世界杯的足球金融（第一部分）——译自HLF海德堡桂冠论坛博客

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世界杯来临，我们借助足球赛事的进球、时长、赔率等数据举例，讲解概率估算思路，并类比引申至期货等金融产品的定价逻辑，打通了数学概率与金融应用的关联。

作者：索菲・麦克莱恩（Sophie Maclean）

HLF海德堡桂冠论坛 2026-6-10

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-6-12

求喜欢

2026年6月11日，来自墨西哥与南非的 22 名球员，在墨西哥城体育场登场，将开启 2026 年国际足联男子世界杯的揭幕战。综合各方判断，这两支队伍都无缘本届赛事的冠军。本文撰稿时，墨西哥队的夺冠赔率为 80/1（即落败概率为 80/81，夺冠概率为 1/81），南非队的夺冠概率则更低，赔率达到 1000/1。顺带一提，目前赛事头号夺冠热门是西班牙队，赔率为 11/2。

国际足联FIFA世界杯奖杯

图源：Pierdisilvestre7，公共版权

不过，这场比赛依旧看点十足。体育运动的魅力之一就在于，一场赛事的精彩程度，更多取决于两队实力的差距大小，而非单一队伍的绝对实力。因此，预测本场比赛的胜负依旧十分有趣。除此之外，可供分析的数据远不止比赛胜负：你能否预判两队的净胜球？你认为本场会有几名球员被罚下场？你敢打赌门将被镜头拍到吃馅饼吗？说来难以置信，现实中确实有过这类投注，最后还引发了不小的风波！

在此郑重声明：我并不倡导博彩，本文所有内容均不构成任何形式的建议，包括理财建议、投注建议及其他各类建议。但我十分乐于探讨各类假设情景与概率问题，而世界杯恰好能让我们直观理解金融数学的部分运作逻辑。

顺带一提：如果你完全不了解足球，可以阅读这份简易规则简介 https://www.bbc.co.uk/bitesize/guides/zxrbcwx/revision/3 。足球正式规则一共只有 17 条 https://downloads.theifab.com/downloads/laws-of-the-game-2025-26-double-pages?l=en ，不过这个数字容易让人产生误解，因为每条规则之下都包含诸多细分条款。

趣味小游戏

接下来我要聚焦一个不算常见的统计指标，这一选择并非随性而为。我需要一个可以随时间连续变化、且数值可增可减的指标，因此我将重点分析本场墨西哥对阵南非的比赛中每分钟进球数。

现在我提出一项假设交易：你现在向我支付 25 欧元。比赛结束后，我将按照「每分钟进球数 × 1000」欧元的金额向你结算。

你会接受这笔交易吗？如果想让你愿意参与，我最多只能收取多少费用？在做出决定前，你还希望了解哪些信息？

2010年6月11日，南非约翰内斯堡足球城体育场

南非对阵墨西哥的世界杯揭幕战

图源：shine2010.co.za，知识共享 2.0 协议）

想要判断这笔交易是否划算，你需要先预估最终能拿到的收益。简单来说，就是先估算全场总进球数，再除以比赛总时长。我们先从场均进球数这一基础数据入手。

有研究统计了 https://www.nytimes.com/athletic/3192246/2022/03/20/whats-the-most-common-scoreline-in-football-%EF%BB%BF 2000年至2022年间欧洲五大联赛共计 39750 场顶级赛事：赛事最常见的比分是 1 比 0，而全场总进球数为 2 球的场次最多（1 比 1、2 比 0 这两种赛果都会产生 2 粒进球）。

一场足球比赛常规时长为 90 分钟，据此计算你的预期收益：(2 / 90) × 1000 = 22.222…… 欧元

由此可见，花费 25 欧元参与这笔交易并不划算，建议不要接受。你的平均预期收益仅约 22.22 欧元，因此你最多只愿意付出这个金额。如果你想进一步确保盈利，哪怕对方报价超过 20 欧元，你或许也会选择放弃；若是风险承受能力极低，你的心理价位还会更低。

但这里有一个容易被忽略的关键点：哪怕最终收益只比支出少一分钱，你都有可能亏本。而上述计算存在一个默认前提。熟悉足球的人都知道，上下半场各 45 分钟常规时间结束后，会设置伤停补时，用来补足因球员受伤、赛场违规等情况损耗的时间。

据 2025 年的相关报道 https://www.theguardian.com/football/2025/oct/15/longer-games-less-football-ball-play-premier-league ，英超联赛单场比赛的平均实际时长达到了 100 分 36 秒。我们以 101 分钟的全场时长重新计算预期收益：(2 / 101) × 1000 = 19.80198…… 欧元，该数值明显低于此前算出的 22.22 欧元。

风险承受能力是参与这场 “交易” 的核心考量，这不仅是为了抵消计算误差带来的亏损风险。比赛总时长一般在 90 分钟至 110 分钟之间浮动，这个区间对最终收益的影响并不算大。前文计算可知，全场打进 2 球时，90 分钟时长对应的收益约 22.22 欧元，110 分钟时长对应的收益约 18.18 欧元，二者差额仅 4 欧元左右。

反过来思考，若对总进球数的预估出现偏差，风险就会大幅上升。虽说全场打进 2 球是最普遍的情况，但 1 比 0 的比分也十分常见。若全场最终比分定格为 1 比 0，按照 100 分钟时长计算，你的收益仅有 10 欧元，落差极大，这也是你必须权衡的风险。

两队实力对比

你还可以参考两队的历史交锋记录辅助判断。遗憾的是，两队过往的国际赛事交手仅有 4 场，样本量不足，参考价值有限，具体赛果如下：

比赛日期

对阵双方

赛果

全场比分

赛事类型

1993 年 10 月 6 日

墨西哥 VS 南非

墨西哥胜

4-0

国际友谊赛

2000 年 6 月 7 日

墨西哥 VS 南非

墨西哥胜

4-2

美国耐克杯

2005 年 7 月 8 日

南非 VS 墨西哥

南非胜

2-1

CONCACAF中北美及加勒比海金杯赛

2010 年 6 月 11 日

南非 VS 墨西哥

平局

1-1

FIFA国际足联世界杯

数据来源：11v11 体育平台

除此之外，两队上一次交手距今已有 16 年，时间跨度太久，无法据此得出有效结论。我们再单独参考两队各自的赛场表现：根据维基百科截至 2022 年世界杯的统计数据 https://en.wikipedia.org/wiki/FIFA_World_Cup_records_and_statistics ，墨西哥共计出战 60 场比赛，累计攻入 62 粒，失球 101 粒；南非共计出战 9 场比赛，累计攻入 11 粒，失球 19 粒。

我们可以从多个角度解读这些数据：墨西哥场均进球约 1.03 粒，场均失球约 1.68 粒；南非场均进球约 1.22 粒，场均失球约 2.11 粒。据此可以算出，墨西哥参与的赛事场均总进球数约 2.72（保留三位有效数字），南非参与的赛事场均总进球数约 3.33（保留三位有效数字）。也可以预估本场两队合计进球数约 1.03 + 1.22 ≈ 2.3 粒，两队合计失球数约 1.68 + 2.11 ≈ 3.8 粒。

以上各类推算方式没有绝对的对错之分。值得一提的是，所有测算出的总进球数都落在 2.3 至 3.8 粒这个区间内，两队最近两场交锋的总进球数也符合这一范围。结合 101 分钟的平均比赛时长，可算出预期收益区间：(2.3 / 101) × 1000 = 22.77…… 欧元(3.8 / 101) × 1000 = 37.62…… 欧元

还有两组关键变量前文尚未提及，而它们往往是这场 “交易” 中最核心的判断依据：实时比分与比赛剩余时长。如果比赛进入加时第 5 分钟，场上比分依旧是 0 比 0，那么参与这场交易绝非明智之举 —— 终场哨响时比分大概率维持不变，你将一无所获。反之，如果比赛刚开场 2 分钟，场上比分就已经变为 1 比 0，那我绝不会只收取 25 欧元就和你达成这笔交易。

延伸解读：关联金融领域

这个足球小游戏和金融行业有什么关联呢？我们不妨转换场景：不再以足球赛事数据作为结算标准，而是改为按照股票未来某个固定时间点的价格进行结算。这就是如今金融市场中十分常见的交易产品 ——期货。你或许也听说过远期合约，它的运作逻辑和期货大致相同，区别在于远期合约属于非标准化产品，不在交易所内公开交易。

经过多年的数学建模与金融实践，数学家和交易员们总结出了期货定价的基础公式。该公式可以算出你的预期收益，也决定了你参与这笔 “交易” 愿意付出的最高成本：

F = S₀ × eʳᵗ

公式释义：F 代表期货价格；S₀ 代表股票当前价格；r 代表无风险利率；t 代表剩余到期时间（单位：年）。

这套公式所涵盖的核心变量，和我们分析足球交易时考量的要素高度重合。公式本身并未纳入股票历史价格，但不少交易员会微调公式，将历史行情纳入分析范围。公式中引入利率，本质是用来对比资金的其他投资渠道，这一点在我们的足球交易游戏中同样值得考量。

后续展望

一个简单的足球小游戏，就让我们窥见了金融产品交易背后的核心思考逻辑。当然，这仅仅只是皮毛。本届世界杯将持续至 7 月中旬，下个月我会继续分享另一类主流金融交易产品。祝愿本届揭幕战精彩上演！

本文作者简介：索菲・麦克莱恩（Sophie Maclean）是一名数学家兼数学科普工作者，目前在伦敦国王学院攻读解析数论方向博士学位。她曾担任量化交易员与软件工程师，如今在英国乃至欧洲各地开展数学主题讲座。她同时也是《粉笔尘埃》Chalkdust Magazine数学杂志的主创团队成员。

参考资料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/football-finance-part-1/

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