折纸数学：折出美好未来——HLF海德堡桂冠论坛博客

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折纸数学及其广泛应用和一些未解的现实问题。

图源：NASA/JPL-Caltech

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作者：本杰明・斯库斯（Benjamin Skuse，英国科普作家）

HLF海德堡桂冠论坛博客 2026-6-17

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-6-25

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如何折叠一个 “匠师”（Takumi）小猫

雷克萨斯工厂的自动化设备堪称顶尖高科技，但这家日本车企仍聘用技艺登峰造极的 “匠师”（Takumi，https://discoverlexus.com/stories/takumi-the-60000-hour-story-of-human-craft ）—— 他们全程把控整车制造每一处细节、严控品质。一名工人要耗费数十年才能晋升为匠师，而他们转正前的最终考核极具日式特色：为证明手部灵活度，必须用非惯用手在 90 秒内折出一只折纸小猫。

匠师（Takumi）小猫折纸教程

图源：英国雷克萨斯公司

如今，这项诞生于18世纪的日本折纸工艺，早已跳出手工范畴，在诸多领域大放异彩。折纸匠人能用简洁优雅的手法，把平整轻薄的二维纸片，变换成结构精巧的三维造型。这种设计思路为各类设备与产品的研发源源不断提供灵感：汽车安全气囊、外卖餐盒、邮政信箱，还有桌椅、滤水篮等可折叠日用物件，全都依托折纸原理。这些产品拥有一个共同特性：能够稳定地在极小收纳形态与完全展开的大尺寸形态之间切换，全程几乎无需人工操作。

拓展三浦折叠的太空应用边界

在航天运载领域，折纸结构的收纳优势体现得淋漓尽致。火箭搭载的每一分载荷都经过精密测算、尽可能减重，以此最大化发射性价比。1995年，日本宇宙航空研究开发机构（JAXA）发射的太空飞行单元卫星SFU https://www.isas.jaxa.jp/en/missions/spacecraft/past/sfu.html ，首次采用三浦折叠（Miura fold）收纳太阳能电池板。

这套折叠法由日本天体物理学家三浦公亮（Kōryō Miura）于1985年发明。太阳能阵列可像厚重长书一样收拢收纳，仅需一台驱动装置拉动一角，就能如手风琴般完全展开，铺开后呈现棋盘状平行四边形网格。

三浦折叠数十年间广泛用于旅游地图，近年又被应用在轻量化纸箱等超紧凑型包装上 https://www.vttresearch.com/en/news-and-ideas/vtt-launches-new-origami-packaging-technology-create-sustainable-lightweight-durable ；

三浦折叠的折痕图案 。本例中的平行四边形角度分别为 84° 和 96°。

图源：维基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Miura_fold

它兼具视觉美感与深厚数学内涵，折痕分为两种：山折（红色虚线）、谷折（蓝色虚线），折痕交错排布形成多列倾斜平行四边形。四个平行四边形交汇的顶点，恰好汇聚四道折痕；相邻两行平行四边形倾斜方向相反，对应两行顶点的朝向也两两相对。

三浦折纸图案

图源：MetaNest（知识共享署名 3.0 协议）

这套折痕与顶点角度设计，让三浦图案能平整收拢，其背后由两大折纸数学定理约束：川崎（Kawasakis）定理与前川（Maekawas）定理。

川崎定理：一个顶点可实现平整折叠的充要条件是，环绕该顶点的交替角之和等于 180°。

设三浦折叠顶点处循环相接的四个内角为 θ₁、θ₂、θ₃、θ₄，则满足 θ₁ + θ₃ = 180°，θ₂ + θ₄ = 180°。三浦折叠采用全等平行四边形，内角组合为 a、a、(180°−a)、(180°−a)，天然满足该条件。

但川崎定理仅为必要条件，不足以保证平整折叠，它没有约束折痕的排布方式。

前川定理补充了这一规则：顶点平整折叠时，交汇于此的山折数量 m 与谷折数量 v 之差恒为 2，即 |m − v| = 2。

三浦折叠每个顶点仅有四道折痕，仅存在两种组合：三道山折一道谷折，或是三道谷折一道山折。

明确平整折叠约束后，二维纸片到三维立体形态的转换过程，可通过三组对应三维空间坐标 (x,y,z) 的方程建模。方程显示 x、y 坐标均由同一参数 sin (a) cos (λ⁄2) 决定，λ 代表当前三维折叠角度（λ=0° 为完全平铺展开状态）。这意味着折叠无法单向伸缩，两个方向的展开动作相互耦合、同步联动。

三浦折叠包装实物

图源：VTT，Miia Palmu

https://www.vttresearch.com/en/news-and-ideas/vtt-launches-new-origami-packaging-technology-create-sustainable-lightweight-durable

闪光折纸结构

近年 JAXA 面临一项更棘手的工程难题：如何在仅 10×10×10 厘米的立方星折纸二号卫星内部收纳大型天线并顺利展开。（折纸一号卫星 2019 年成功发射，但升空数日后便失联 https://ieeexplore.ieee.org/document/11366084 ）。科研团队选用另一种多功能折纸结构，该结构也被用于机械手骨骼等装置设计 ——闪光折纸图案。

闪光折纸图案（flasher origami pattern）以中心刚性多边形为核心，外围环绕螺旋状细密折痕环带；展开时从中心点向外 360° 旋转舒展，一次性全方位铺开，最终天线阵列展开尺寸可达 50×50 厘米，展开面积是收纳状态的 25 倍。折纸二号卫星搭乘 “革新崛起号” （Kakushin Rising https://rocketlabcorp.com/missions/launches/kakushin-rising/ ）火箭，于2026年4月在新西兰发射升空；目前卫星正在开展设备健康状态检测，完成自检后将执行核心任务：展开反射阵列天线。

和三浦折叠一样，闪光折纸的局部平整折叠特性同样遵循川崎、前川两大定理。闪光折纸由多层同心环网格包裹中心多边形（通常为正方形或六边形）构成，根据川崎定理，每个内部顶点的交替内角之和必须严格等于 180°。标准方形中心闪光折纸，内部顶点均为两个直角交替排布（90°+90°=180°），满足角度约束。

除此之外，闪光折纸整体螺旋同心轨道全部为四阶顶点，每个交汇点必须严格分配三道山折、一道谷折（或反之）才能顺利收拢，契合前川定理。

闪光折纸的形态由折叠角 θ 描述（θ=180° 对应完全平铺二维状态），所有顶点采用柱坐标 (r,φ,h) 标注：r 为到中心的半径，φ 为环绕角，h 为竖直高度。描述 (r,φ,h) 的方程组包含大量参数，本文不再罗列，但所有坐标均与折叠状态参数 sin (θ⁄2) 绑定。因此闪光折纸属于高度耦合的单自由度系统，只需拉动一处即可完全收拢或展开，特性与三浦折叠一致。

闪光折纸展开过程

图源：美国国家航空航天局（NASA）喷气推进实验室 https://www.jpl.nasa.gov/edu/resources/project/space-origami-make-your-own-starshade/

但闪光折纸存在一处几何缺陷：它不具备刚性可折叠特性，这点与三浦折叠不同。展开收拢过程中，折面板必须发生弯曲，否则机构会卡死。工程师提出多种改良方案：沿面板对角线增设辅助折痕、顶点处裁切减重、加装滚动铰链，通过以上方式提升结构柔性，弥补方程约束带来的刚性局限。

美国国家航空航天局喷气推进实验室正在研发一套基于闪光折纸的展开机构，用于搭载巨型花形遮光罩进入太空。这种恒星遮光罩是未来系外行星生命探测任务的核心设备。计划2040年代发射的宜居世界观测台（Habitable Worlds Observatory，HWO），将配备60米巨型遮光罩，遮蔽恒星本体光线，从而以前所未有的清晰程度观测其轨道上的系外行星。

HWO宜居世界观测台构想图（搭载巨型恒星遮光罩）

图源：NASA美国国家航空航天局 / 加州理工学院喷气推进实验室 NASA/JPL-Caltech

https://www.jpl.nasa.gov/news/starshade-would-take-formation-flying-to-extremes/

充满奥秘的吉村折叠图案

另一类折纸结构 ——吉村折叠（Yoshimura pattern），设计更为精妙。该图案由交错菱形与三角面拼接而成；完全收拢压扁时近似圆形，充分展开后形成刚性极强、结构稳定的圆筒。该特性使其拥有广阔应用场景：汽车溃缩区的结构筒、人体血管自扩张支架，甚至未来登月、火星基地的太空舱主体结构，都在采用吉村折叠方案开展研发。

这套折叠法由日本航空航天科学家吉村庆丸（Yoshimaru Yoshimura）于1951年发明，源自他对薄壁金属圆筒受垂直重压时屈曲、塌陷形态的研究。他发现，吉村图案可紧凑堆叠收纳，完全展开后形成刚度极高的圆筒。

吉村折叠圆筒

图像由谷歌 Gemini 辅助生成

然而除少数落地案例外，将吉村折叠的结构优势转化为实用产品始终困难重重。原因有二：

其一，三浦折叠、闪光折纸的数学模型已研究透彻，但吉村折叠二维与三维形态转换过程难以建模。折叠中段，三角曲面会凸起、弯折、扭曲，方程组引入强非线性，难以通过工程手段规避。

其二，吉村折叠以大量六阶顶点为基础构成复杂网格，不存在唯一折叠路径。不同于三浦、闪光折纸的单自由度特性，它具备多自由度，需要复杂矩阵代数才能推演全部潜在折叠轨迹。因此吉村结构形变不可预测，建模与控制难度极高。

雷克萨斯工厂的匠师必须熟练操控纸张折叠，以此证明手部技艺；与之相似，现代数学家并未将吉村折叠等复杂折纸的内在难题视作研究死胡同，而是当作亟待攻克的挑战。相关研究突破或将彻底释放折纸数学的全部潜力，催生出大量源自这项古老折纸工艺的新型结构与设备。

参考资料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/origami-mathematics-the-shape-of-things-to-come/

https://discoverlexus.com/stories/takumi-the-60000-hour-story-of-human-craft

https://www.isas.jaxa.jp/en/missions/spacecraft/past/sfu.html

https://www.vttresearch.com/en/news-and-ideas/vtt-launches-new-origami-packaging-technology-create-sustainable-lightweight-durable

https://en.wikipedia.org/wiki/Miura_fold

https://mathworld.wolfram.com/KawasakisTheorem.html

https://mathworld.wolfram.com/MaekawasTheorem.html

https://www.vttresearch.com/en/news-and-ideas/vtt-launches-new-origami-packaging-technology-create-sustainable-lightweight-durable

https://ieeexplore.ieee.org/document/11366084

https://rocketlabcorp.com/missions/launches/kakushin-rising/

https://www.jpl.nasa.gov/edu/resources/project/space-origami-make-your-own-starshade/

https://science.nasa.gov/astrophysics/programs/habitable-worlds-observatory/

https://www.jpl.nasa.gov/news/starshade-would-take-formation-flying-to-extremes/

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