【毅言堂】北师大版小学数学新教材引入尺规作图的思考

【毅言堂】北师大版小学数学新教材引入尺规作图的思考

数学来源于生活，当我们从现实世界中抽象出几何图形之后，第一件事就是把它画下来。几何图形最基本的构成元素是点、线、面，仅从义务教育阶段中小学数学中的平面图形角度，画点无疑最为简单，有笔就行；线又分直线型和曲线型，对于直线型，则需要直尺（最初没有刻度），而曲线型中的圆，需要圆规，简单看来，直尺和圆规即可满足绝大多数几何作图需求，而在小学阶段，这两样工具足够了。

一、尺和规是什么？

在尺规作图话题中，尺指的是无刻度直尺，它能够完成的作图操作是连接、延长。

画任意直线：平面上任意两点连接之后，得线段，分别向两边延长即得直线；可能有学生会认为，不需要平面上的两点啊！就那么随便一画就是直线，其实我们从几何作图角度深入剖析这个“随便一画”，当学生把尺摆在纸上之后，直线的方向就确定了，落笔的第一个瞬间，那个落笔处就是第一个点，直尺所在方向上有无数个点，画的时候肯定会经过其中一个，因此落笔处是第一个确定的点，直线所在方向上的另一个任意点是第二个确定的点，依然满足两点确定一条直线，所以“随便一画”也要满足直线基本事实。

画任意射线：你得先有一个端点，再有一个方向，端点放在直尺上，沿直尺所在方向用笔画下去，这个操作有时也叫延长。

画任意线段：连接的典型操作，不多解释了。

画任意角：先确定角的顶点，画射线，再从顶点处画另一条射线，共端点的两条射线即为角。

无刻度直尺解决了画直线型图形时，经过哪个点，朝哪个方向的问题。

圆规是指有两个脚，可以张合一定角度的工具，通常情况下一个脚是针尖，另一个脚是笔尖，两脚结合处可以保持一定角度不变，若太紧则张不开，若太松则无法固定两脚间距。

圆规能够完成的作图操作是截取、作弧（圆）。

由于圆规的两脚长度一定，当张开一定角度的时候，两脚尖之间的距离也确定，这个距离就是连接两脚尖之间线段的长度。

二、我们要用尺和规画什么？

2022版新课标在小学阶段3-4年级内容要求如下：

会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段（例26）

学业要求如下：

经历用直尺和圆规将三角形的三条边画到一条直线上的过程，直观感受三角形的周长（例29）

5-6年级内容要求如下：

认识圆的扇形，会用圆规画圆；

学业要求如下：

会用圆规画圆，能描述圆和扇形的特征；

2024版北师大版小学数学五年级上册第二单元三角形的再认识第二课时了解尺规作图内容如下：

2024版北师大版小学六年级数学上册第二单元圆的认识（一）中内容如下：

按课标要求，北师大版新教材新增的这些内容，分别完成了尺规作图中画等长线段、画圆的操作，后续在初中阶段，还会进一步学习作已知角、作角平分线、作垂线等。

三、小学阶段的尺规作图教什么？

让学生通过操作体验直尺和圆规工具的作用，理解直线的方向和直尺摆放的关系，理解圆规对线段长度的搬运（复制），更深入思考圆规本质上也是测量工具。

由于我们本地小学使用的是北师大版教材，初中却是人教版教材，在尺规作图上存在脱节现象，许多学生到了初中，只知道圆规可以画圆，并没有思考圆规对于线段长度的搬运，所以在面对诸如截取操作的时候，存在一定困难，老师要耗费额外的教学时间去解释截取如何操作，有什么作用，所以北师大版这次引入尺规作图是十分有必要的。

除了教学生操作之外，对于圆规的测量作用，也需要进行渗透，对于一根无刻度直尺，若我们规定1cm的长度，并将这个长度用圆规搬运至直尺上，恭喜你，发明了刻度尺！

无论是现代或古代的刻度尺，区别只是被搬运到直尺上的刻度单位不同，而每个刻度单位都可以在直尺上被复制。

四、在课堂上我们怎么教尺规作图？

在课堂上教学生使用这类工具的时候，应遵循先想象，再操作，最后讲理由的顺序。不要给出作图要求之后，学生就着急开始用工具在纸上画，先思考即将作出的图可能是什么样子，在什么位置；再在纸上进行操作，此时需要强调使用规范，例如直尺固定之后不要滑动，圆规测量时针尖和笔尖如何旋转，圆规移动时两脚尖间距不要改变等；画完之后，需要学生说明为什么要这样画，直尺和圆规分别在作图过程中起了什么作用等，加强对作图背后的几何原理的理解。

尺规作图时，会留下作图痕迹，例如作的弧，延长的直线等，这些不要用橡皮擦掉，它们就是作图题的解题过程，老师在课堂上尤其要留意这些痕迹，从痕迹中也能看出学生是否按要求规范使用了尺规。

尺规作图虽然是一项作图技能，但它更重要的是帮助我们理解几何概念、几何基本事实，所以我们更应该将它作为数学概念对待，成功画出图形并不是判断学生学会的唯一标准，在这个过程中会思考、会创造性地使用工具，并能说明理由的学生，才能理解尺规作图的意义。