计量增强型多原子纠缠态

|作者：张轩晨1 刘永椿1,2,† 尤力1,2

(1 清华大学物理系 低维量子物理国家重点实验室）

(2 量子信息前沿科学中心)

本文选自《物理》2026年第8期

摘要伴随第二次量子革命的兴起，量子理论的发展催生出一系列新兴量子技术。作为其中的一个代表性方向，量子精密测量能够利用量子纠缠获得精度增益、突破经典极限，成为人类追逐更高测量精度的关键途径。为此，人们针对这类具有计量增强特性的量子态进行了广泛的理论与实验研究，并在多种系统中演示了这些量子态的制备和应用。文章重点从计量学特性和制备手段等方面，对自旋压缩态、Greenberger—Horne—Zeilinger (GHZ)态、类GHZ态、Dicke态、自旋—向列压缩态等典型的计量增强型多原子纠缠态进行介绍，并对该领域的未来发展进行展望。

关键词量子精密测量，量子态制备，自旋压缩态，GHZ态，Dicke态

01

量子精密测量

人类对测量精度的追求是一个永恒的话题。一方面，新的基础科学理论总是在特定物理量测量精度突破的推动之下诞生；另一方面，精密的工业技术也依赖于对时间、磁场、重力等各种物理量的准确测量。随着20世纪以来量子理论与技术的发展，人们开始将目光转向量子精密测量，希望借助量子特性获得进一步的精度提升。量子精密测量是一项新兴的量子技术，通过引入纠缠等量子资源，能够突破经典物理极限[1，2]，获得极高的物理量测量精度，对于基础科学研究与工业应用都有难以估量的价值。

图1 双模干涉仪原理图[2] (a) 马赫—曾德尔干涉仪；(b) 拉姆齐干涉仪；(c) 在广义布洛赫球上的统一描述

在量子精密测量中，干涉仪是一种最常见的架构。它将特定物理量编码到一个待测相位中，进而利用干涉手段读取这一相位，最终实现对相应物理量的测量。其中最典型的例子是双模干涉仪，它在两个内态(模式、路径等)之间形成干涉，包括著名的拉姆齐干涉仪 (Ramsey interferometry)[3]和马赫—曾德尔干涉仪 (Mach—Zehnder interferometry)[4，5]，如图1所示。以原子钟[6]和原子干涉重力仪[7]为代表的众多测量工具都可以使用双模干涉仪模型进行描述。

干涉仪的测量精度一般由其给出的相位不确定度∆θ来衡量。它在理论上能够达到的最高精度受限于其能够使用的有限资源，包括测量时间T和总粒子数N等。本文主要讨论粒子数N这一资源对精度的影响。对于经典资源情况，即粒子间不存在任何量子关联时，双模干涉仪的最高精度受限于标准量子极限(standard quantum limit, SQL) ∆θSQL=1/[8]。如果想要进一步突破这一极限的限制，就必须引入量子资源，例如使用多体纠缠态。对于不同的多体纠缠态，比较它们在精密测量方面的性能需要用到一个重要的物理量——量子费希尔信息(quantum Fisher information, QFI)FQ[9]，它给出了使用一个特定量子态能够获得的最高测量精度Δθ≥1/，这被称为量子克拉美—罗界限(quantum Cramér—Raobound, QCRB)[10]。在双模干涉的模型中，量子态的QFI有上界FQ≤N2，这意味着量子测量的精度会受限于一个基本极限，也就是著名的海森伯极限(Heisenberg limit, HL)∆θHL=1/N [8，11]。因此，量子精密测量的一个重要目标就是在实际使用中突破标准量子极限并尽可能逼近海森伯极限。此外，在很多情况下，人们最关心的是精度随粒子数的变化关系，也就是标度律。在这个角度，达到海森伯极限实际上经常指的是达到海森伯标度律(Heisenberg scaling, HS) ∆θHS∝1/N。图2展示了一些典型实验系统中达到的计量学增益Gain=(∆θSQL/Δθ)2和相应的粒子数N。

图2 不同实验系统中使用多原子纠缠态实现的计量学增益与相应的体系总粒子数，相应工作在本文的参考文献序号已在图中标出。以代表海森伯极限的灰色实线为分割，其右下部分是理论上可能达到的区域，左上的橙色区域是理论禁戒区。其中，实心标记对应于实验直接测得的计量学增益，空心标记对应于使用自旋压缩系数或量子Fisher信息推断的结果(红色方形：囚禁离子；橙色三角形：里德伯原子阵列；紫色菱形：腔量子电动力学系统；蓝色圆形：玻色—爱因斯坦凝聚体；绿色十字形：热原子系综)

由于多体纠缠态是突破标准量子极限的重要手段，下面我们将对几种典型的计量增强型多原子纠缠态进行介绍，着重于它们的概念、计量学性质以及制备方法。

02

自旋压缩态

自旋压缩态(squeezed spin state)是一种最常见的计量增强型多原子纠缠态[12]，最早在20世纪90年代由日本东京大学M. Ueda团队和美国国家标准与技术研究院D. J. Wineland团队提出[13—15]，这种态可以直接用在Ramsey干涉仪中，降低自旋投影噪声带来的测量不确定性。

在详细介绍自旋压缩态的概念之前，我们先简要介绍集体自旋态的描述方式。在双模干涉仪中，两个模式可以被等价映射为自旋1/2系统，两个模式分别对应于自旋朝上(|↑>)和朝下(|↓>)，可用泡利算符
进行描述。当考虑系统中所有原子的集体效应时，系统状态主要体现在集体自旋算符中，这里的是一个长度为j=N/2的角动量算符。因此，集体自旋态对应于一个大的角动量态，所处空间是全希尔伯特空间中所有粒子完全交换对称的子空间，也被称为迪克子空间(Dicke subspace)，其中的基矢就是角动量基|j, m>(m取值为从-j 到j 的整数)。传统双模干涉仪使用的是自旋相干态，即所有原子处于相同状态的一个直积态，原子之间没有纠缠，这可以看成一类最“经典”的量子态。例如，在球坐标系中，一个极化方向为(θ, ϕ)的自旋相干态可以被表示为|θ, ϕ>=[cos(θ/2)|↑>+eiϕsin(θ/2)|↓>]⊗N [16]。在垂直于总自旋的方向上，自旋相干态具有的量子涨落，这就是集体自旋系统中标准量子极限的来源。为了对集体自旋态进行可视化描述，人们引入了广义布洛赫球，它的三个正交轴对应于集体自旋算符。集体自旋态的准概率分布一般用维格纳函数[17]或Q函数[18]进行表示，其中量子态ψ的Q函数Q(θ, ϕ)=|<θ, ϕ|ψ>|2是集体自旋态与相应位置自旋相干态的内积，函数值恒为正。在本文中，我们主要使用Q函数对集体自旋态的准概率分布进行展示。

集体自旋态在三个正交的自旋方向上满足海森伯不确定关系
，其中n3在自旋压缩的研究中一般对应于总自旋的方向。自旋相干态在垂直于总自旋的平面上具有各向同性的量子涨落，表现为一个圆形的不确定区域。与之相对，自旋压缩态在某个特定方向上具有更小的量子涨落。当然，受限于海森伯不确定关系，它要以垂直方向上更大的涨落作为代价，因此其不确定区域是椭圆形的，如图3所示。这种各向异性的不确定分布来源于粒子间的量子关联。为了衡量自旋压缩的程度，D. J. Wineland等人在1994年的工作中定义了一种常用的压缩系数[15]。在测量精度方面，ξR代表了Ramsey干涉仪中使用自旋压缩态相比于自旋相干态获得的精度提升。自旋相干态对应的压缩系数是ξR2=1，而自旋压缩态满足ξR2<1，且ξR2~1/N对应于海森伯标度律的自旋压缩。

图3 (a)自旋相干态(CSS)和(b)自旋压缩态(SSS)在广义布洛赫球上的Q函数分布(上)与在Dicke基上的概率分布(下)[12]

由于能够直接应用在Ramsey干涉仪中提升测量精度，自旋压缩态一直是量子精密测量领域中备受关注的一类多原子纠缠态。1999年，丹麦奥胡斯大学的E. S. Polzik团队借助非经典光实现了自旋压缩态的实验制备[19]。随后，D. J. Wineland团队于2001年在囚禁离子中也实现了自旋压缩的制备[20]，并进一步演示了它在Ramsey干涉实验中带来的精度提升。迄今为止，关于自旋压缩的实验研究已在玻色—爱因斯坦凝聚体(BEC)[21—23]、腔量子电动力学(cQED)[24—28]、热原子系综[29，30]、囚禁离子[20，31，32]、中性原子阵列[33，34]、金刚石NV色心[35]和光晶格[36]等诸多平台上取得了重要进展。其中，复旦大学/山西大学肖艳红团队2020年基于量子非破坏性测量的方法，在1011量级的Rb原子蒸气中观测到了自旋压缩[29]，并在2025年展示了该系统在连续磁场测量中带来的灵敏度提升[30]。

M. Ueda团队在1993年的工作中提出了两个典范式的自旋压缩模型[14]：单轴扭曲(one-axis twisting, OAT)HOAT=χJz2和双轴扭曲(two-axis twisting, TAT)HTAT=χ(Jz2-Jy2)。在这两个模型中，沿x方向极化的自旋相干态可以经过一段时间的动力学演化得到一个自旋压缩态。其中，OAT模型能够达到的最佳压缩标度律是ξR2~N-2/3 [14，37]，可以在多种物理系统中得到实现。2010年，两个德国研究组(海德堡大学的M. K. Oberthaler团队与慕尼黑大学的P. Treutlein团队)各自在BEC中观测了自旋压缩态的形成与它带来的测量精度提升[22，23]。此外，美国麻省理工学院的V. Vuletić团队和科罗拉多大学的J. K. Thompson团队在cQED系统中也分别进行了一系列OAT模型相关的实验研究[24，25，38，39]。近些年来，人们开始关注格点自旋系统，其中的粒子间相互作用强度通常会随距离按照幂律形式衰减，不符合集体自旋模型完全交换对称的要求。理论研究表明：在特定条件下，这样的格点模型也能够产生接近于理想OAT模型的自旋压缩效果[40—42]。最近几年，几个实验小组报道了里德伯原子阵列(法国巴黎萨克雷大学的A. Browaeys团队、美国科罗拉多大学的A. M. Kaufman团队)[33，34]和离子阱(奥地利因斯布鲁克大学的C. F. Roos团队)[32]中自旋压缩态的制备工作，美国哈佛大学M. Greiner团队也在二维流动磁偶极子系统中实现了自旋压缩[35]。

相比于OAT模型，TAT模型具有更好的压缩性能，能够达到海森伯标度律ξR2~N-1的自旋压缩[14，43]。然而，TAT相互作用并不天然存在，如何在真实物理系统实现该模型一直是一项研究难点。2011年，我们(清华大学物理系刘永椿、尤力团队)首次在理论上提出将OAT模型转化为有效TAT模型的周期脉冲调控方法[44]，给出了一种实验上较为可行的TAT自旋压缩实现方案，使用的脉冲序列如图4所示。此后，我们进一步对动力学调控方法实现TAT自旋压缩进行了一系列的理论探索，包括借助深度强化学习优化此前给出的脉冲方案[45]，以及在非压缩型相互作用和任意二次型相互作用系统中实现TAT自旋压缩等[46—48]。迄今为止，还没有已发表的实验工作真正观测到基于TAT模型的自旋压缩。不过，近期一些工作已经在平均场意义上对TAT动力学进行了观测，包括美国科罗拉多大学的华人物理学家叶军团队在极性分子平台和哈佛大学的M. D. Lukin团队在 NV色心系综中使用周期脉冲实现的TAT模型[49，50]，以及科罗拉多大学的J. K. Thompson团队在光学腔中通过精细调控光子—原子相互作用获得的TAT模型[51]。随着量子操控技术的迅速发展，TAT自旋压缩有望很快在实验上得到真正实现。

图4 (a)将OAT模型转化为TAT模型的周期脉冲方案[44]；(b)使用深度强化学习优化后的脉冲序列及压缩表现[45]

03

GHZ态

GHZ (Greenberger—Horne—Zeilinger state)态是一种多原子的最大纠缠态，最早于1989年由D. Greenberger，M. Horne与A. Zeilinger等人在多粒子的贝尔非定域性研究中提出[52]，后来人们就用这三位科学家的名字对其进行命名。在量子精密测量中，GHZ态能够真正达到测量精度的海森伯极限[1，53]，在这一意义下是最佳的计量增强型多原子纠缠态。在精密测量领域之外，GHZ态在宏观量子效应[54]、量子信息[55]和量子计算[56]等基础和应用研究中也具有重要的意义。

GHZ态最常见的形式是|GHZ>=(|↑>⊗N+|↓>⊗N)/。可以发现，GHZ态是两种不同“宏观状态”(所有自旋同时朝上和同时朝下)的等权相干叠加。正因为这种“宏观叠加”的特性，这是一种原子的薛定谔猫态[57—59]。在Dicke基上，GHZ只在|j, m=±j>上各有50%的占据概率，呈现为极端的双峰分布。此外，GHZ态在广义布洛赫球上的准概率分布也由两团显著分离的圆形分布组成。仅依靠概率分布，我们无法真正观察到GHZ态的量子特性。为了提取它所包含的两种状态之间的相干性，需要使这两部分发生干涉，这要借助于宇称测量来实现。宇称算符
描述了占据数的奇偶性。在经过绕

轴的π/2转动后，N粒子GHZ态的宇称测量结果是一个高频振荡信号：
，这是实验中用于检验GHZ态的一个标志性特征[60]，同时也是精密测量中使用GHZ态获得海森伯极限测量精度∆θ=1/N的一个直接测量手段[53]。

GHZ态代表了一种最极致的多体纠缠形式，正因此，它也是一种非常脆弱的量子态。一个人们所熟知的事实是：在仅仅丢失一个粒子的情况下，GHZ态的量子关联特性就会完全消失，退化为两个组分的纯经典概率混合，此时用在精密测量中将无法带来任何精度提升。因此，如何在真实物理系统中对抗环境噪声、维持GHZ态的量子特性是一项重要的技术难点。

在实验上，量子领域的各种物理平台都非常关注大粒子数的GHZ态制备。一种最常见的制备手段是使用一系列级联的两比特门将整个系统逐步纠缠起来。2025年，美国IBM公司已演示了借助后选择实现的包含120个超导比特GHZ态的制备[61]。浙江大学王浩华团队也在超导系统中GHZ态的制备方面进行了长期研究[59，62，63]，实现了最多达到60个超导比特的GHZ态[63]。此外，在离子阱中也存在许多相关研究，例如，美国Quantinuum公司于2023年发表的一项工作中展示了在囚禁离子量子计算机中实现的32比特GHZ态[64]。

上面提到的方法主要借助了连续的局部操作来实现GHZ态的制备。除此之外，GHZ态也可以通过一段全局演化的方法进行制备，这要利用我们在上一节介绍过的OAT模型。从无纠缠的自旋相干态出发，GHZ态可以用一段幺正演化

获得[57]，这常被称为一个全局纠缠门。相比于使用局部操作的方法，全局纠缠门可以避免因操作流程过长而带来的误差积累问题，在可扩展性方面具有更高的潜力。基于这一原理，多个团队开展了全局纠缠门的实验探索(图5)。王浩华团队在超导线路中利用OAT模型成功制备出18比特GHZ态[59]；清华大学物理系金奇奂团队与美国科罗拉多大学A. M. Kaufman团队也分别在离子阱和里德伯原子阵列中实现了全局纠缠门的设计以及GHZ态的制备[65，66]。其中，A. M. Kaufman团队还进一步展示了该GHZ态在光钟中的直接应用。目前而言，使用全局演化方法实现的GHZ态规模还无法与局部操作达到的规模相比，主要限制因素包括较长的演化时间以及全局纠缠门在实验实现上的困难性。针对这些问题，我们团队提出了一种新的方法，可以制备一种与GHZ态非常类似的多原子纠缠态，将其称为类GHZ态。在下一节会对类GHZ态的概念、制备方法和优势进行介绍。

图5 使用全局操作制备GHZ态 (a)离子阱中实现的全局纠缠门[65]；(b)里德伯原子阵列中实现的全局纠缠门[66]

04

类GHZ态

类GHZ态(GHZ-like state)可以泛指在特定方面与GHZ态具有相似特征的一些多原子纠缠态，有时也被称为“类猫态”。它比较重要的特征包括双峰概率分布、高频宇称振荡信号以及接近海森伯极限的计量学性能。在2003年，奥地利因斯布鲁克大学的P. Zoller团队指出，自旋相干态可以在扭曲—旋转(twist-and-turn, TNT)模型HTNT=ΩJz+χJx2中演化至一个类GHZ态，不过其分布与标准GHZ态还有较大差距[67]。此外，在χ<0 和 |Ω/χ|≪1时，TNT模型的基态也对应于一种类GHZ态，可以通过绝热演化的方式对其制备，这一过程需要的演化时间能够进一步通过机器优化进行缩短[68]。

我们团队也对这类量子态的制备进行了一系列研究。2024年首次提出了名为集体自旋XYZ模型的一个全新三体相互作用模型[69]，具体形式为HXYZ=2χXYZ(JxJyJz+JzJyJx)/N。这一模型下量子态的时间演化可以用准概率分布的变化来进行形象化地描述，如图6所示。结果表明，从自旋相干态出发，经过一段时间的演化之后，态分布会分裂成两个对称部分，集中在广义布洛赫球上的±y轴顶点附近，这与一个旋转后的GHZ态非常接近。此外，它在Dicke基上也呈现为一个|j, m=±j>附近的显著双峰分布。同时，当进行宇称测量时，它在θ较小的区域中也展现出了非常接近GHZ态的高频振荡。这些结果都表明使用集体自旋XYZ模型制备出的量子态具有与GHZ态十分接近的性质，我们因此将其称为类GHZ态，期望它能在包括精密测量在内的一些领域中有效地代替GHZ态得到应用。值得强调的一点是，类GHZ态对于粒子损耗具有更强的鲁棒性，其多体纠缠特性在丢失多个粒子后仍然能够得到部分保留，这是它相比于理想GHZ态的一个重要优势。

图6 类GHZ态的特性[69] (a)集体自旋XYZ模型中量子态准概率分布在广义布洛赫球上的演化；(b)类GHZ态在Dicke基上的概率分布特征；(c)类GHZ态的宇称振荡特征

为了实现前面提到的模型，我们进一步设计了一种周期脉冲驱动的方案，可以在OAT模型H=χJz2的基础上利用一系列旋转脉冲产生有效的集体自旋XYZ模型，脉冲序列如图7所示。使用QFI对态的制备效果进行衡量，发现脉冲方案的结果与有效模型非常吻合，且最高点都十分接近海森伯极限对应的FQHL=N2。我们发现，这一方案所需的总演化时间会随粒子数增加而快速下降，具体的标度律为χt∼lnN/N。相比于直接使用OAT模型产生GHZ态的时间χt=π/2，该方案在大粒子数系统中具有显著的制备速度优势，因而能够降低制备过程中环境噪声对态的破坏，推动大粒子数类GHZ态的实验制备。从测量精度的角度看，这一模型得到的类GHZ态在宇称测量中获得的精度也与理想GHZ态的结果几乎完全贴合，非常接近于海森伯极限Δθ=1/N。因此，这种方法制备的类GHZ态的计量学性质与理想GHZ态非常接近，能够在很大程度上替代GHZ态用于精密测量。

图7 实现集体自旋XYZ模型的脉冲驱动方案[69] (a)脉冲序列形式；(b)脉冲方案中QFI的时间演化；(c)类GHZ态在宇称测量中达到的测量精度；(d)使用脉冲方案制备类GHZ态所需的时间

上面提到的方案依赖于OAT模型，其中的粒子—粒子相互作用必须是完全均匀(无限长程)的。考虑到许多真实物理系统中相互作用强度会随粒子间距离衰减，我们进一步研究了方案在幂律伊辛模型
中的适用情况[70]，其中大系统中的数值计算是使用离散的截断Wigner近似(DTWA)[71]算法实现的。这一模型描述了粒子间相互作用强度与距离呈现幂律依赖的情况，在格点自旋系统中非常常见，如离子阱(0<α<3)、中性原子阵列(α=3, 6)和极性分子(α=3)等平台。一般来说，非均匀相互作用会引入非集体的动力学效应，使系统无法由集体自旋模型描述。不过，我们发现：原先的脉冲方案可以产生一项海森伯相互作用，它会在Dicke子空间与其他部分之间打开一个能隙，从而将系统演化保护在集体自旋所在的Dicke子空间中，使得动力学过程由其中的集体成分所主导，因而可获得与均匀相互作用情况下非常接近的结果。这一机制的效果由脉冲间隔τ决定，更小的脉冲间隔能够对集体动力学起到更强的保护作用。进一步，我们借助零动量/有限动量分解[72]的方法对非集体效应进行了定量分析，给出了方案所需的脉冲间隔以及总演化时间关于体系尺寸的标度律，分别可以表示为τ∼L-μ 和 t ∼L-ν lnL，其中L=N1/d 代表d 维系统中体系的边长，具体关系呈现在图8中。一个重要的结论是：当系统相互作用衰减因子小于系统维数(α

图8 幂律伊辛模型中类GHZ制备参数的标度律[70] (a)脉冲间隔关于体系尺寸的幂律因子μ与相互作用衰减因子α的关系；(b)类GHZ态制备总时间随体系尺寸的变化关系

在我们的方案提出后，中山大学李朝红团队也给出了另一种类GHZ态的制备方案，其动力学过程依赖于双轴扭曲—旋转(TATNT)模型HTATNT=χ(Jy2-Jx2)+δJz[73]。这一方案所制备的类GHZ态量子Fisher信息略低于集体自旋XYZ模型得到的结果，其优点在于态制备所需的演化时间可以比集体自旋XYZ模型更短。

05

Dicke态

Dicke态是总角动量J2和角动量分量Jz的本征态，一般标记为|j, m>[74]。其中，m=±j 的Dicke态是位于广义布洛赫球北极点/南极点处的自旋相干态，而|m|J>|=0，因此不能使用前面定义的自旋压缩系数对其进行衡量。为了获得平衡Dicke态QFI给出的精度极限，可以将角动量分量的涨落(ΔJz)2作为测量量[75]。

在N粒子的自旋-1/2系统中，借助施温格玻色子表示，平衡Dicke态可以表示为|j=N/2, 0>=|N/2>↑|N/2>↓，即自旋朝上和自旋朝下的两个模式上各有一半的原子占据。借用量子光学中的术语，这样的态常被称为双数态[76]。双数态的QFI是FQ=N(N+2)/2∼N2，也可以达到海森伯标度律，因此是一种重要的计量增强型量子态。

清华大学物理系尤力团队基于自旋-1旋量BEC系统对平衡Dicke态的制备进行了一系列研究工作。我们首先对这一系统进行一些基础性的介绍。自旋-1旋量BEC系统是由自旋F=1的玻色子组成的超冷原子气体[77]。与自旋-1/2粒子相比，自旋-1粒子多出了一个自由度，构成的是SU(3)群。旋量BEC系统由自旋混合动力学主导[78]，哈密顿量可以表示为

，其中
和分别是自旋分量mF 的产生(湮灭)算符和粒子数算符，最后一项来自于二阶塞曼项，在实验中可以借助外加驱动磁场进行操控。我们注意到这一模型总是成对地将 mF=0 的粒子转化为mF=±1(或者反过来)，这来源于BEC中的自旋交换碰撞。

图9 通过绝热越过量子相变点制备双数态[79] (a)旋量BEC中自旋混合动力学模型的相图；(b)衡量原子在三个自旋分量上分布的吸收图像

在自旋混合动力学模型中，体系存在3个不同的相：极化相、对称破缺相和双数态相，如图9所示。在q≫2|c2|区间，系统基态为所有原子处于mF=0的极化态
；而当q≪-2|c2|时，系统基态变为了mF=±1上各占据一半粒子的双数态|TF>=|N/2>-1|0>0|N/2>1。基于这样的相图，尤力团队在2017年通过绝热控制外磁场驱动体系越过量子相变点，从87Rb原子凝聚体的极化态出发确定性地制备得到了包含N~11000个原子的双数态(图10)[79]。根据实验观测到的布居数涨落与自旋长度，获得了约10.7 dB的数压缩，并证实所得双数态具有910个原子的纠缠广度。

图10 对实验所得双数态在概率分布方面的刻画[79] (a)双数态的轴向分布；(b)双数态的径向分布

上述工作制备得到的双数态存在于自旋-1系统中的二能级子空间(mF=±1)中，对应的总角动量大小为j=N/2。实际上，N 原子自旋-1系统能够达到的最大总角动量大小为j=N，这要求系统在mF=0, ±1的三个自旋分量上均有布居。可以发现，j=N的平衡Dicke态相比于j=N/2情况具有更大的QFI，因此在精密测量中能够达到更高精度。基于这样的考虑，尤力团队于2018年在相同系统中继续实现了自旋-1平衡Dicke态的制备(图11)[80]。在这项工作中，制备得到的末态不再局限在二能级子空间，而是在mF=0,±1的三个自旋分量上分别有约1/2, 1/4, 1/4的占据概率，符合平衡Dicke态|j=N, 0>的分布特征。利用制备得到的自旋-1平衡Dicke态，进一步将它用于拉比转动角的测量，获得了超越三模标准量子极限约2.42 dB的精度提升，成功演示了平衡Dicke态在精密测量中的计量增强性能。

图11 自旋-1平衡Dicke态的制备与应用[80] (a)平衡Dicke态制备过程中各自旋分量的原子数变化；(b)利用平衡Dicke态测量拉比转动角；(c)使用平衡Dicke态获得的测量精度增益

06

自旋—向列压缩态

此前介绍过的自旋压缩态概念主要基于自旋-1/2系统。如上一节所述，自旋-1系统构成的群结构是SU(3)群，需要用自旋矢量和额外的向列张量
对其进行完整描述。在这样的系统中，自旋和向列之间也存在海森伯不确定关系，例如

，其中
构成了一个SU(2)子空间。基于此，我们可以将自旋-1/2系统中的自旋压缩概念沿用到这个子空间中，研究自旋—向列球上量子涨落的分布情况，其中的压缩态被称为自旋—向列压缩态[81]。

图12 (a)美国佐治亚理工学院团队对自旋—向列压缩态的相空间分布进行的实验刻画[81]；(b)清华大学团队观测到的自旋—向列压缩态正交分量压缩[86]

自旋-1旋量BEC系统是研究自旋—向列压缩态的理想平台。在之前介绍过的SU(2)子空间中，自旋混合动力学模型与原子核物理中著名的LMG (Lipkin—Meshkov—Glick)模型[82—84]具有类似的形式(另外与自旋压缩研究的TNT模型[85]也类似)。在靠近轴顶点的位置，该模型的局域相空间结构等价为一个TAT模型，因此可以在短时间内产生较高程度的压缩，不过在长时间演化下它的最佳压缩无法达到海森伯标度律。2012年，美国佐治亚理工学院M. S. Chapman团队基于这一模型在包含45000个87Rb原子的旋量BEC系统中首次观测到压缩系数达到-8.3 dB的自旋—向列压缩(图12(a))[81]。通过提升凝聚体的寿命和自旋相干时间，清华大学尤力团队2023年在包含26400个87Rb原子的旋量BEC系统中将自旋—向列压缩系数加深至-12.1 dB (图12(b))[86]。进一步地，团队借助模型的对称性，通过交换压缩与反压缩分量实现了有效时间反演过程，从而构建了基于回波的自旋—向列干涉仪(图13)。这一干涉仪利用非线性读出的方式对绕轴旋转角进行测量，获得了超越标准量子极限高达15.6 dB的精度增益。

图13 基于回波的自旋—向列干涉仪[86] (a)基于自旋—向列压缩的非线性干涉仪方案原理图；(b)利用回波自旋—向列干涉仪获得的计量学增益；(c)不同旋转角下干涉仪末态的的布居数分布

07

展 望

随着技术的不断进步，经典技术噪声能够得到有效抑制，精密测量最终面临的就是量子噪声对测量精度的限制。在系统中引入量子纠缠是抑制量子噪声、突破经典极限的关键手段。在光学领域，激光干涉引力波天文台(LIGO)已经将压缩光用于引力波的实际探测，获得了超越标准量子极限的探测灵敏度，使LIGO的探测范围提升了18%[87，88]。在原子领域，经过数十年的发展，人们已经在各种物理系统中完成了原子纠缠态制备和应用的演示实验，相关研究已经从理论构想开始逐步走向了真实场景中的应用。例如，美国科罗拉多大学叶军团队和J. K. Thompson团队在近期的工作中将自旋压缩引入了原子光钟，其精度量级达到了10-17 [89]。在原子纠缠态应用于真实场景的过程中，利用新方案也有助于克服各种技术噪声。其中，美国斯坦福大学M. Schleier-Smith团队在2016年提出了时间反演干涉仪的方案[90]，借鉴光学系统中SU(1,1)干涉仪的思想[91]，可以有效缓解探测噪声对测量精度的影响，同时能够充分利用非高斯态/过压缩态的计量学潜能。清华大学尤力团队与美国麻省理工学院Vuletić团队分别在旋量BEC和cQED系统中对这一方法进行了实验演示[86，92]，推动了原子纠缠态的真实计量学应用。最近，人们开始关注原子纠缠态在测量中的动态范围，这对于原子钟等方面的应用至关重要。近期，来自清华大学与美国麻省理工学院等单位的研究团队合作提出了量子去放大机制[93]，能够以极小的灵敏度代价大幅扩展动态范围，提供了一种潜在的发展方向。此外，利用原子纠缠态进行量子多参数估计是近年来另一项较为活跃的研究热点，对于矢量场等物理量的测量有重要的应用价值，尤力团队也已在旋量BEC系统中进行了相关的实验研究[94]。总之，在真实应用场景中利用原子纠缠态获得精度增益，已经具备了坚实的理论和实验基础。我们相信，在理论和技术的进一步发展之下，计量增强型量子态能够在不久的将来应用于精密测量的各个领域，推动人类测量精度全面进入量子极限区间。

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