以上内容(如有图片或视频亦包括在内)为自媒体平台“网易号”用户上传并发布，本平台仅提供信息存储服务。
Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services.
