终于还是有人问了

（来源：科普中国）

转自：科普中国

菲尔兹奖获得者中国数学家邓煜（左一）、王虹（右一）、美国数学家约翰·帕登（左二）和加拿大数学家雅各布·齐默曼在美国费城举行的 2026 年国际数学家大会开幕式上合影丨新华社/李睿

进一步地，也有人会想知道，这些抽象的、理论的数学研究有什么用？

数学研究不是买菜时的找零，也不止是造火箭时的计算。如果一定要问它是什么，更贴切的答案或许是：纯数学首先不是一种工具，而是一种语言，一种用来描述结构、关系，以及人类此前从未见过之物的语言。

从一根针开始的抽象工程

这几天，你大概已经听说了很多次挂谷宗一的那根针：一根针在平面上旋转一周，扫过的面积最小能有多小？

这是个非常具体的问题，具体到你可以拿着尺子去量量看。但数学家选择不用尺子和量角器。

一根固定长度的针，在尽可能小的区域内完成 180° 转向，扫过的区域能有多小？图为众多结构中的一种丨wikimedia commons/Claudio Rocchini

早在 1919 年，贝西科维奇证明了针扫过的面积可以任意小，趋近于 0。

后来的数学家并不满足于此，他们很自然地追问：面积是 0，那具体是什么样的呢？毕竟点的面积是 0，线的面积也是 0。为了方便区别，他们创造了“维数”的概念：点是 0、线是 1、面是 2。

1971 年，罗伊·戴维斯证明了平面上的贝西科维奇集合的 Hausdorff 维数和 Minkowski 维数都是 2，这个集合的面积虽然为 0，但在维数意义上却占满了整个平面。

数学家们继续追问：平面上是这样的，那三维空间、甚至更高维的 n 维欧几里得空间里，包含所有方向的单位向量的集合，Hausdorff 维数和 Minkowski 维数是否都是 n？

三维空间中的一个挂谷集合丨Quanta Magazine

接力棒到了王虹手里。王虹和合作者约书亚·扎尔用 127 页、技术论证层层嵌套的论文，证明了三维欧氏空间中的挂谷猜想。

工作中的王虹丨wikimedia commons/Rickinasia

100 多年前挂谷宗一描述的那根针已经消失了。一个非常具体形象的问题，在被不断追问细枝末节的过程中，抽象到了普通人难以理解的程度。

王虹的研究拿到菲尔兹奖，说明这个抽象的研究在数学家眼里是很重要的，所有的媒体也尝试强调它十分重要——但到底有多重要、有什么用，似乎没人能真正说清楚。

它似乎关联着一系列其他数学问题的成立性，但绝大多数人对这些问题也一无所知。有人试图告诉你，挂谷问题和傅里叶分析、偏微分方程都有关，例如它制约了傅里叶变换的误差——但在没有证明这个问题之前，工程师们也一直在使用傅里叶变换。

在经历以上一堆难以理解的名词轰炸后，你可能忍不住想问：这些跨度漫长、越来越艰涩的追问是为了什么？这些数学研究，只是数学家的头脑游戏吗？

某种程度上，是的。

很多时候，数学家提出一个问题时并没有打算让它解决现实问题。他们更关心的是“它是否存在”“能不能证明”“与已有理论之间是什么关系”。

数学研究和“学以致用”这种思想是截然不同的工作方式：它不是先寻找用途，再发展理论；而是先理解结构，再等待用途自己出现。

可能派上用场，在许多许多年之后

从历史的角度来看，有些看似天书的数学问题被解决很久很久以后，可能会以一种提出者本人都想不到的方式重新出现。

1832 年，20 岁的法国数学家伽罗瓦死于一场著名的决斗。他生前留下的研究手稿，试图回答一个看起来很具体的问题：如何判定一个代数方程是否可以用根式求解？

15 岁伽罗瓦的肖像丨wikimedia commons

在回答这个问题的过程中，他奠定了群论和伽罗瓦理论的基础，也开启了一系列代数结构的研究。以他的名字命名的“伽罗瓦域（也叫“有限域”）”就是其中之一，一种只包含有限个元素、但对加减乘除都有定义的代数结构。

最简单的有限域是对某个素数取模。

例如一个只有 0~6 七个元素的有限域 GF(7)，2 加上 6 并不会等于 8，而是等于 1，因为 8 不在这个集合里，所以应该让原先的运算结果对 7 取模，让结果落回 0~6 之间。

而 2*5 等于 3，因为 10 对 7 的模是 3，除法则是乘法的逆运算，因为 2*5=3，所以 3÷2=5。

取模实质上重新定义了四则运算，使它们在有限个元素中封闭。在有限域的运算中，不会出现小数或者分数，每次四则运算的结果都会落回这有限个元素的集合中。

伽罗华的这套理论，在之后被发展成一门叫做抽象代数或近世代数的数学学科分支。对于很多数学系学生来说，这是学习中遇到的第一个拦路虎。在此后 200 年里，它在数学学科内部影响深远，和许多领域发生交互并得以发展。

但也因为它的抽象，所以一直以来，似乎都与现实问题之间隔着很远的距离。

直到 100 多年后。

20 世纪 60 年代，数字通信技术开始兴起。一个核心的通信工程问题亟待解决：信号在传输过程中可能会丢失或被污染，接收方拿到的数据存在错误和缺失，要怎么才能恢复原始的信息呢？

麻省理工学院林肯实验室的埃尔文·里德（Irving Reed）和古斯塔夫·索罗门（Gustave Solomon）在寻找解决方案的时候，发现了 100 多年前伽罗瓦留下的工具。

数字通信的基本单位是字节，1 个字节是 8 位的二进制数，从 0 到 255，共 256 个。只要构造一个包含 256 个元素的伽罗瓦域，在这个域中做四则运算，结果永远还是落在 0 到 255 中——对信号传输来说，伽罗瓦域能提供纠错和数据恢复所必要的精确性。

GF(7) 那样的取模在这里行不通。因为 7 是素数，对它取模就能得到一个有限域，所有的运算也可以用取模来完成。

但实际里德和索罗门用的是包含 256 个元素的有限域，而 256 不是素数。你不能对 256 取模来构造有限域，因为例如 2×128=256，对 256 取模等于 0，两个不是零的数相乘得出了零，这样除法就失效了。

要构造一个恰好有 256 个元素，加减乘除都能运行的域，单纯取模是不行的，需要伽罗瓦的域扩张理论：从 GF(2)出发，这是一个只有 0 和 1 的小域，然后构建一个 8 次不可约多项式，通过多项式的运算来重新定义新的加减乘除，将它扩展成一个包含 256 个元素的更大的域。

不仅域本身需要扩张，连四则运算也需要重新定义，这种数学技巧正是数学系学生们头疼的难关之一，也是抽象代数在现实中最广泛的应用之一。

以前人伽罗瓦的理论为基础，有了 GF(256) 这个域，接下来又要用到多项式。

2 个点能确定一条直线，它的多项式表达是一次的；3 个点能确定一条抛物线，这是二次多项式；用 k 个点，我们可以确定唯一的一个 k-1 次多项式。

然后，我们不只传这 k 个数据，而是先利用这个多项式多算一些点的值，比如算出 n 个点，一起传过去。n 比 k 大，多出来的那些点就是冗余。

接收方收到了 n 个值。如果传输完美，任意取其中 k 个值，就能还原出那个多项式，从而恢复原始数据。

如果传输出了问题，n 个值中的几个可能被噪声改掉或者干脆丢失，冗余的价值就发挥出来了：一个 k-1 次多项式只需要 k 个点就能确定，多出来的点提供了交叉验证的能力；被改掉的那些值，不会落在原来那条抛物线上，它们会和其他正确的值产生矛盾从而暴露自己；只要出错的数不超过冗余量的一半，原始数据就能被完整恢复。

这就是 Reed-Solomon 码的核心思想。

我们仍然用之前的那个只有 0~6 七个元素的有限域 GF(7) 来举个例子。假如你要传递的信息是 3 和 5 两个数字，那么我们把它们作为系数，构建出一个一次多项式 p(x)=3x+5，然后把 x=0,1,2,3 这四个数代入，在有限域上获得 4 个值。

p(0)=5

p(1)=8mod7=1

p(2)=11mod7=4

p(3)=14mod7=0

传递的数据就是[5,1,4,0]这四个值，原始信息只需要[3,5]两个数字就能表达，现在传了 4 个，那么多出来的2个就是冗余。

先看数据丢失的情况，传输中第三个值丢失了，接收方收到[5, 1, ?, 0]，并且知道丢的是第三个位置。一次多项式只需要两个点就能确定，还剩三个点，足够了，取点(0,5)和(1,1)，斜率算出来是-4，也就是3，就能还原出p(x)=3x+5，代入x=2，p(2)=11mod7=4，缺失的值就能找回来了。

接下来看篡改，接收方收到的数据被改成了[5,1,2,0]。这样就需要从四个点里任取两个点来拟合一条直线，看哪条直线和最多的点一致。

先取(0,5)和(1,1)，得到 p(x)=3x+5。验证另外两个点：p(2)=4，但收到的是 2，矛盾，p(3)=0，收到的也是 0，吻合。四个点中三个落在这条线上，一个不在。

再取(0,5)和(2,2)来拟合，易知 p(x)=2x+5。验证p(1)=0，但收到的是 1，矛盾，p(3)=4，但收到的是 0，也矛盾。这条线只和两个点一致。

第一条线和三个点吻合，第二条只和两个点吻合。那么正确的多项式胜出，出错的位置是 x=2，正确的值是 4，多项式是 p(x)=3x+5。

当然，实际的算法并不是这样逐步尝试，接收方会通过接收到的数据计算一组叫做伴随式的值，然后用伴随式构造一个错误定位多项式，在有限域上求它的根，每个根能直接指向一个出错的位置，找到之后错误的值就能直接算出并进行修正。

在接下来半个多世纪中，Reed-Solomon 码被应用在了各种地方：

1977 年发射的两艘旅行者号探测器就携带了 Reed-Solomon 数据编码器，能让淹没在宇宙中的信号仍然正常发送接收；

以前常用的 CD 光盘，有时候盘面被刮花了还能正常播放，也仰赖 Reed-Solomon 码；

如今我们更熟悉的二维码，就算被遮挡或有污点仍能被正常识别，拥有最高纠错等级的二维码甚至允许 30% 的面积被遮挡或修改，这里面同样应用到了 Reed-Solomon 码。

从遥远太阳系边缘传回的图像，到路边小贩熟练使用的二维码，它们的纠错能力都来自于伽罗瓦域这个 200 年前并不为应用而诞生的、抽象的代数结构。

我们每天都用的扫码支付，技术根源可以追溯到 200 年前丨图虫创意

这样的故事还有一些。

1781 年，法国数学家蒙日基于军事工程和建筑中的土方调配优化，思考如何将一堆土最省力地搬去填坑。经过 200 年的追问演变，这个问题变成了衡量两个概率分布之间差异的 Wasserstein 距离，如今被用于训练 AI；

20 世纪 70 年代，数学家米尔曼（Milman）研究无穷维 Banach 空间的几何结构时发现的高维随机投影性质，30 年后经过陶哲轩等数学家的努力，变成了压缩感知理论的基础，它让医院的核磁共振扫描时间从将近 1 个小时，缩短成了十几分钟；

当你此刻拿着手机阅读这篇文章时，手机建立网络连接所使用的加密算法的核心，建立在 19 世纪数学家们研究的椭圆曲线离散对数问题。

数学是一种语言

上面讲的故事似乎存在一个共同的模式：数学研究往往从一个具体的问题出发，比如一根针扫过的面积、一个五次方程的解、土堆要怎么运输；然后在研究的过程中，问题本身发生变化，具体的概念逐渐脱离、新的抽象的结构逐渐被归纳；在对抽象化概念不断追问的过程中，又诞生了其他的结论。

数学学科由此变得繁复细致，一眼看过去完全不明所以。

但正因为抽象，这些难以理解的结构反而获得了原来叙述具体问题时不具备的能力：它能描述完全不同的、可能人所未见的事物。

这就是基础数学和应用之间真正美妙的关系：数学在不断求索的过程中，会把问题抽象到只剩结构和关联，而同一个抽象的结构可以适用于完全不同的事物，从而获得新的可能性。

至于研究成果在当下、甚至在数学家的有生之年能派上什么具体的用场？伽罗瓦不可能预见到二维码的应用，蒙日也完全不懂 AI，但是伽罗瓦域就是伽罗瓦域、Wasserstein 距离就是 Wasserstein 距离，可能几百年后会被后人巧妙地用到技术中，但研究成果经思想而诞生，其过程并不需要预先知道它未来会被用在哪里。

回到菲尔兹奖。作为数学界最高荣誉之一，菲尔兹奖奖励的从来不是一项已经改变世界的技术或产生经济价值的成果，而是让数学本身向前推进了一步的工作。今天我们不知道邓煜和王虹的研究有什么具体的用处，但我们知道新的数学结构能不断成为后来科学和技术工作的起点，本身就已经具有价值。

这就是数学的工作方式。