陈省身：无为而治

陈省身是享誉世界的数学大师，也是中国最伟大的科学家之一，被誉为整体微分几何之父。他深耕基础数学领域，取得一系列划时代成果：1945 年，他引进了规范场中的陈类，奠定了整体微分几何的基础，深刻的影响了现代数学的许多分支；1970 年，陈省身和西蒙斯将陈类推广，引入陈-西蒙斯不变量，被广泛视为几十年来对现代物理学最具影响的理论。1990 年，身处洛杉矶的陈省身接受了 Jean Pierre Bourguignon 的专访，回溯了辗转南开、清华、汉堡、巴黎的求学生涯，讲述了追随嘉当学习的传奇经历，也坦诚分享了自己对学科发展、学术研究、人才培养的独到思考。而贯穿其中的治学与处世的无为而治、顺其自然的东方智慧，也让我们得以走近这位数学巨匠丰盈的精神世界。

采访人：Jean Pierre Bourguignon，英国皇家科学院院士、欧洲科学院院士、法国数学家，曾任法国高等科学研究所所长、法国数学学会主席、欧洲数学会主席、欧洲研究理事会（ERC）主席等职。曾荣获法国物理学会 Paul Langevin 奖，法国数学和物理科学Rayonnement Francais奖。

视频由法国高等科学研究所授权刊发，陈省身教授之女陈璞（May Chu）授权制作。Anthony Phillips 拍摄, Jean-François Dars 和 Anne Papillault 制作完成。叶骁炜、郑坂制作中文字幕，Jean-Pierre Bourguignon 与高等科学研究所青年教授陶中恺协助。（请前往“返朴”公众号观看）

求学生涯

我的职业生涯与西方数学家很不同，也与今天的年轻数学家不同。我进入南开读大学，当时的南开还是个很小的大学，所有专业总共只有约三百名学生。我父亲送我去南开，因为他认为我应该接受大学教育。我对以后要做什么工作并没有主意。对数学的志趣将我带向了科学。于是，我成为了一名理学院学生。我不太会做实验，这使数学成了一个自然的选择。当时数学系只有一名教授姜立夫。他在哈佛师从 Julian Coolidge，获得博士学位, 姜先生是一位杰出的老师，我跟随他，听了他许多课。先是高等微积分和线性代数，之后是一些更前沿的课程（译者注：彼时南开大学数学系由姜立夫教授独自支撑)。

在很早的时候，我就一直有做些事情的志向，它不必是非常时髦的事情。1932 年，Wilhelm Blaschke 访问北京，我当时在清华读书，听了他的讲座。1934 年，我获得了一个赴美留学的机会，但我更希望去欧洲，于是就去了汉堡跟随 Blaschke 学习。到了德国，我并没有上太多他的课，那时，他经常出差。但他建议我应该去跟 Élie Cartan 做博士后。我 1936 年在汉堡。从 1936 年到 1937 年，我在巴黎。

弘扬与Cartan的过往

Cartan 是一个手上有很多小问题的人。我第一次见到 Élie Cartan, 他就给了我一个问题。那个问题是：有一个几何结构，尝试定义内蕴的联络，(这个联络) 要给出这个结构所有的解析的、几何的性质。我自然做不出这个问题。大概一个月过后，我在 Poincaré 所的楼梯上又遇到了他。我们握了握手，然后他问：“你为什么不来见我？我告诉他：“我做不出您的问题。然后他说：“不管怎样要来见我。”于是我开始常与他交谈。后来我对这个领域有了更多的了解。他第一次给我的问题其实是很好的问题，我后来还解决了它。

大概三四个月后，他告诉我可以去他家见他。那时我住在大学城的瑞士楼，他家就在那条街上。我与他大概每两周见一次面，我不用约定直接去找他。通常他会为我开门，现在这个家是 Henri Cartan 在住。Cartan 的书房就在门口。我们大概交流一个小时，我向他做汇报。我会把这两周得到的结果写下来，并把问题用法语写下来。这样他就能用法语读并回答。我们用法语对话。我们的交流非常棒，通常第二天我就会收到 Élie Cartan 的信。他会说：“你走了之后我又想了你的问题。“如果这样做/那样做会很有趣。”我那段时间很努力，我要在两周之内去思考，他有很多小问题，我要想他的问题，并且尝试考虑不同的东西。对于我，这一年至关重要。在这一年内，我完成了一些文章。最主要的是，一年之后我发现 Cartan 对我来说不再难以理解。我具有了像他那样思考的能力，这使我受益良多。

关于示性类

从一开始 我就意识到这是一个重要的问题。这一切要从我对 Gauss-Bonnet 公式的证明说起。那是 1943 年，我从中国到了普林斯顿高等研究院，遇到了 André Weil。他刚与 Allendoerfer 合作写完关于 Gauss-Bonnet 公式的论文。他们的方法是将黎曼流形切成若干带边流形，再粘在一起等等。André 问我，为什么不能有一个直接的证明？我便自然地考查了最简单的情况——曲面的情况。我发现曲面的情况可以提升到丛上用超渡（transgression）公式来证。这个超渡公式不仅蕴含了带边曲面 Gauss-Bonnet 定理的证明，还给出了 Gauss 绝妙定理的证明，所有都含在一个公式中。我对此很开心，因为即使在二维情况，这也是 Gauss 和 Darboux 等人所不知道的。Heinz Hopf 在一篇题为《微分几何与拓扑形状》的文章中，称 Gauss-Bonnet 问题为“微分几何中最重要且最困难的问题”。这篇文章发表于《德国数学家联合会年报》。因此，我对证明感到非常高兴。

接下来，自然地，如果对 Euler 示性类做了什么，便可以尝试对 Stiefel-Whitney 示性类做类似的事情。这是我做出的第一次尝试，而我很快意识到必须要做复化。因为在实流形上，挠总是令人头疼。微分形式与挠不能兼容。我意识到，在复流形上一切都变得简单。过了很长一段时间后，复示性类才变得有用。

我当时在研究所，把文章的手稿给 Hermann Weyl 看了。他恭喜了我，也感到很高兴。在这之前，我有篇文章题为《迷向曲面的几何》，发表在《数学年刊》上。Hermann Weyl 是审稿人。起初，我从中国把这篇文章寄给 Lefschetz，Lefschetz 当时是《年刊》编辑，我收到他的回信说“我们收到太多投稿，如果您可以撤回投稿就好了。我没有回 Lefschetz 的信，不过大概一个月过后，我收到 Lefschetz 的另一封信，说：“您的文章己经审过，审稿人高度推荐，我们很高兴您的文章将在《年刊》发表”。后附的审稿报告很长，我想有大概十页。我去了 Princeton 之后，有一天 Hermann Weyl 问我：“陈，你知道你那篇文章的审稿人是谁吗？”原来就是他，因此他知道我的这个工作。我们有很多联系。Weyl 表达了对这篇证明了 Gauss-Bonnet 定理的论文的赞赏。

微分几何，回归前沿

据我了解，在欧洲大学里，微分几何曾被称做“微积分在几何中的应用，这是很重要的。毕竟微积分的祖师爷们总是运用几何的概念。而之后，Euler，Lagrange 等人的大量工作也都与几何密切相关。所以在某种意义上，微分几何一直是数学中重要的一部分。它的重要性可能一度被取代。首先被复变函数取代，复变函数非常迷人，并在一段时间内几乎统治了整个数学领域。之后微分几何的地位又被代数，抽象代数所取代。此后，微分几何的重要性是通过理论物理的发展被认识到的。爱因斯坦的相对论将关注转移到了微分几何上。当然，现在微分几何相较以前，与更多数学（分支）产生了关联。这是非常自然的，某种意义上，要说出什么是几何并不困难。但到了高维，很难看到一个图像，即使电脑有时能画出漂亮的图。而一些真正的进展还是用分析的方法做出来的。

纤维丛

一个伟大的进展就是纤维丛理论的发展。纤维丛或者向量丛。一方面，一般意义下有各种空间；另一方面，又有很特殊的空间，比如欧氏空间、非欧空间，以及这些空间中的一些图像。纤维丛这个概念将二者结合，纤维上的性质简单，但底空间可以很一般。示性类很重要，因为它们是少见的与局部和整体性质都相关的不变量。通过运用这两类性质，微分几何得到了一些最重要的发展。我认为微分几何仍会是数学比较中心的分支。

数学与物理

数学和物理的关系还会变得更近。我们正在做的这类数学，以这次暑期研究（注：活动期间，陈省身接受了本次采访）为例，数学家与一些理论物理学家的兴趣很近。南开研究所物理分所由杨振宁指导，按他的说法，他们在做很好的工作。比如说，他们找到了 Yang-Baxter 方程的新的解。

流形之后，几何的“新衣”会是什么

注：在《美国数学月刊》发表的一篇文章中，陈先生将几何与服饰的发展类比，流形的概念被比作现代人的穿衣方式。

我并不了解（服饰的演变），这是个有趣的类比。我认为总会有新衣服出现。人们总穿旧衣服是没道理的。现在时髦的东西过了几年后也会变得过时。我认为几何学家，或者说微分几何学家，应该考虑奇点。为什么可微性在几何中扮演如此重要的角色，这是值得注意的。人们会认为或许连续性的概念，例如拓扑学，已经足够。然而光滑性排除了很多无趣的东西，保留了重要且有趣的东西。函数必须至少二次可微这件事却很令人费解。当计算变分，需要讨论临界点，那么函数若光滑就好很多。但不得不更进一步，去考查二阶微分、二阶变分。光滑性只是一个常见的性质，最重要的性质都集中在奇点上。我总认为分层流形的概念或其一些变式应被给予更多关注。毕竟整体微分几何中几乎所有重要定理都有组合或离散的对应。这就是困难所在。如何保留重要的东西，丢掉不重要的。这需要一番工作和伟大的洞察。

东西方不同观念

我不知道东西方是否真的存在区别，可能那只是不同的看法。有人同时在这两种流派之中。我此前的评论“东方关注所谓‘小而有趣的问题’，西方更关注独特的问题以及整体的科学观”，是一种有趣的说法。西方有一种希望追求独一无二的倾向。比如早年，康德认为欧氏空间是唯一的空间。我想，西方认为只有一个上帝，这根植于西方文化。而中国人不这么感觉。孔子本人就非常自由主义，愿意接受各种想法。

如何判断研究价值

所有的数学家都喜欢想些小问题。在某些时期，比如，我曾与 Paul Erdős 这样的数学家有很多联系。思考 Erdős 的问题是很危险的。因为它们很有趣也很有挑战性，但几周后也不会有任何进展。André Weil 会建议我不要这么做。某种意义上来说，每个数学家都在其生活和事业中面临这样的选择，不得不做出各种决定和尝试。即使是为了乐趣而做数学，你也应当意识到某个工作的意义。个人工作与集体工作的界线，或者时髦与否的界线，是不清晰的。这是一个价值判断的问题。

与学生

我要特別地提到 Jim Simons。Jim 显然是个非常杰出的学生。他做学生时，他想学习某些知识，他先学会，并发布海报说他要讲一堂关于这方面的课。他的课讲得非常好，以至于一些老师也去听他的课。这显然是一个值得帮助的学生。但总体来说，我愿意尽力帮助学生。我总是对有困难的学生报以同情，并尽可能帮助他们走出困难。

无为而治

纯数学家和应用数学家应该在一起。以微分几何这一学科为例，以示性类为例，它在物理中有应用。不仅如此，微分几何在生物学问题中也很重要，例如 DNA 结构等等，与闭曲线或闭曲线对的几何性质有关。在这种意义下，做纯数学的人可以对应用的问题做出奠基性的贡献。但他们也需要有开放的思想。

年轻人不愿从事科研。我想这很显然，因为（科研）需要刻苦的、长期的工作，但即便数年如一日地深耕某个领域，也无法保证成功，是有一定风险的。（做科研）所承担的风险和所付出的努力与取得的回报总是不容易匹配。我们自然无法吸引到很多人来做数学家。但我认为这个学科是如此有趣和重要，它将继续存在下去。

我的观念不太一样。我并不尝试宣传数学以吸引更多学生。我认为那些愿意付出努力的人会自愿地来（做数学）。如果他们什么也不做，或者找到了更加有回报的事业，或更有趣的事，我会让他们去做那些事。

我认为数学家是不会短缺的。这是我的感受，是我中式的思维方式：无为而治，顺其自然。

本文经授权转载自微信公众号“数理人文”（编辑：牛芸；审核：邓宇善）。

特 别 提 示

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