一根针，为什么能难倒数学家一百多年？

2026年7月23日，在美国费城举行的国际数学家大会上，中国数学家王虹获得菲尔兹奖。该奖每四年颁发一次，主要表彰40岁以下作出杰出贡献的数学家，常被称为“数学界的诺贝尔奖”。王虹也由此成为菲尔兹奖历史上第三位女性获奖者。

中国数学家王虹获得菲尔兹奖（图片来源：新华社）

许多人第一次听到王虹的研究时，可能会感到意外：如此重要的数学奖项，竟然与“一根针”有关。当然，这并不是真正的缝衣针。数学家关心的是：一根长度固定的细针，若要转向所有方向，究竟需要多大的空间？这个像益智游戏一样的问题，为什么会让数学家研究一百多年？答案还要从日本数学家挂谷宗一提出的“转针问题”说起。

挂谷猜想从哪里来？

1917年，挂谷宗一提出了一个有趣的问题：在平面上，一根长度固定的针若要从一个方向转到相反方向，至少需要多大面积的区域？最容易想到的办法，是捏住针的中点原地转动。这样一来，针扫过的范围就是一个圆盘。不过，这显然不是最节省空间的方案，因为圆盘中有许多地方并没有被充分利用。

挂谷宗一的个人肖像照（图片来源：[1]）

那么，能不能让针一边转动，一边移动呢？这就像汽车在狭窄的道路上掉头：汽车不必原地旋转，可以先向前开一点，再向后退一点，经过多次调整完成转向。针也可以采用类似的方法，不断改变位置，让不同方向上的运动轨迹尽量重叠，从而缩小所需区域。

数学家设计了三角形、星形等各种区域，希望找到最省空间的方案。然而，俄国数学家贝西科维奇后来发现，只要把不同方向的线段安排得足够巧妙，它们就可以大量交叉和重叠。这样一来，针虽然能够指向所有方向，所占区域的面积却可以变得任意小。

三角形区域下的情形（图片来源：[2]）

所谓“任意小”，并不是指存在一块比任何面积都小的固定区域，而是说：无论事先把面积上限定得多低，都能重新设计出符合要求的转针区域。要求小于1平方厘米，可以做到；要求小于0.001平方厘米，也可以做到；即使再缩小一百万倍，仍然有办法完成。换句话说，转针所需的面积没有一个大于零的最低值，而是可以无限接近零。

后来，人们把“在每个方向上都包含一条单位线段”的集合称为挂谷集。最不可思议的是，有些挂谷集甚至可以做到面积为零。一个集合既然包含无数条方向不同的线段，怎么可能没有面积？这正是挂谷问题最反直觉的地方。

面积都为零了，为什么还不能看成一条线？

面积并不是衡量几何图形大小的唯一标准。一个点可以看作零维对象，一条线是一维对象，一张平面是二维对象，我们生活的空间则是三维的。但有些图形十分破碎，甚至像尘埃一样散布，普通的“长、宽、高”已经不足以描述它们。数学家于是引入豪斯多夫维数、闵可夫斯基维数等概念，用来衡量这类集合在不同尺度下有多复杂。

现代形式的挂谷猜想认为：一个集合只要容纳了所有方向的单位线段，它的复杂程度就应该与所在空间相当。在二维平面里，它不能简单地退化成一条线；在三维空间里，它也不能本质上只是一个平面或一条曲线。

以平面上的挂谷集为例，它虽然可以没有面积，却仍然具有二维的复杂程度。可以把它想象成一团被反复切割、不断打孔的“几何尘雾”：远远看去，它稀薄得几乎不存在；但无论把局部放大多少倍，都能看到向不同方向延伸的线段和丰富的细节。

挂谷集构造示意图：通过将三角形切割、平移并巧妙地重叠拼接，可以在保证“针”依然能转向任意方向的同时，让图形的总面积急剧缩小（图片来源：[6]）

因此，“面积为零”和“具有二维复杂度”并不矛盾。面积回答的是一个集合实际占据了多少空间，维数描述的则是它在细小尺度上如何分布和延伸。挂谷集可以在面积意义上小到极限，却仍然不像一条普通的线那样简单。

为了研究这个问题，数学家常把没有粗细的线段稍微“加粗”，想象成一根根细管。问题也随之变成：大量朝向不同的细管，最多能够重叠到什么程度？无论怎样挤压和排列，它们是否仍会显现出整个空间应有的复杂性？

王虹的突破为何如此重要？

二维挂谷猜想早已得到证明，但三维问题长期困扰着数学界。在三维空间中，线段和细管既可以彼此交叉、上下穿行，也可以聚集在复杂的曲面附近。许多在平面上有效的方法，进入三维空间后便难以继续使用。

2025年，王虹和乔舒亚·扎尔公布了三维挂谷猜想的证明。他们证明，三维空间中的挂谷集即使体积为零，其复杂程度仍然必须是三维的。也就是说，只要一个集合包含所有方向的单位线段，它就不可能在本质上被压缩成一个平面、一条曲线或其他更简单的低维结构。

王虹和她的合作者乔舒亚·扎尔（图片来源：[3]）

证明中的一个重要思想被称为“黏性”。一些方向相近、位置相邻的细管，可能像煮熟后黏在一起的面条，在不同尺度上始终成束聚集。这样的排列最容易造成大量重叠，看起来也最有希望把整体压得很小。王虹和扎尔通过精细分析说明，即使面对这种极端情形，这些细管仍会呈现出足够丰富的空间结构，无法真正“挤扁”成低维图形。

截至2026年，三维挂谷猜想已经解决，但四维及更高维的情形仍是开放问题。空间维数越高，线段和细管能够形成的排列方式越丰富，研究难度也随之增加。

傅里叶变换示意图（图片来源：[3]）

挂谷猜想的重要性还在于，它并不只是一个关于“转针”的几何游戏。在傅里叶分析中，复杂的波可以被拆分成许多沿不同方向传播的“波包”，这些波包的形态与细长的管子十分相似。研究细管能重叠到什么程度，也是在研究不同方向的波能否异常集中。因此，挂谷问题与傅里叶变换、偏微分方程以及波的传播等领域有着深刻联系。

参考文献

[1]https://mp.weixin.qq.com/s/Fb6VgKCJrgCKWy3ratB2rg

[2]https://mp.weixin.qq.com/s/I0_TF4wBzRBqxUj8zG69fQ

[3]https://mp.weixin.qq.com/s/KQUsFu654wX6upW0NT5afw

[4]Hong Wang, Joshua Zahl, The Assouad dimension of Kakeya sets in R³, arXiv:2401.12337

[5]Hong Wang, Shukun Wu, Restriction estimates using decoupling theorems and two-ends Furstenberg inequalities, arXiv:2411.08871

[6]https://mp.weixin.qq.com/s/oSz9YDqAbDFKy1N7FtbNUw

来源：力学科普

编辑：ThymolBlue

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