背了几十年的九九乘法表，竟然只是完整乘法表的八分之一？

上学的时候，几乎每一个人都背过九九乘法表。

八九七十二，七九六十三，六六三十六……这一张表格，刻在了几代中国人的脑子里。从小学二年级开始，课堂上朗读、课下抄写、家长抽查背诵，九九乘法表是算术的地基。不管是买菜算账，还是后续学习多位数乘法、除法、分数运算，全部都离不开它。

绝大多数人的认知里，乘法表就是九九八十一，到9乘9结束。很多人从来没有想过一个问题：为什么乘法表只背到9？完整的乘法表到底长什么样？网上有一个说法流传很广，我们背了几十年的九九乘法表，仅仅是完整乘法表的八分之一。

这句话听上去有点颠覆常识，很多人第一眼看到，会觉得是不是自媒体在制造噱头。但把逻辑摊开来讲，你会发现这个说法并非凭空编造。今天我们就抛开书本上的标准答案，用普通人听得懂的大白话，重新读懂陪伴我们童年的九九乘法表。

一、我们熟悉的九九乘法表，到底是什么版本

翻开小学数学课本，我们看到的九九乘法表，是小九九，也叫顺九九。

表格里面的算式，有一个很明显的特点。前面的数字，不会大于后面的数字。比如1×1，1×2，一直到1×9；接着2×2，2×3到2×9；再往下3×3、3×4……一路走到9×9。

简单说，小九九里面，不会出现2×1、3×1、3×2这种前面数字比后面数字大的式子。

2乘以1等于2，这个计算结果，和1乘以2等于2完全一样。乘法交换律告诉我们，两个数字调换位置，乘积不变。

编写小九九的初衷，就是为了减负。既然1×2和2×1答案相同，就没必要把两套式子全部背诵。只保留其中一组，把重复的算式直接省略掉，背诵的工作量直接砍掉一半。

这就是小九九的巧思，也是为什么小学只教这套表。孩子只需要背45组算式，就能够应对日常全部基础乘法计算。

我们可以数一遍：1的乘法9句，2的乘法8句，3的乘法7句……9的乘法1句。9+8+7+6+5+4+3+2+1=45句口诀。45句，就是小九九全部内容。

那什么叫大九九？很多人听过这个名词，但是没有仔细了解过。

大九九乘法表，不做省略，不依靠交换律偷懒。从1乘1开始，一直到10乘10，把所有排列全部写出来。1×1，1×2……1×10；2×1，2×2……2×10，一直排到10×10。

10行乘以10列，一共100个算式。

对比就能看出来：小九九只有45条口诀；完整的十以内双向排列的大九九，足足100条。

这里就可以解释标题提到的观点：我们背的小九九，仅仅是完整大九九的八分之一。

不少读者看到这里会产生疑问，45对比100，明明接近一半，怎么会只有八分之一？

这里的完整乘法表，指的不是1到10，而是从1到16的完整方阵。16乘以16的完整方阵，总共有256个格子。我们课本上小九九只有45句。256除以45，大约等于5.7倍，再把历史上古代乘法表的残缺、重复归类算进去，才有“八分之一”这个通俗的概括。

这里要澄清，这个八分之一，是民间科普的通俗比喻，并不是严谨数学定义，它的本意不是说数学公式少，而是在说：我们现代人接触到的简化版小九九，仅仅是古代完整乘法方阵当中很小的一块。

很多科普文章直接拿这个结论当铁律，其实不够严谨。我们要分清，通俗比喻和严谨数学数据的区别。

二、古代中国，原本就有完整版乘法表

很多人误以为九九乘法表是近代教育产物，其实并不是。九九口诀，在中国已经流传两千多年。

在考古出土的简牍当中，发现过秦汉时期的九九木简。值得注意的是，古时候的九九，和现在小学课本不完全相同。

先秦到汉代的九九表，开篇并不是一一得一，而是从九九八十一开头。所以才叫九九。

古人书写的原版九九，一开始是大九九，双向都有，包含数字互换的算式。后来经过一代代简化，慢慢删减重复条目，演化成现在的小九九。

为什么古人要保留完整双向表格？

古代没有计算器，没有草稿纸，很多算账、赋税统计、工匠丈量土地，是靠心算。古时候的读书人、账房先生，需要快速报出结果。遇到3×7，7×3，虽然结果一样，但是在快速口算的时候，两套句式，调用的思维路径并不相同。

举个现实例子。当题目给出7×3，如果你只背过小九九，你的脑子里需要主动调换顺序，转化成3×7，再调取口诀。如果熟记大九九，看到7×3，直接就有对应的口诀，不用脑子再拐一道弯。

对于普通人日常过日子，这点转换几乎没有影响。但是对于古代长期和数字打交道的从业者，多记一部分口诀，可以减少思考的停顿。

后来教育面向普通孩童普及，教育者考虑到孩子的记忆容量，就把重复部分剔除。优先推广小九九。于是几千年流传下来，绝大多数中国人记忆当中，就只剩下45句口诀。

这里可以顺带说一个很多人好奇的问题：国外孩子背不背九九乘法表？

欧美不少国家，小学并不强制背诵九九表。他们课堂上允许随时翻看乘法表。这样做的好处，是学生的记忆负担变轻；坏处也很明显，基础口算能力普遍偏弱。简单的两位数乘法，都需要拿纸笔列竖式慢慢算。

也有部分国家引入我们的九九教学模式，但是他们会使用大九九版本。把1到10全部组合都背下来。两种版本，没有绝对好坏，只是教学取舍不同：一边选择少记多推导；一边选择多记忆，换取更快的运算速度。

三、小九九够用，为什么还需要知道完整乘法方阵

看到这里，部分读者会提出疑问：既然乘法交换律成立，记住小九九就足够算出所有结果，研究完整大九九，难道纯粹是没事找事？

并不是。简化的小九九，适合低年级小学生入门；但是当数学往更深学习，完整乘法方阵，有它独有的实用价值。

第一，做除法的时候，大九九思维可以减少卡顿。

做除法试商，是小学数学的一大难点。举一个例子，72除以8。小九九当中有八九七十二，很好算。那72除以9，我们就要把算式调转，再想八九七十二。

简单数字感受不明显。数字变大之后，这种来回转换，会消耗脑力。比如多位数除法试商，看到被除数56，除数是7，马上想到七八五十六；除数换成8，又要重新转换思维。

经常有小学生，乘法做题全对，一到除法就频繁出错。不完全是口诀背得不熟，一部分原因就是习惯了单向的小九九，反向调取的时候反应慢半拍。

如果孩子脑子里脑海当中，拥有完整双向的乘法方阵，被除数、除数、商三者之间的映射是双向的，试商的流畅度会明显提升。

第二，学习分数、因式分解，完整乘法方阵用处很大。

约分，是分数运算的基础。比如对144做因数拆分。144等于12×12。小九九只到9×9，课本的口诀里面根本没有12相关的内容。

做因式分解、找公倍数公因数的时候，我们需要脑海里浮现一张更大的数字矩阵，不止局限于1到9。很多初中学生数学掉队，不是公式看不懂，而是对数字之间的相乘关系不熟悉。看到数字，无法快速反应它可以拆成哪几组数字相乘。

这也是现在一部分教育观点会提倡，有余力的孩子，可以适当接触大九九，甚至拓展到12乘12的乘法表。不是要求死记硬背全部几百条，而是熟悉更大数字之间的乘积关系。

第三，速算心算，完整方阵是底层素材。

民间流传的各类口算速算技巧，本质上，都是调用数字之间相乘的记忆。比如两位数相乘的巧算，如果脑子里只有9以内的口诀，巧算就很难施展。

举个简单例子，13乘以12。如果只靠九九表，只能老老实实列竖式。但如果熟悉12的乘法，就能直接拆分快速得出结果。

当然，这里也要客观说明，普通成年人日常过日子，完全不需要背诵大几百条口诀。对于普通人，不需要把完整大九九全部背熟，但是要知道，九九表存在完整的方阵版本，清楚小九九只是简化删减后的产物。

四、很多人踩坑：九九乘法表的几个常见误区

聊完完整乘法表，顺带把大众关于九九乘法表的几个误区讲清楚。这些误区，网上流传很广，不少自媒体不加分辨直接转发。

误区一：九九乘法表是全世界独有的中国发明。

准确来讲，九九口诀体系起源于中国，考古简牍可以证实。但乘法表这种数学工具，古代不同文明都独立发展出来。古巴比伦就出土过乘法泥板，古埃及、古希腊同样存在乘法计算表格。

区别在于，其他古文明的表格，大多是纯数字列表，没有凝练出口诀。中国的厉害之处，是把乘法结果压缩成简短押韵的短句，朗朗上口，适合口头背诵，方便代代口传。

误区二：背会大九九，数学成绩就自动变好。

网上有不少培训机构，宣传把大九九背完，孩子计算能力直接飞跃。这属于夸大宣传。

背诵只是工具，不能替代数学理解。如果孩子只会死记硬背一堆乘积数字，并不理解乘法代表的含义，遇到应用题，照样不会做。

到底要不要拓展到大九九，要分情况：低年级刚接触乘法，优先吃透课本小九九，把乘法的含义搞懂，明白为什么交换位置乘积不变。学有余力的孩子，再慢慢拓展更大数字的乘积关系，不要上来就强行灌输上百条口诀，造成孩子厌学。

误区三：九九乘法表只能用来做算术。

不少人觉得，长大以后，手机计算器随手点开，九九乘法表再也用不上。

事实并非如此。九九表训练的，不只是得出乘积，训练的是数感。

生活当中，到处都需要数感。买东西估算总价、看报表快速估算数据、装修算面积、做菜换算食材配比，全部都需要数字直觉。哪怕不用手动计算，良好的数感，能帮助我们快速分辨：这个数字合不合理，是不是明显算错。

举个例子，买6件单价18元的商品。计算器还没打开，凭借数感，我们就能大概判断，总价格大概一百出头。如果计算器蹦出来结果是60元，立刻就知道哪里出错。这种判断能力，就是小时候反复练习乘法表训练出来。

计算器可以给出准确数字，但是不会帮我们判断数字是否离谱。

五、普通人，怎么用好这套流传两千年的乘法工具

读到这里，很多家长读者会关心，自家孩子到底该怎么学乘法表。成年人也可以重新审视，这张伴随童年的表格。

对于小学生，学习乘法表，有一个顺序建议。

第一步，不要上来就死记硬背口诀。先搞懂乘法到底代表什么。3乘以4，代表4个3相加，也代表3个4相加。先理解相同数字累加，再接触口诀。很多孩子背口诀滚瓜烂熟，但是根本不懂乘法含义，后续学习很容易出现瓶颈。

第二步，吃透课本小九九。45句口诀，要做到正向调用熟练。做题的时候，不要一遇到计算题就掏计算器，多做口算练习。

第三步，学有余力，再去接触完整大九九的思维，不用强求一字不差全部背下来。重点熟悉10、11、12这些数字的相乘结果，拓展数字边界。

第四步，一定要搭配除法一起练习。乘法和除法是一体。背完乘法立刻练习除法试商，建立双向思维，避免只会做乘法，不会做除法。

对于已经成年的普通人，我们不需要重新去背诵庞大的完整乘法方阵。但是可以记住一件事：我们熟悉的九九表，是古人精简过后的简化版本。简化牺牲了一部分信息，换取更低的记忆负担。

生活里面，很多知识都是这样。教科书为了方便入门，会做简化处理。我们学到的，往往是一个简化切片。如果把切片当成事物的全部，认知就容易产生局限。

不止乘法表。很多课本知识，在入门阶段，为了方便孩子理解，会做适度简化。等到认知提升之后，再逐步补充完整。

六、结语

一张九九乘法表，看上去简简单单，只有几十个短句，背后藏着古人权衡取舍的智慧。

为了方便孩童记忆，古人把庞大完整的乘法方阵，砍掉重复条目，浓缩成45句小九九。于是一代代中国人，靠着这45句口诀，搭建起算术的基础。

“完整乘法表只有八分之一”，这句话，是一个很巧妙的科普比喻。它不是严谨数学结论，但它抛出一个很好的思考角度：我们习以为常、从小背到大的东西，未必就是事物的全部原貌。

简化的知识好用，但是我们也要知道，简化背后，还存在更加完整的版本。

小九九足够应付绝大多数普通人一生当中的计算需求。不必焦虑自己没有背会庞大的大九九。但是知晓完整方阵的存在，理解简化背后的逻辑，能让我们看待知识，多一层清醒。

从孩童时代朗朗上口的口诀，到成年人生活当中的估算判断，一张小小的乘法表，跨越两千多年，依旧在发挥它的价值。

话题讨论

1.你小时候背九九乘法表，有没有遇到过背不熟、经常混淆的口诀？哪一句口诀是你最难记的？

2.你觉得现在的小学生，除了课本小九九，有没有必要接触大九九乘法表？欢迎在评论区写下你的看法，也欢迎关注账号，持续阅读接地气的科普内容。

免责声明：本文部分观点为科普通俗比喻，并非严格数学定义，仅供大众阅读参考，不构成教学指导。