北京
新智元报道
百年猜想，又倒了一个。
Anthropic/哈佛数学家Levent Alpöge联合Claude，直接证伪了困扰数学界超过100年的Carathéodory猜想，顺带击碎了Loewner指数猜想。
一份PDF在数学圈流传了整整一周。现在，它正式公开了。
这已经不是Alpöge第一次和Claude联手搞事。今年世界杯期间，他就用提出了3维雅可比猜想的反例，震动数学界，
百年猜想，说的是什么
先说Carathéodory猜想本身。
1924年，德国数学家Hans Ludwig Hamburger在微分几何中提出了Carathéodory猜想，但用希腊数学家、他的博士生导师Constantin Carathéodory命名。
该猜想指出，三维欧几里得空间中任何凸的、闭合的且足够光滑的曲面必定至少存在两个脐点。
Constantin Carathéodory
猜想非常简洁但极难证明：任意足够光滑的闭凸曲面，至少有两个「脐点」。
脐点，通俗理解就是曲面上「各方向弯曲程度完全一样」的点。
在三维曲面的微分几何中，脐点是曲面上局部呈球形的点，它们所有方向的法曲率都相等，因此两个主曲率相等，且每个切向量都是主方向。
球面上每个点都是脐点——无论你朝哪个方向摸，弧度都一样。
Carathéodory断言：不管你怎么捏、怎么变形，只要这个凸面足够光滑，你不可能让脐点只剩一个。至少得留两个。
这个猜想看起来直觉上很「对」。
球有无穷个脐点，椭球有2个。
一百年来，无数数学家试过，没人能构造出只有1个脐点的光滑凸体。
与此平行的是Loewner猜想——孤立脐点的指数不超过1。两个猜想互为支撑，百年来像一对铁锁，锁住了微分几何一整片领地。
现在，锁被撬开了。这次发现，凸面如果太光滑（数学上叫C∞，无限次可微），Levent Alpöge找到了只有一个脐点的凸面。
一个反例，两个猜想同时倒塌
Alpöge和John-Paul Smith给出了一个极其具体的构造。
他们定义了一族函数g_k，其中k=2时的g₂作为球面支持函数，对应的凸体在原点处产生一个指数为2的脐点。
注意，指数2已经直接违反Loewner猜想的上限1。
更关键的是，由于指数衰减项的存在，g₂在数学上保证了C∞光滑——也就是说，这个凸体满足Carathéodory猜想要求的一切光滑性条件。
但它只有1个脐点。
Carathéodory猜想要求至少2个脐点，但反例给出1个，该猜想被证伪。
Loewner指数猜想要求脐点的指数为1，但这次是2，也被证伪。
一个显式的、可验证的反例，干掉了两个存活超过百年的猜想。
数学里，证伪一个猜想只需要一个反例。但找到那个反例，可能比证明猜想本身还难。
数学界的新常态
回看过去几个月：
Claude黎曼猜想新纪录——将零点比例下限从41.6%提到67.2%，37年人类只推了0.8%。
OpenAI集中发布10项数学和理论计算机科学进展。
Alpöge连续用Claude证伪多个经典猜想。
新晋菲尔兹奖得主宣布加入OpenAI。
新的趋势正在浮现。
AI不再只是数学家的计算器。它正在变成数学家的「直觉补充器」——在人类直觉失灵的地方，用穷举和构造能力打开新路径。
百年猜想不是被更强的人类智慧击碎的。它是被一种全新的人机协作范式击碎的。
这种范式还会继续击碎更多猜想。问题只是：下一个倒下的，会是哪一个。
参考资料：
https://x.com/haider1/status/2090034966717677902
https://x.com/alpoge/status/2089971359921156203
https://en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory_conjecture
编辑：大卫
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