2026-06-25：给定范围内 K 位数字之和。用go语言，给定三个整数 l、r、k。 我们要考虑所有恰好有 k 位的整数，这些整数的每一位数字都是

2026-06-25：给定范围内 K 位数字之和。用go语言，给定三个整数 l、r、k。

我们要考虑所有恰好有 k 位的整数，这些整数的每一位数字都是这样选出来的：

对每一位，从区间 [l, r]（包含端点）的数字中独立随机选择一个作为该位的数字；如果 [l, r] 内包含 0，那么允许出现前导零（因此不要求最高位不能为 0）。

把所有符合条件的 k 位数全部列出，然后计算它们的总和。

由于结果可能非常大，请对 1000000007 取模，返回最终结果。

0 <= l <= r <= 9。

1 <= k <= 1000000000。

输入： l = 5, r = 5, k = 10。

输出： 555555520。

解释：

5555555555 是唯一一个由范围 [5, 5] 内 k = 10 位数字组成的有效数字。

总和为 5555555555 % 1000000007 = 555555520。

题目来自力扣3855。

一、数学推导分步详解（对应代码sumOfNumbers公式来源） 步骤1：计算单一位的数字平均值

区间[l, r]数字总和：
其中 ，代表每一位可选数字总个数。
每位数字的期望（平均取值）：

步骤2：拆分k位数的位权贡献（核心思想）

一个k位数，从右到左各位权值依次是：
所有合法数字总和 =每一位单独贡献之和，每一位贡献相互独立，可分开计算再相加。

单一位（固定某一位置，比如第t位，权值 ）的总贡献

1. 1. 该位所有可选数字总和：

2. 2. 其余k-1位每一位都有m种选择，总组合数：

3. 3. 该位权值：
   所以单个位置总贡献：
   

总和
提取公共因子 ：

等比数列求和：
代入总和公式：

合并分母：

步骤3：模意义下除法转换为乘法逆元

模数mod=1e9+7是质数，根据费马小定理：
对不被mod整除的x，
原式除以18等价于乘以18的模逆元： 。
同时 可能为负数（模运算下），所以加mod再取模保证正数： 。

最终模运算公式（和代码完全对应）：
$$
\begin{align}
Total \pmod{mod}
&= \Big[(l+r) \cdot m \pmod{mod}\Big] \
&\cdot \Big[(10^k - 1 + mod) \pmod{mod}\Big] \pmod{mod} \
&\cdot inv_{18} \pmod{mod} \
&\cdot \Big[m^{k-1} \pmod{mod}\Big] \pmod{mod}
\end{align}
$$
其中：
， ， 为模快速幂。

二、代码执行分步流程（以输入l=5,r=5,k=10举例） 阶段1：预处理常量与基础变量

1. 1. 固定模数mod = 1000000007；

2. 2. 入参 l=5，r=5，k=10；

3. 3. 计算每一位可选数字总数： 。

分项B： ，负数修正

调用快速幂pow(10, 10)算出 ；
计算 ，再加mod避免负数： ，得到9999999999。

分项C：18的模逆元

程序每次计算都会调用pow(18, mod-2)，预先算出18在模1e9+7下的乘法逆元，记为inv18。

分项D：

m=1，任意次幂结果都是1，调用快速幂pow(1, 9)得到1。

阶段3：逐项模乘合并结果

严格按顺序连续相乘，每一步都对mod取模，防止数值溢出：

1. 1. 先乘A × B，模mod；

2. 2. 中间结果 × inv18，模mod；

3. 3. 中间结果 × D，模mod；
   最终得到总和模mod的值 555555520。

打印合并后的模值，匹配样例输出。

三、核心工具：快速幂pow(x, n)详细执行逻辑

函数作用：快速计算 ，n可高达1e9，二进制分解幂次。

1. 1. 初始化结果res=1；

2. 2. 循环条件 n>0，每次将n整除2（右移一位）：

• • 若当前n二进制最低位为1（n%2==1）：把res = res * x % mod，把当前底数乘入结果；

• • 更新底数：x = x * x % mod（底数平方，对应二进制高位）；

3. n缩减到0后返回res。

以样例中pow(10,10)为例：
10二进制是1010，循环仅执行log₂10≈4次，无需循环10次。

四、总时间复杂度、额外空间复杂度分析 1. 时间复杂度

程序内一共调用3次快速幂：

1. 1. ：幂次k最大1e9，循环次数 ；

2. 2. ：mod固定1e9+7，指数固定，循环次数 ，为常数；

3. 3. ：幂次k最大1e9，循环次数 。

其余加减乘、变量赋值都是O(1)常数操作。
是固定常量可忽略，总时间复杂度：

2. 额外空间复杂度

1. 1. 仅使用固定数量局部变量（res、x、n、m、各项中间乘积）；

2. 2. 快速幂为迭代实现，无递归栈、无数组、无动态内存；

3. 3. 不随k、l、r输入规模扩张。

总额外空间复杂度：
（常数空间）

Go完整代码如下：

package main

 import (
    "fmt"
)

 const mod = 1_000_000_007

 func pow(x, n int)int {
    res := 1
    for ; n > 0; n /= 2 {
        if n%2 > 0 {
            res = res * x % mod
        }
        x = x * x % mod
    }
    return res
}

 func sumOfNumbers(l, r, k int)int {
    m := r - l + 1
    return (l + r) * m * (pow(10, k) - 1 + mod) % mod * pow(18, mod-2) % mod * pow(m, k-1) % mod
}

 func main() {
    l := 5
    r := 5
    k := 10
    result := sumOfNumbers(l, r, k)
    fmt.Println(result)
}

Python完整代码如下：

# -*-coding:utf-8-*-

 MOD = 1_000_000_007

 def pow_mod(x, n):
    """快速幂取模"""
    res = 1
    while n > 0:
        if n % 2 == 1:
            res = res * x % MOD
        x = x * x % MOD
        n //= 2
    return res

 def sum_of_numbers(l, r, k):
    m = r - l + 1
    # (l + r) * m * (10^k - 1) * inv(18) * m^(k-1) mod MOD
    return (l + r) * m % MOD * (pow_mod(10, k) - 1 + MOD) % MOD * pow_mod(18, MOD - 2) % MOD * pow_mod(m, k - 1) % MOD

 def main():
    l = 5
    r = 5
    k = 10
    result = sum_of_numbers(l, r, k)
    print(result)

 if __name__ == "__main__":
    main()

C++完整代码如下：

  

using namespace std;

 const long long MOD = 1000000007LL;

 long long pow_mod(long long x, long long n) {
    long long res = 1;
    while (n > 0) {
        if (n % 2 == 1) {
            res = res * x % MOD;
        }
        x = x * x % MOD;
        n /= 2;
    }
    return res;
}

 long long sumOfNumbers(long long l, long long r, long long k) {
    long long m = r - l + 1;
    long long result = (l + r) % MOD;
    result = result * m % MOD;
    result = result * ((pow_mod(10, k) - 1 + MOD) % MOD) % MOD;
    result = result * pow_mod(18, MOD - 2) % MOD;
    result = result * pow_mod(m, k - 1) % MOD;
    return result;
}

 int main() {
    long long l = 5;
    long long r = 5;
    long long k = 10;
    long long result = sumOfNumbers(l, r, k);
    cout << result << endl;
    return0;
}

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