格罗滕迪克如何彻底改变了20世纪数学

格罗滕迪克在数学界备受尊崇；而在数学界之外，如果人们对他有所了解，通常是因为他不寻常的人生经历。那么，他的实际数学贡献是什么呢？

撰文 | Konstantin Kakaes

编译 | 數學家编译小组

阿尔伯特·爱因斯坦之于20世纪物理学，正如亚历山大·格罗滕迪克之于20世纪数学。他的知名度远低于爱因斯坦，因为数学比物理学更容易发展为高度技术化的领域。但就像爱因斯坦一样，格罗滕迪克的影响不仅来自于他本人的成果——尽管这些成果具有革命性——他的工作还将整个学科引向了全新的方向。

格罗滕迪克从早年就展现出极度专注的性格，且过着清苦的生活。从20世纪50年代初他20多岁时开始，他撰写了数千页正式和非正式的笔记，改变了数学的进程。然后到了1970年，他退出了。他辞去了巴黎城外一所著名研究机构的职位，回到当年他读本科的蒙彼利埃大学任教。他基本不再与其他数学家交流。20世纪90年代初，他搬到了比利牛斯山脉的一个小村庄，像隐士一样生活。

数学家们仍在消化他半个世纪前做出的创新。他的工作将数学推向了一个新的抽象层次，聚焦于对象之间的关系，而非对象本身。“如果说数学中有什么比其他任何东西更让我着迷（毫无疑问一直以来都是如此），那既不是‘数’也不是‘大小’，而永远是‘形状’，”他在回忆录中写道。“在形状选择向我们展示的千百种面貌中，那个比其他任何都更让我着迷且持续至今的，是隐藏在数学中的结构。”

他的革命性数学理论，正是以探索那种隐藏结构为核心。

揭示形状

格罗滕迪克最著名的是他在代数几何方面的工作。该领域最初是作为研究由多项式方程定义的形状而发展起来的——多项式方程是将变量提升到固定幂次后相加的方程。这些方程可以简单如一条直线

但是，当你考虑越来越多的变量被提升到更高的幂次，并且寻找满足多个方程组（而非仅仅一个方程）的解时，事情会迅速变得更加复杂——也更加抽象。

格罗滕迪克，1954年。丨图源：Paul R. Halmos摄影集e_ph_08592_pub

该学科在19世纪末起飞，当时数学家开始提出这样的问题：如果你不把普通数字代入方程，而是代入来自其他更抽象集合的数字，会发生什么？

在格罗滕迪克之前，代数几何是数学中一个有趣且充满活力的子学科。但它也处于某种危机之中，正如数学家 David Mumford 后来所写的那样。“每个研究者都使用自己的定义和术语，该学科的‘基础’至少用六种不同的数学‘语言’描述过。”

“然后格罗滕迪克出现了，他把这个混乱的研究者世界颠倒了过来，用新的术语以及大量新的、非常激动人心的成果征服了他们。”

• —— David Mumford

格罗滕迪克最著名的是引入了数学构造，这些构造帮助他和其他人证明了长期存在的猜想，并且它们本身最终成为了核心研究对象。

他的工作还将代数几何置于一个由许多其他数学领域组成的网络的中心——包括拓扑学、数论、表示论和逻辑学。“格罗滕迪克从未直接从事数论研究，”斯坦福大学的 Brian Conrad 说，“但他引入代数几何的思想彻底改变了数论的研究方式。”

他在代数几何中的第一个重大成果是 1957 年对 Riemann-Roch 定理的推广，该定理的原版证明于一个世纪前，它揭示了曲面的形状如何限制可在其上定义的函数。正如法国国家科学研究中心的 Leila Schneps 所写，格罗滕迪克的证明“将他瞬间推向了数学界的明星地位”。

得益于他的技术，“一大批全新的运算成为可能，” Conrad 说。“它为思考这一定理为何成立开辟了一条全新的途径。”

然后，同样迅速的是，格罗滕迪克转向了下一个目标。在 1958 年国际数学家大会上，他宣布打算重塑整个代数几何。他将用一种叫做“概形”（scheme）的东西来实现这一目标。

一种新的数学体系

在那十年前，数学家 André Weil 提出了一个猜想，将定义在两个截然不同的数学环境中的多项式方程的解联系起来。第一个是有限域，即按照循环算术规则运行的数字系统。第二个是复数，

Weil 提出了四个猜想，将一个环境中的多项式与另一个环境中的多项式联系起来。Conrad 说，这些猜想“听起来像是平行宇宙之间的通信”。

André Weil 提出了四个猜想。这些猜想不仅成为代数几何学的基础理论支柱，还将该学科与其他重要研究领域联系在了一起，包括数论。丨图源：Sylvie Weil

作为证明这些猜想的努力的一部分，格罗滕迪克提出了他的“概形”概念。尝试证明是“概形理论的主要动机之一，”多伦多大学的 Daniel Litt 说，但“它真正带来的是更多的东西。”

在 Weil 之前，数学家们实际上只通过指定他们想要使用的特定数字系统来讨论像

相比，这些方程的解看起来会大不相同。

“格罗滕迪克找到了定义空间抽象概念的正确方法，即思考空间的新方法。”

• —— Brian Conrad

在格罗滕迪克对 Weil 猜想为何成立给出解释之后，数学家们开始相信，无论 和 是复数、有限域中的元素还是香蕉（译注：数学中幽默梗，表明与对象具体取什么无关），方程都具有有意义的独立结构。起初，这种观点看起来毫无道理，就像一句话的意思与所用语言的字词无关。但格罗滕迪克定义了数学结构，使得做出这样的陈述成为可能，并且对于那些掌握了他的新语言的人来说，这些陈述甚至是直观的。

正如 Conrad 所解释的，“格罗滕迪克找到了定义空间抽象概念的正确方法，即思考空间的新方法。”他认识到“你探测一个空间的几何的方式不是通过观察点，而是通过研究其他东西。”

这就是格罗滕迪克的概形发挥作用的地方。即使构造一个简单的概形也需要一些努力。但如果你继续读下去，就有可能理解概形是什么，并培养出对它们为何有用的直觉。

概形是由抽象的代数成分构建而成的几何空间。

从整数的抽象推广开始，这个推广叫做“环”。一个环是一组元素，它们可以相加、相减和相乘，但不能总是相除。

格罗滕迪克共有五个孩子，图中的是他第四个孩子 Mathieu，出生于1965年。丨图源：Shutterstock

现在，观察你的环的一个子集，这个子集是“封闭的”，意思是如果你将子集中的两个元素相加或相减，结果仍在子集中。例如，取所有5 的倍数。这个子集不仅是封闭的，它还有另一个性质：你可以将环中的任意一个数乘以该子集中的一个元素，结果必然也在该子集中。这使得该子集成为数学家所谓的“理想”。

此外，如果你将环中的任意两个数相乘，结果落在这个子集中（3X5=15），那么你所乘的两个数之一（5）也一定在这个子集中，即使另一个数（3）不在。

这第二个性质使得该子集成为“素理想”。（要理解原因，请看6的倍数。它们构成一个理想，但不是素理想，因为在2X3的理想中，但2和3都不在。）

就整数而言，素理想是对应于每个素数以及零的倍数集合。可以将一个环的所有素理想的集合作为一个单一的几何空间来研究。首先，将每个素理想表示为一个点。然后在这些点上定义一个“拓扑”，根据它们共有的元素将它们放入邻域中。（奇怪的是，零理想最终与每一个素数都“接近”，这说明了隐藏在整数背后的一种以前未知的结构。）

格罗滕迪克的创新是在这个空间之上添加一层结构——一个最近发现的数学上层建筑，叫做“层”（sheaf），它携带额外的代数信息。

例如，在你的空间的每个点上，这个层会附加另一个集合，称为“茎”（stalk）。让我们回到整数的一个素理想：表示所有5 的倍数子集的空间中的那个点。附加到这个点上的茎将包含所有分母不能被 整除的分数。（附加到0 的茎包含所有可能的分数。）在这个简单的例子中，很难看出茎的用途，但在更复杂的概形中，计算茎的内容以及它们相互作用的方式被证明是一个数学上强大的工具。

0对应的“茎”则包含了所有可能的分数；每个素数对应的“茎”中，包含的所有分数的分母都不能被该素数整除。丨图源：Mark Belan/Quanta Magazine

这整个对象——素理想的空间，以及在其上构建的层（及其所有茎）——被称为“仿射概形”。通常，概形是通过以精确的数学方式将仿射概形粘合在一起而构造的。

过研究概形的性质，你可以深入了解方程的结构，而无需依赖任何特定的数字系统。尽管听起来不可思议，但这是一种脱离单词所书写语言来研究句子本身的方法。

格罗滕迪克在生命的最后年岁里，以隐士的身份生活在法国的乡村中。这张照片是他去世前一年拍的。丨图源：Peter Badge

广义上讲，这就是为什么格罗滕迪克和其他人能够使用概形——以及一系列建立在其上的思想——来重新证明 Weil 四个猜想中的一个，并证明另外两个。（格罗滕迪克的学生 Pierre Deligne 后来使用格罗滕迪克开发的其他结构证明了第四个猜想，这是在有限域背景下著名的 Riemann 假设的一个版本。）格罗滕迪克继续提出了更加抽象和强大的概念，包括拓扑斯（topos）、堆（stacks）、motive（母题/动机）和平展上同调。所有这些在今天代数几何和数学的其他领域中都扮演着重要角色。

概形为数学家提供了一种新颖的、系统的方法来研究代数几何中对象之间的关系。而且，由于概形允许你将出现在数学各处的环作为几何空间来研究，它们可以用于将几何技术引入代数、数论及其他领域。

格罗滕迪克于2014年去世，在经历了多年的孤独生活后，与他曾帮助创建的数学界疏远了。尽管如此，数学家们仍怀着敬重与喜爱之情怀念他。正如哈佛大学的数学家 Barry Mazur 所写：“在60年代早期，他的讲座带有一种从容不迫的宁静感。他常常带着微笑提出数学想法，那微笑中总是透着襟怀坦荡……一种‘世上没有比这更容易的事’的感觉，他看待事物的方式就是如此。”

他的思想很复杂，但“一旦你把东西搭建好，大多数论证都是非常直接的，” Litt 说。“你只要不停地走下去。他为我们找到了高速公路。”

本文原载微信公众号“数学家”（校对：慧玲；责编：），返朴有修订。

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