中国人的数学 两千多年前就很强

来源：北京青年报

郑玄一生潜心于经学，著述注释达百万言，被后世尊为“经神”

“亥”字在篆文中的写法

《师生问难图》，展现古代珠算教学场景

《九章算术》开篇第一题，就已经运用到了四则运算中的乘法法则

清代数学家李善兰在《代微积拾级》中，创立了以汉字替代西方数学符号的译法

近日，我国数学家邓煜、王虹斩获菲尔兹奖，苏炜杰荣膺考普斯奖，喜讯接连传来，让国人倍感振奋，也让我们对中国数学事业的未来充满期待。

中国现代数学研究起步相对较晚，却凭借一代代学者的深耕细作，实现了跨越式发展。抚今追昔，令人心生感慨：曾几何时，古代中国的数学水平长期处于世界领先地位。这也引人思索：古代中国究竟是如何培养数学家的？而古代的相关制度与智慧，又能给当今的数学教学与科研带来怎样的启示？

藏在史书里的趣味数学题

《左传》作为一部儒家经典，很多人或许意想不到，书中竟记载过相当硬核的数学题目。不妨以其中一道趣味数学题为例：公元前543年二月，晋悼公的夫人欲设宴款待参与筑城的年迈役卒。有一位老者自发前往，官吏怀疑其虚报年龄，便让其报出确切生辰。

老者回答：“小人不懂得历法纪年，只记得出生那年正好是周历正月的甲子日，且恰逢朔日（即正月初一）。如今，我已经度过了445个甲子日，而从最后一个甲子日算起，到今天则正好过去了三分之一个甲子。”

请问：这位老人家究竟高寿几何？

我们可以一步步拆解并解答这道古老的数学题：老人一共经历过445个甲子日，其中最后一个甲子日仅仅过去了三分之一。换言之，老人实际上经历了444个完整的甲子周期，外加三分之一个甲子。

已知在干支纪日中，甲子以60天为一轮周期。那么，那位老人从出生到题目中所指的“今天”，总天数为（445-1）×60＋1/3×60＝26660天。

有趣的是，《左传》中也给出了朝廷官员的“参考答案”。当时那个官吏困惑不解，遂向朝臣请教。乐官师旷直截了当地回答：“老者现年73岁。”按一年365天计算，用26660天除以365，确实能得出老人约为73岁的结论。

这道题更有意思的地方还在后面，官吏接着又去询问史赵。史赵则故作高深地说道：“‘亥’字有‘二首六身’，把‘二’下移到‘亥’的身上，你自然就知道他多大岁数了。”

史赵的答案，实际上巧妙地结合了汉字字谜。春秋时期通行的字体是篆文，而“亥”字的篆书写法，前两笔看起来就像数字“二”；如果把“亥”字的下半部分拆开，则可以分成三个字形，形状依次类似于“丄”“T”和“T”。因此，史赵所谓的“二首六身，下二如身”，相当于把“亥”字重新拆解组合成了“二丄TT”。

这里的“二”代表数字“2”；而在古代筹算中，用一竖加一横（即“丄”或者“T”的形式）来代表数字“六”。合起来，“二丄TT”表达的正是数字“2666”。原来，史赵是在跟官吏打哑谜，他给出的隐喻答案同样是“26660天”，与师旷的计算结果完全一致。

这种兼具数理运算与文字巧思的解题方式，充分彰显了我国先秦时期高超的数学认知与应用水平。不止于此，进入秦汉时期，各类文学、史学典籍中，都频繁出现与数学相关的记载。

据西汉典籍《韩诗外传》记载，齐桓公曾广罗天下人才，可整整一年过去却无一人登门。一年后，东郊有一位平民自称会背“九九乘法表”，请求拜见。齐桓公觉得这实在不足为奇，很不屑地说道：“九九何足以见乎？”那位平民也坦诚承认：“夫九九，薄能耳。”（九九乘法只是微不足道的技能）但他接着告诉齐桓公：“如果您连我这样只有微薄技能的人都愿意以礼相待，又何愁招揽不到真正的大才呢？”

这个故事与《战国策》中“千金买马骨”的典故异曲同工，旨在告诫统治者要重视人才。但《韩诗外传》却在无意间向我们呈现了一个细节：早在春秋战国时代，九九乘法口诀（当时顺序与今天的乘法表相反，且不含与“1”相关的乘法）就已经是一个全民普及的基础知识点了。

上述典籍甚至都并非专业的数学著作，但字里行间的种种记载，无一不在向我们传递着同一个信息：中国古人的数学，真的很强。

一个更加有力的例证便是：成书于先秦时期的数学巨著《九章算术》，全书开篇的第一道题是“今有田广十五步，从十六步。问为田几何？”（有一块田地，宽15步，长16步，问面积是多少）。这道题放在今天可谓人人皆会，只需将长与宽相乘即可。作为全书中最简单的一道基础题，《九章算术》能以之作为全篇的开端，也充分说明了作者默认当时的读者都已经熟练掌握了乘法口诀及基础的四则运算。

从私学授业到七年制官学

自西汉时期起，《九章算术》便已作为教材投入使用。然而，一个颇为矛盾的现象是：两汉的官学体制中竟不开设数学课程，此项知识的薪火相传，几乎全凭私学中极少数有识之士的默默坚守。

两汉私学风气极盛，到了东汉时期甚至演变为“弟子自远至者，著录前后万人”的盛况——一位名师名下登记在册的门生可达上万人。显而易见，单凭老师一人之力根本无法实现面对面授课。于是，“次相传授”的教学模式应运而生，即由高徒代为向低年级弟子传道授业。

这种“次相传授”的弊端也极其明显：许多学生可能苦学一生，也未曾有机会亲眼见上恩师一面，自然极难学到第一手的高深学问。据《后汉书》记载，东汉著名学者郑玄早年曾投身于顶级大儒马融门下，却整整三年未能得见马融真容。直到有一次，马融在与弟子们探讨图谶纬书（古代的阴阳五行、天文历法与算学紧密相连）时，听闻郑玄精于计算，这才破例召见了他。

《后汉书·郑玄传》有载：“（郑玄）师事京兆第五元先，始通《京氏易》《公羊春秋》《三统历》《九章算术》。”由此可知，这位名叫“第五元先”的京兆人士（“第五”为两汉时期著名的复姓），才是郑玄在数学领域的授业恩师；而若单论数学方面的造诣，郑玄其实早已超越了马融。

在这场难得的会面中，郑玄又趁机向马融请教了几个儒学疑难，之后便辞别离去。在正史的记载里，马融面对离去的郑玄只是喟然长叹；然而到了后世的笔记小说中，文人们则开始放飞想象，为其编排了一出扣人心弦的剧情。

例如，《世说新语》中便写道，二人甚至运用阴阳五行与算学知识展开了“隔空斗法”。马融因嫉妒郑玄之才，派人前去追杀。郑玄灵机一动，躲藏于桥下，在水里垫着木屐安坐。马融通过占卜演算发现郑玄正处于“土下水上而据木”之象，断定其必死无疑，这才作罢，撤回追兵，郑玄因而得以死里逃生。

在古代社会，占卜算卦、阴阳五行等学说往往自带神秘色彩，而扎实的算术知识，恰恰是解锁这些神秘技能不可或缺的基石。易学本身玄奥幽深，作为其配套工具的数学，学习门槛自然也相当高。

以《九章算术》为例，这部诞生于两千多年前的数学巨著，已经涉及开方运算、多元一次方程等诸多复杂算题。但与此同时，全书几乎没有纯粹的理论知识点讲解，实事求是地说，对于古代的普通学习者而言，想要彻底融会贯通，难度不可谓不高。

正因如此，从两汉直至唐朝初年，历代学者陆续着手梳理、注解各类算学典籍。其中的杰出代表，便有魏晋时期刘徽于公元263年撰写的《九章算术注》，还有成书于公元400年左右、深耕于基础算术领域的《孙子算经》等等。

发展至隋唐，中国的数学教材体系日趋系统化。唐朝初年，李淳风奉旨对包括《九章算术》在内的十部数学典籍进行了系统的注释与编订，这十部著作随后被后世统称为《算经十书》。

在古代中国，国家层面的官方数学教育始于隋朝，而到了唐朝则更进一步，正式将数学确立为一门独立的专门学科。据《新唐书》记载，《算经十书》在唐朝均被列为官学中的“颛（zhuān）业”，即必修课程。彼时数学专业的学制长达七年，有着极其严密的教学计划与推进节奏：

一名唐代的数学专业学生，第一年需先研读《孙子算经》等入门书籍以打牢根基；中间三年则主修《九章算术》等进阶经典；最后三年，则需要集中精力啃下最难的《缉古算经》。《缉古算经》是唐太宗贞观初年才编写完成的教材，古人评价此书称其“问数奇残，入算繁赜（zé），学之未易通晓”，此书也被公认为当时最具挑战性、最深奥的算学著作，故而专门被安排在学制的最后阶段。

纵观古代中国的数学教育编排，无论是在循序渐进的课程设置上，还是在教材的体系化建设上，都展现出了相当程度的科学性与合理性。那么，在这样一套条理清晰、严谨完备的教育体系培养下，究竟走出了多少伟大的数学家呢？

传统算学的落寞与重生

说来令人感慨，在古代的官学体系中，数学教材的编撰者，不乏一代数学宗师；然而，经由官学系统培养出来的学子之中，却几乎没有诞生过能够名垂青史的顶级数学家。

唐朝时如此，而到了宋代——这个古代对数学教育最为重视、规模最大、制度也最为健全的朝代，老实说，情况亦复如是。甚至有学者给出一则堪称“暴论”的观点：宋元时期几乎没有任何一位数学家是由官方的算学机构培养出来的。

今天学者的这一论断是否属实？某种意义上确实如此。宋元时期那些我们耳熟能详的数学巨擘，譬如沈括、秦九韶、杨辉、郭守敬，他们之所以能取得卓越的数学成就，大多归功于个人的浓厚兴趣以及深厚的家学渊源。

《缉古算经》的编纂者王孝通，曾在呈给皇帝的上表中坦诚写道：“（臣）钻寻秘奥，曲尽无遗，代乏知音，终成寡和。”可见，这种对数学的痴迷与探索，往往也是极其寂寥与孤独的。

顶级天才的寂寥，固然与数学这门学问本身的晦涩艰深有关，但也与古代统治者的不重视息息相关。总体而言，古代统治者往往是看不上这门学问的，在他们眼中，算学无外乎“事唯小道，各擅专门”。在这一思想的指导下，官学里的数学教育往往更加注重表面层次的应用，而不以深入的理论研究为目的；至于官学的授课目标，也不过是为了培养低级别的实用型官吏罢了。

既然国家官学培养的从来都不是尖端人才，那么，当朝廷亟需顶级数学人才时，又该怎么办呢？譬如唐德宗就曾颁布过一道诏书：“宜令诸州及诸司访解占天文及历算等人，务取有景行审密者，并以礼发遣，速送所司。”由此可见，朝廷往往选择直接面向民间招募。

缺乏固定且正规的招募与培养程序，直接导致了数学家们在古代普遍地位低下。南宋数学家秦九韶曾撰文回忆自己少年时代的求学过程：“早岁侍亲中都，因得访习于太史，又尝从隐君子受数学。”句中“隐君子”这简简单单的三字，便道尽了彼时数学大师们默默无闻、隐于市井的社会地位。

统治者历来的轻视，再加上中国人偏重实用与实践的天性使然，种种因素交织在一起，导致了中国古代数学虽然早期依靠大量的经验积累与精准计算，能够迅速引领潮流，傲立于世界之巅，但就像金庸武侠世界里的“剑宗”与“气宗”之争，随着注重基础理论与逻辑推理的西方数学开始持续发力，我国传统数学在后期注重经验的优势便荡然无存。

标志着中国传统数学攀上顶峰的，是宋末元初一位名叫朱世杰（史料对他的生平记载寥寥无几，但我们今天熟知的“二一添作五”等口诀俗语，就是由他提炼总结的）的数学家所撰写的著作《四元玉鉴》。然而，自朱世杰之后，中国传统数学便骤然走向衰落，此后数百年的岁月里，再也没能重回当年的巅峰。

到了近代，中国数学的发展更是历经尴尬与坎坷。说来令人唏嘘，早期的翻译家以及数学家们，甚至苦于找不到一套合适的语言来完整表述一个数学公式。他们绞尽脑汁，最终选择了一种“全盘中化”的妥协方式：譬如，用天、地、人、物来代替x、y、z、w，以二十八星宿名称表示希腊字母，用汉字偏旁部首取代各类数学符号……加之古代书籍采用的是竖排书写方式，总之，十分不便于数学公式的表达。

窥一斑而知全豹，单从一个简单公式的翻译演变，便能体悟到中国近代数学的起步是何等艰难。中国的数学，就是在这种情状下不断砥砺前行的。直到20世纪五六十年代，伴随着陈景润、吴文俊、冯康等超级新星的闪耀崛起，中国数学才终于正式开启了伟大的复兴之旅。

如今的诸多科研成果与行业突破已然证明：当我们对这门自古以来不太受重视的基础学科持续倾注心血、发力突破时，中国的数学，终将走向属于它的复兴。

文并供图/老谈