彼得・萨纳克（Peter Sarnak）：数学的“AlphaZero测试”——AMS Notices美国数学会通告2026-8

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传统派数论学者彼得・萨纳克（Peter Sarnak）谈AI人工智能对数学的影响。

彼得・萨纳克（左）与雅各布・齐默曼（右）合影

图片由雅各布・齐默曼提供

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作者：彼得・萨纳克（Peter Sarnak，普林斯顿大学尤金・希金斯讲席教授，普林斯顿高等研究院荣休教授）

美国数学会通告（AMS Notices）2026-8月刊 2026-7-10

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-7-13

求喜欢

我是一名传统派数论学者，本人并不使用AI人工智能相关工具。但我很幸运，手下一届届学生都十分擅长运用各类新技术 —— 如今是各类 AI 工具，早年则是编程、数值计算软件。我年轻时学过 Fortran 编程，但现在早已没人再用这门语言，所以遇到计算相关问题，我都会和学生协作完成。

雅各布・齐默曼（Jacob Tsimerman）在读博期间师从于我，从一开始就能看出他是天赋顶尖的杰出数学家。我更多只需要对他加以引导，用传统数学培养方式带他做研究。

我知道雅各布对 AI 抱有极大热情，我起初对此不以为意。后来我问他：“你为什么这么看好 AI？” 他回答：“人工智能现在已经能解IMO国际数学奥林匹克竞赛的各类试题。” 我回应：“或许这只能说明奥数题本身难度有限，不能证明 AI 有多强大。” 他接着反问：“AI 需要达到什么水平，你才会真正正视它？它要做到哪些事，才能改变你的看法？” 雅各布的观点我向来重视，于是认真思考起这个问题。当下许多数学家都刻意回避、无视人工智能，寄希望于它自动淡出学术界，这一问题值得所有人深思。

和雅各布交流过后，我又在普林斯顿高等研究院与阿克沙伊・文卡特什（Akshay Venkatesh）探讨了 AI 相关话题，他和雅各布想法相近。受两位年轻人启发，我开始主动关注 AI：参加相关学术研讨会，邀请业内专家前来分享，有机会也会主动发表自己的观点。

去年我受邀前往印度参加Infosys奖颁奖典礼并发表演讲，演讲题目为《纯粹与应用数论》，其中也谈及人工智能对数学的影响。下文便是我当时阐述的核心观点。

计算、数值推演自古就是数论发展的核心支柱。未来五十年，统计机器学习飞速发展，究竟会对数论乃至整个纯粹数学产生多大影响，是当代数学工作者必须思考、亟待解答的关键问题。

我的视角兼具数学家与前职业棋手双重身份：在投身数学研究前，我曾是国际象棋半职业棋手。10 到 16 岁这六年，我每天不间断下棋，直至 24 岁才逐渐减少对局。年少时我研读拉斯克（Lasker）、阿廖欣（Alekhine）、鲍特维尼克（Botvinnik）等国际象棋宗师的棋理体系，他们总结的各类局面策略令我无比震撼，心生敬畏。后来接触抽象数学，我感受到一种更高层次的智力美感，时至今日，重大数学发现依旧能带给我同等震撼。

约十年前，深度思维（DeepMind）推出 AlphaZero、AlphaGo两款博弈 AI，彻底颠覆国际象棋与围棋领域，给我留下极深印象。其中 “零” 的含义至关重要：AlphaZero 从零起步，不依托任何人类棋谱数据库，完全自主对弈自学。倘若数学领域也诞生同类工具，将会掀起颠覆性变革。

剖析国际象棋 AI 的发展路径，能够为人工智能做数学提供参考。国际象棋虽规则人为设定、局面总数有限，但规模庞大，无法依靠暴力穷举破解。当下最强两类棋类程序为 Stockfish 与 AlphaZero，二者均能完胜人类棋手，且 AlphaZero 实力更强。Stockfish 依托人类成熟棋理编写程序，是人类棋艺的延伸。它计算更快、推演更深，不会出现浅显战术失误，还内置海量对局数据库。核心优势在于逻辑可解释：顶尖棋手能看懂 Stock 每一步落子背后的思路。反观 AlphaZero，完全不预设任何人类棋理、不调用对局库，仅通过海量自我对局生成数据，结合统计机器学习优化落子判断。它的选棋预判能力远超人类与传统程序，但给出的落子策略人类无法直观理解。即便如此，不少职业棋手仍能通过 AlphaZero 的对局获得启发。

将视线转回自动定理证明领域：只要把数学完全形式化为公理与推演规则，自动证明机的构想便自然而然产生，定理就是有限步推演能够导出的命题。但数学和国际象棋存在本质区别：

1. 1 数学体系无穷无尽。一道命题要么能证明、要么证否，还有大量命题无法判定真假；从哲学层面，这一差异至关重要，数学的研究空间和棋类游戏完全不在一个维度。

3. 2 自然数及其算术规则近乎 “天然给定”，不存在人为设定规则。

5. 3 依据哥德尔不完备定理，数学体系不可判定：即便在一套完备形式系统内，也存在部分命题无法证明真伪，保罗・科恩也证实其中不乏有意义的数学猜想。

我所说的定理证明机，指内置全套数学公理与推演规则，输入待求证命题，经过一段时间运算后，输出完整形式化证明、判定命题不成立，或是给出 “无法证明”，甚至判定该命题与公理体系相互独立。

现阶段自动定理证明的发展，类比1950年代初代计算机国际象棋程序。目前已有成熟形式化验证工具，支持交互式核验证明正确性；全球数学家投入大量人力，将前沿理论完整录入形式系统。预计五十年内，这套工程就能全部落地，为定理证明机提供完备知识库。

我提出 “AlphaZero 测试” 作为评判标准：将拉马努金猜想这类原始初等命题输入定理证明机，全程不开放任何外部数学资料、现成理论，要求机器独立判定命题真伪。

拉马努金猜想由德利涅（Deligne）证明。将无穷乘积q ∏ₙ≥₁ (1 − qⁿ)²⁴展开为幂级数∑ₙ≥₁ τ(n) qⁿ 则对任意素数 p，不等式 |τ(p)| ≤ 2 p^(11/2) 恒成立。

我的预判是：当下 AI 通不过这项测试。绝大多数现代定理的证明都依赖层层抽象概念、成套理论体系，仅靠统计自学习推演无法从零推出。完整写出一条定理的原始无简化证明，篇幅会极其冗长。国际象棋中 AlphaZero 依靠统计猜测迭代优化，突破了算力阈值；但数学不存在同类阈值。即便五十年后出现全新技术，依靠统计机器学习自主生成证明，也很难推出现有主流数学定理。

倘若我的预判错误，影响将是颠覆性：未来我们可以通过 AI 确认命题成立，却无法理解背后逻辑。而理解推导内核是数学研究的核心，届时人类需要重新定义数学的本质。

下面假设我的预判成立：我们把机器能够从零推导出的命题称作 “初等统计型定理”。我们放宽限制，允许证明机调取所有可用数学资料用于学习迭代，输入拉马努金猜想后，机器会立刻检索数据库，调取早已完成形式化的完整证明。如此一来，在任意时刻，我们都拥有一套已成型的数学定理与理论体系，而核心问题在于：“我们这套基于统计的定理证明器还能推导出哪些新命题？”

我认为 AI 能推导的命题范围依旧有限 —— 许多数学家不会认同这个观点。通俗来讲，它只能解决现有理论框架可触及的衍生问题，也就是理论的初等统计推论。绝大多数数学家日常攻克的，正是这类问题。AI 可以大幅加速这类问题的推导、核验流程，成为得力科研助手。

这类自动证明工具的定位，类似职业棋手手中的 Stockfish。无论可推导命题范围宽窄，人类数学理论始终是 AI 的底层根基；伴随工具迭代，数学理论体系本身也会自然演化。即便五十年后，我们这代数学家依旧能认出这门学科的本质。

参考资料

https://www.ams.org/journals/notices/202607/noti3373/noti3373.html

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