重庆
最近大美女王虹得了菲尔兹奖的新闻引起了很多网友对于数学的热爱和讨论（或者是假装自己看懂了人家的工作的样子），在网上又继韦神、姜圣之后，掀起了一阵学习数学的浪潮。不过似乎本质上还是国人爱凑热闹的心理吧，毕竟美女数学家有热点，像她同学、一起得菲兹奖的邓煜热度相对就低了很多，大约是没啥热度吧。
作为一名主打扯淡的博主，时代君也想蹭这个热度，但是可能不认识人家，于是想了半天，决定写一篇最通俗的科普五次方程为什么没有根式通解的文章，能够真正让高中生也能看懂，并理解其中的意思，从而了解到为什么当年英年早逝的阿贝尔和伽罗瓦，当年做的工作的意义。
毕竟阿贝尔27岁去世、伽罗瓦20岁去世，做出的贡献对于整个数学界影响又大，所以这俩人通常也是小黄书、B乎上热度很高的工具，但是对于他们的理论，多数人又写不清楚，至少时代君没有看到过感觉高中水平能看懂的文章，当然这也不能怪高中生，毕竟像泊松这种悲催的大牛当年都看不懂，普通人看不懂也很正常，最终导致做出了大量贡献的泊松，在普通人眼里就泊松亮斑和看不懂伽罗瓦的论文，从而在数学史上成为了天才的垫脚布，在无数科普文章里都成了笑料。
装逼
好了，废话不多说，下面进入正题。
一、到底什么是方程的根式通解？以及为什么五次方程没有根式通解
说五次方程没有根式通解，一不是说五次方程没有解，因为根据代数基本定理，任何一元多项式方程在复数域都有解。二不是说五次方程的解不能表示成根式的形式，因为很多五次方程的一些解都能表示成根式的形式。比如说下面的例子：
五次方程没有根式通解的含义是：找不到一个用层叠根式表示通用公式，用五次方程的系数，把五次方程的所有解统一表示出来。
这个统一表示怎么理解呢？下面时代君分别以2、3、4次方程的例子，来尝试给大家详细解释一下。
大家都知道，在复平面上任意画几个点x1、x2、x3......，就可以构造一个几次方程，因为可以写成(x-x1)(x-x2)...(x-xn)=0的形式。
那么对二次方程来讲，两点之间形成一条线段，那么怎么用一个统一的式子来一下子把这两个点表示出来呢？那很简单：两点之间连线的中点，加减线段长度的一半，就是这两个点了。
最终表现出来就是初中生都会的，一元二次方程的通解形式：
看起来就是，一个中点，加一段减一段，两个解就统一表示出来了。
那对于三次方程呢？有点复杂，但也不是能不确定，三点确定一个圆，从圆心到两个点之间分别做垂线，那三个解就是垂点加减两个不同弦的一半。推导出来比较复杂，但是总的来说是可以想象出来的。最终三次方程的解，差不多长这样。
四次方程也差不多，描述出来，就是两两点之做做中垂线，相交那个点到两线段中点那个值到两线段中点，加减线段的一半。不过最终给出来的公式，就非常复杂了。
但对于五次方程，你就很难这么用一个公式或者说一句话来描述了。你或许可以说某个五次方程的其中两个根是从点1往左和右各走两步，另三个根则是从点2往3点钟、6点钟、9点钟方向，各绕一刻钟等等。但这种描述方法完全不具有通用性，也就是说没有办法拿一个通用公式去套所有的解情况。也就是说5次方程没有通用根式解。
从上面的例子，想必大家能够明白两件事：一是五次方程没有求根公式本质上是没有办法用相对简单的统一的一句话把一元五次方程的所有解给统一起来。二是为什么专门要说根式解，而不是说指数解对数解，因为在这里面可以看到很多开根号。
而这里面隐含的问题在于初等数学的表达能力是有局限性的，从几何意义上来讲，加减乘除乘方开方，代表了数在复平面上的平移、缩放、旋转、弯折，对于二三四次方程，都有可能经过有限次的操作，让几个根统一到一个包含了某个或某几个对称的加减的根式运算里，但是五次方程没有这种可能。下一章，我们将详细解释这种对称与统一的关系。
不过值得注意的是，虽然用有限次的初等数学方法没法把五次方程的解统一到一个框架里，但是其它方法是可以的，比如说克莱因就证明了用二十面体的变换可以把所有解表示出来。
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