一锅不能喝的“汤”，究竟煮着什么，竟让菲尔兹奖得主日思夜想？

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什么形状最自然？对于古希腊人来说，他们偏爱柏拉图多面体（又称正多面体），并将它们跟土、气、水、火这四种古典元素对应起来。而圆和球，既完美又简洁，同样也颇受欢迎，直到今天仍然还有许多热情洋溢的数学家在研究它们。又或许，你更喜欢分形，它们有着无穷无尽的复杂细节，让人联想到云朵、植物、海岸线，甚至我们肺部的形态。

不过，对于菲尔兹奖得主、数学家 温德林·沃纳（Wendelin Werner） 来说，最自然的形状是 布朗环（Brownian loop） 。它可以看作一条由布朗运动形成的、首尾相接的随机路径。尽管布朗环本身是随机的，但在某种意义上，它却拥有比圆更多的对称性。将许多个布朗环放在一起，还可以构造出另一种随机却又高度对称的结构，沃纳称之为 “环汤”（loop soup） 。

“如果你晚上躺在床上思考，什么是最基本、最自然、又可能与物理世界息息相关的随机结构，你完全可以说服自己相信，布朗环汤是最有力的候选者之一，”他打趣道，“ 它再简单不过，却又该有的都有。 ”

它是怎么“起作用”的？

沃纳钟爱布朗环汤，主要是因为它能让他“会心一笑”。但这背后，还蕴含着一种源于他早年邂逅物理定律时的直觉。上学时，沃纳学到了牛顿的万有引力定律，它描述了两个物体（比如太阳和地球）之间的引力，如何随它们之间的距离变化而变化。

但年少的沃纳并不满足于这样的描述。“我举起手，大概是这样问的：‘非常感谢您的讲解，这个定律非常棒， 但它到底是怎么起作用的？ 太阳和地球之间究竟有什么东西在传递，这个东西又是如何测量出它们之间的距离，再根据这个距离产生相应引力的？’”这个问题虽然简单，却问到了关键，因此一直萦绕在他的脑海中。

布朗运动，你的好朋友

除了思考物理定律，沃纳对随机性也一直抱有浓厚的兴趣。“我从小就喜欢跟随机性有关的东西，比如玩棋盘游戏之类的，”他说，“我也喜欢连续统结构以及与之相伴的数学。当我第一次遇到布朗运动时，我就想‘ 这是我的好朋友——光是琢磨这个数学对象，我就能乐在其中了 ’。”

环汤中的环，正是源自这位“布朗”朋友。 1827 年，植物学家罗伯特·布朗（Robert Brown）在显微镜下观察悬浮在水中的花粉颗粒时，发现这些颗粒会做一种蜿蜒曲折的随机运动。空气中的尘埃颗粒也会如此。人们认为，这是因为它们不断受到空气分子或水分子的随机碰撞。可问题在于，当时没有人知道原子和分子是否真实存在。

最终，爱因斯坦出手相助了。1905 年，他对布朗运动进行了统计分析，并借此估算出一摩尔物质所含的微粒数，也就是阿伏伽德罗常数。爱因斯坦的研究后来得到了让·佩兰（Jean Perrin）的实验证实，使人们逐渐确信 原子和分子确实存在 。佩兰也因在这一领域所作出的杰出贡献，获得了 1926 年诺贝尔物理学奖。

布朗运动既可以被视为一种真实的物理现象，也可以作为一个纯粹的数学概念。其严格定义并不简单，但你可以通过所谓的 “醉汉漫步” 来获得一些直观认识。

想象一下，你从空间的某一点出发，随机选择一个方向，并朝那个方向迈出一步；接着不受第一步的影响，重新随机选择一个方向，再朝那里迈出一步。然后继续选择新的方向、不断迈步，如此循环反复，甚至可以永远持续下去。 这就是“醉汉漫步”（drunkard's walk），也被称为“随机游走”（random walk）。 它是一种离散对象，由一系列随机选定的方向所确定的一连串点组成。

计算机生成的随机游走 10000 步。图片来源：Zweistein~commonswiki，CC BY-SA 3.0。

现在，想象一下，你迈出的每一步都变得越来越小，步长逐渐趋近于零。这个过程或许不太容易想象。为了说明这一点，不妨设想你正沿着一个圆行走，每迈出一步，就会在圆上得到一个离散的点。随着步长不断减小，同时相应地增加步数， 这些点会变得越来越密，并在极限中连成一条连续的曲线 ，而这正好就是你原本绕行的那个圆。

步长越来越小、步数越来越多时，点在极限下将连成一个圆。

同样地，对“醉汉漫步”也可以取一种所谓的 “标度极限”（scaling limit） ，不过最后得到的曲线并不会如此光滑。直观地来说，这条曲线会不停地随机改变方向，而且它的长度是无限的。事实上，它是 一条分形曲线 。

连续的，还是离散的？

把一个连续的随机对象看作某种离散对象的标度极限，往往能带来许多直观认识 ，因为离散对象的很多性质已经得到了充分研究。这一思路非常成功，也一直受到物理学家的青睐，被用来研究各种各样的问题，而不只是悬浮在空气中的微小尘埃。

不过，沃纳指出，研究一个连续的随机对象，并不一定非要采用这种方法。“ 我们也可以直接从一个连续对象出发研究它，而不必先通过标度极限得到它 ，”他说，“有时候，这种方法会揭示一些用其他方式难以察觉的新现象。”

在沃纳身上，这一点无疑得到了印证。20 世纪 90 年代初，他在博士阶段研究布朗运动；此后，他又研究了多种与物理学相关的随机路径，并由于这些工作获得了众多奖项。 2006 年，他凭借相关研究荣获菲尔兹奖。 颁奖词称，他的研究代表了“近年来数学与物理学之间最激动人心、最富有成果的交互之一”。

二十年后的今天，沃纳已经将诸多奖项收入囊中，担任剑桥大学教授，并获得了英国皇家学会的重要研究资助。 如今，他已有条件从容放松地坐下来，静心思考那些能让他 会心一笑 的事物了。

“熬制”一锅环汤

那么，就让我们来看看环汤。前面已经提到，布朗环就是从某一点出发、最终又回到该点的布朗运动。我们可以把它简单地看成一个环，不再区分环上哪一点原本是起点兼终点。通过对布朗运动作适当处理，我们可以在数学上严格定义布朗环。而 所谓的环汤，按照沃纳的说法，就是一个尽可能“自然”的布朗环集合 。

不过，这里的“自然”究竟是什么意思？一种理解是，它的定义 不应依赖主观而任意的选择 。一旦你规定某种结构必须长成这样、而不能长成那样，它在某种意义上便不再那么普适。按照这一标准，圆和球都是不错的候选。要定义一个圆或一个球，唯一需要选择的就是它的大小。

从对称性的角度来看，我们会发现，绕圆心旋转一个圆，它仍然与原来完全重合；但如果绕圆心以外的某一点旋转，就会得到一个位置不同的圆。

绕圆心旋转不会改变圆的样貌（左），绕其他点旋转则会产生另一个圆（右）。

而布朗环是一种随机对象。任取一个具体的布朗环并将它旋转，旋转后得到的通常不会是原来那个环。不过， 旋转后的布朗环可以与原来的布朗环具有完全相同的“概率规律” ——也就是说，生成它们的随机规则可以完全一样。

接下来，有一种技巧，无论是确定的形状还是随机的形状，都可以用它构造出相应的 标度不变结构 。

“试想一下有这样一个空间，在这个空间中的每个点会随机冒出大大小小，不同尺寸的球，”沃纳说，“最后，你会得到一堆散落在整个空间里的球体。接着随便取一个点，它通常不会刚好落在某个球的球心上，却会处于无穷多个越来越小的球的内部。只要用合适的方式来生成这些球，再把得到的画面放大观察，你看到的仍然会是一幅具有同样性质的随机画面，就像回到了最初的画面一样。”

数学家把这种规律称为“ 标度不变性 ”（scale invariance）。用数学语言来说，这里想象到的画面是一个由球体构成的 泊松点过程 （Poisson point process）。这类泊松点过程经常被用来近似描述自然界中的随机分布，例如散布在干旱地带的树木，或是玻璃中的微小气泡。

布朗环汤的构造与此类似，只不过随机放置在空间中的不再是球，而是布朗环。每一个环都有自己确定的大小—— 它虽然是一条长度无限的分形曲线，但直径却是有限的 。因此，同样的构造思路也适用于布朗环。

因此， 布朗环汤的概率规律具有标度不变性，同时也具有旋转不变性 ：将整锅环汤旋转之后，所得到的随机图景仍然遵循完全相同的概率规律。

环汤具有很强的普适性，要定义它，你甚至 不需要依赖大小或距离的概念 。为了定义其中的每一个环，你只需要能够随机选择方向即可。（严格来说，还需要空间在局部无穷小尺度上具有各向同性；这一性质与分析学中的一些基本概念密切相关，例如拉普拉斯算子和调和函数。）

当我们在二维空间中构造环汤时——也就是说，所有的环都位于平面的某一区域内——还会出现一种更强的不变性：不仅缩放整幅图景不会改变其概率分布，即使对平面施加任意保持角度不变的变换（即保角变换，又被称为共形变换），其概率分布也依然不变。这种性质称为“ 共形不变性 ”（conformal invariance）。而圆并不具备这种更强的不变性！

沃纳的许多研究正是围绕这种二维情形展开的。例如，在完成那项为他赢得菲尔兹奖的研究之后，他还证明了如何利用二维环汤，构造出一些与物理学家所说的“共形场论”相关的随机结构。

总而言之，布朗环汤把数学家最喜爱的随机运动模型（布朗运动），与一种经典的随机分布模型（泊松点过程）结合起来，由此构造出一种不偏向空间中任何位置、任何尺度或任何方向的结构。在许多不同的变换下，它的概率规律都保持不变。对数学家而言，这种面对变化仍能保持不变的性质，正是对称性的体现。因此，从这个意义上说， 布朗环汤具有高度的对称性 。

对大多数人来说，晚上躺在床上时，布朗环汤大概不会是首先浮现在脑海中的东西。不过现在，我们或许已经开始明白，沃纳为什么会如此喜欢它了。

不过，布朗环汤的魅力不止于此， 它与自然界之间还有着非常深刻的联系 。更多精彩，且看下文分解。

深入环汤

到目前为止，我们还没提到过的一件事是，泊松点过程带有一个叫作 “强度”（intensity） 的参数，它衡量的是汤中环的稠密程度。低强度给出的是清汤寡水，仿佛只扔进了寥寥几根环状意面；而高强度则给出的是浓稠的、挤满了环的浓汤。当你把两锅相互独立、强度相同的环汤叠加在一起时，会得到另一锅强度翻倍的环汤。

当强度参数取到某个特定值时，会发生一件非常特别的事情。假设环汤中有两个环在某个点处相接触（事实上，这样的接触点将有无穷多个）。如果没人告诉你这是两个环碰在一起，你可能会以为这个 8 字形来自一个自相交的单个环。而这样一个环可以有两种方式产生：要么由一段布朗运动按照你写“8”字的笔顺一笔画成，要么由一段布朗运动先画出一个“3”，再顺势继续画完剩下的部分，凑成一个“8”。

三种可能性的示意图：两个环相切（左）；按通常书写方式一笔画出的 8 字形，中间线条交叉（中）；先画出红色“3”再补全为 8 字形（右）。

这样一来，“8”字形恰好有三种可能的形成方式。对于一般的强度参数，这三种情形在环汤中出现的概率并不相同，具体取决于这个“8”字形是由一个环自相交形成的，还是由两个环相接形成的。但 当强度取那个特殊的“临界值”时，三种情形出现的概率恰好相等。

由此便得到临界环汤的一种特殊性质，沃纳称之为 “重连性质”（rewiring property） 。当你在环汤中遇到一个“8”字形时，可以从这三种连接方式中等概率地随机选择一种，并据此重新连接接触点处伸出的四段路径。重连之后，你得到的环汤可能与原先不同，其中一些“8”字形的连接方式也发生了变化； 但决定整锅环汤的概率规律仍然保持不变 。

临界环汤的重连性质意味着，在某种意义上，单个环失去了自己的“身份”，无法再进行辨认 。这让沃纳联想到了量子物理中一种与玻色子有关的现象：当两个玻色子处于同一个量子态时，它们在某种意义上也失去了自己的“身份”，同样是 不可区分的 ，彼此交换也不会带来任何变化。

事实上， 临界环汤与玻色子之间的联系还不止于此 。

与大自然的联系？

玻色子是自然界中存在的两类粒子之一。另一类是费米子，包括电子和夸克等粒子，正是它们构成了我们所熟悉的各种物质。

玻色子不能构成普通物质，但其中一些充当了 “信使粒子” 的角色，负责在费米子之间传递自然界的基本作用力。这其中就包括光子，它构成了光，并能传递电磁力。

为了用尽可能简单且理想化的方式描述玻色子的行为，物理学家们构造出了一种数学模型，叫作 “自由玻色场”（bosonic free field） 。量子力学告诉我们，包括玻色子在内的各种粒子并不像小球那样运动，它们同时也具有波的性质。在量子场论中，每一类粒子都对应着一种弥漫于整个空间的“果冻”，也就是所谓的场，而一个个粒子则表现为这片果冻中的一道道涟漪。这片“果冻”本身具有随机性，并且会随时间不断变化。而自由玻色场所描述的，正是这种随机性在最简单情况下，即其中的涟漪没有质量，且彼此之间也不发生相互作用时，所遵循的统计规律。

“这个结构可以与布朗环汤直接联系起来，”沃纳解释道。每一锅环汤都有一个与之对应的数学对象，叫作 “占据场”（occupation field） 。粗略地说，它描述的是宏观环在空间中某一点附近有多密集。占据场和环汤本身一样具有随机性，因此很难预先知道它会呈现出怎样的形态。不过，我们仍然可以描述这种随机性所遵循的统计规律。

然后有意思的来了。临界布朗环汤的占据场统计规律，与自由玻色场有着密切的联系。事实上， 前者与后者的平方具有完全相同的概率分布 。换句话说，从一个自由玻色场出发，我们就可以构造出环汤的占据场。反过来，这也意味着，如果想从一个环汤构造出玻色自由场，只需为每一座“环岛”随机选取一个正号或负号即可。在这个意义上，临界布朗环汤为我们提供了一种 从几何角度理解自由玻色场 的途径。

应该如何让上述的自由玻色场与环汤之间的联系成立呢？一个重要的思路是，用一种介于连续空间和离散网格之间的模型来研究。这个模型被称为 “缆图”（cable graph） ，它由离散的网格再加上网格的边所组成。

平面上一小片缆图。

在缆图上，布朗运动仍然可以从一个点连续地运动到另一个点，有点像一只蚂蚁在细细的管道中爬行。因此，我们也可以在缆图上定义布朗环汤。当缆图网格的间距变得非常小时，其中的环汤便会与连续空间中的环汤十分相似，而那些由彼此相连的环形成的随机“岛屿”， 其几何结构也会与连续空间中自由玻色场的某些特征联系起来 。

远距离联系

环汤与自由玻色场之间的联系，是概率几何与量子物理的数学理论之间一个优美的交汇点。不过，即便只关注几何这一个方面，你仍然可以提出许多问题。

一锅临界环汤通常包含许多环簇。由此可以提出一个问题， 这些环簇在空间中形成了怎样的连通结构？ 给定两个点 x 和 y，它们属于同一个环簇的概率有多大？

答案非常简洁： 这个概率与牛顿势（Newtonian potential）有关 ，而牛顿势是描述牛顿万有引力定律的另一种方式。随着两点之间的距离增大，这一概率会逐渐降低，其衰减规律与两个物体相距越来越远时，它们之间引力减弱所遵循的数学规律相同。

沃纳说，只要真正理解了环汤与自由玻色场之间的联系，这个结论“差不多一眼就能看出来”。不过，他又进一步提出了一个问题：如果一锅临界环汤中，两个相距很远的点 x 和 y 是连通的，那么这锅汤会长什么样？

他给出的答案相当耐人寻味：这锅汤看起来与一锅两个点并不连通的环汤完全一样，只不过 其中额外加入了一条从 x 通往 y 的布朗路径 。我们知道，环汤中本不该出现这种带有两个端点的路径，其中只能有闭合的环。但这条路径与原有的环以一种特殊的方式交叠在一起，以至于将它们合起来看时，整个集合仍然像是一个由许多环组成的环簇。

“这看起来就像是点 x 发出了一条信息，而这条信息确实传到了点 y，与此同时，其他地方则完全没有受到影响，”沃纳说，“我很喜欢这一点，因为它让我想起了自己过去一直思考的一个问题：‘应该如何理解地球与月球这样两个遥远地点之间的联系。’”

设想一个仿佛被不断变化、不断演化的临界布朗环汤填满的数学世界。在这个世界里，偶尔会闪现一道“ 布朗闪电 ”，将 x 和 y 连在一起。“它们不必发出信号问‘点 y，你在哪？’”沃纳说，“因为连接这两个点的通信通道自会偶尔出现。”无需再向茫茫虚空大声呼喊。

这未必能告诉我们有关地球、太阳或其他现实物理系统的什么道理。不过，它却生动地展示了，一个主要由小环组成的随机结构， 如何能够跨越很远的距离，把空间连接起来 。

不过，还有一个神奇之处

2025 年 3 月，沃纳在剑桥大学的艾萨克·牛顿数学科学研究所讲述了这段关于环汤的故事。当时，台下坐着许多数学界的重要人士，其中包括国际数学联盟执行委员会的多位成员。沃纳本人也曾于 2011 年至 2018 年担任该委员会委员。

不过，自那以后，这一领域又取得了令人振奋的新进展。沃纳的结论对任何缆图都成立，甚至也适用于高维空间中的缆图网格。尽管我们无法直观想象这些高维空间，但可以用数学方法对它们加以描述。当网格间距趋近于零时，缆图上的大布朗环会逐渐收敛为连续空间中的大布朗环。不过，网格上还存在着许多极其微小的环，它们会在这一极限过程中消失。用沃纳的话说，这些微观环最终化作了 一种 由无穷小颗粒组成的“粉末” ，随机散布在整个空间之中 。

在二维平面的情形下，已经有人证明，这些“粉末”可以忽略不计——即使将它们去掉，也不会影响环汤内部的连通关系。但正如沃纳早前指出的那样，当空间维数达到四维或更高时，这些粉末便不可或缺。在四维和五维空间中，它们就 像一种由无穷小颗粒构成的“神奇胶水” ，将那些大环黏合在一起 。

那么三维空间呢？2025 年秋天，蔡振豪和丁剑证明， 在三维空间中，这种“神奇胶水”同样存在 。沃纳起初不知为何觉得三维中不会出现这种现象，但事实证明，它恰恰存在于我们现实所处的三维空间中，这令他感到格外兴奋。

“因此，在三维及更高维空间中，连续环在极限状态下的连通，是 两种互补机制共同作用的结果 ，”沃纳解释道，“一部分是由彼此相交的宏观环组成的链条，另一部分则是那些充当无穷小随机胶水的‘粉末’。这种粉末的量恰到好处，刚好能够促成更多连接。”

至于这种“粉末”是否映照着现实世界的某种特征，这个问题，还是留给我们去想象吧。

从环汤到现实

21 世纪初，沃纳与格雷戈里·劳勒（Gregory Lawler）共同提出了布朗环汤的概念。此后，他又与伊夫·勒让（Yves Le Jan）、提图斯·卢普（Titus Lupu）等人一道，在推动这一理论发展的过程中发挥了关键作用。不过， 环汤真的能帮助我们认识现实世界吗？ 它与自由玻色场密切相关，刻画了量子力学认为支配着微观世界的那种随机性；它还以一种富有启发性的方式，呈现了空间中的点与点之间如何彼此连通。它甚至会不会与弦论存在某种联系？弦论是“万物理论”的候选之一，认为自然界最基本的组成单元，是一条条极其微小、不断振动的弦。

“这是数学家们经常掉进去的陷阱，”沃纳说，“我们弄懂了一个数学结构，便开始宣称：‘ 现在我可以解释整个世界了 。’”的确，数学史上不乏这样的故事，数学恰好提供了合适的工具或视角，给物理学带来了革命性的变化。但在每一个这样的成功故事之外，也有许多相反的案例。数学家天马行空的设想，很有可能在物理学中既派不上用场，也并不受欢迎。

“双方追求的目标本来就并不一样，”沃纳说，“数学家只是想从研究漂亮的数学对象和优美的数学证明中获得乐趣。我们拥有这样一种奢侈，那就是 可以不去在意这些东西究竟有没有实际用途 。但是物理学家就不一样了，他们归根结底还是要用实验来检验自己的理论。”

沃纳认为自己很幸运，此前为他赢得菲尔兹奖的研究，后来恰好提供了一种与物理学家所发展出的视角截然不同的看法。布朗环汤也并非凭空出现，它在数学上与沃纳早期的研究有着密切联系。不过，他并不愿过分渲染布朗环汤中那些似乎赋予其物理意义的方面。他坦言，自己对粒子物理和量子物理的理解只有“幼儿园水平”，而自由玻色场在量子场论中也只是一个再简单不过的模型。

如今，沃纳仍在继续思考着这些和环汤有关的问题，也 仍然面带微笑，如同过往那般 。

作者：Marianne Freiberger

翻译：LogicMoriaty

审校：楠客

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【互动问题：沃纳说，数学家拥有一种奢侈，可以不问“有没有用”，只因觉得美、觉得有趣就可以去研究。你有没有什么在别人看来“毫无用处”，却总能让你会心一笑的爱好或小事？来评论区分享一下吧！】

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编辑：LogicMoriaty

翻译内容仅代表作者观点

不代表中科院物理所立场