梅森素数、GPU与一个长达4100万位的数字——HLF海德堡桂冠论坛博客

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寻找更大的梅森素数，就像探寻更大的宇宙一样，都需要更多的算力资源。

作者：Andrei Mihai（安德烈·米哈伊，科普作家）

HLF海德堡桂冠论坛博客 2026-6-3

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-6-11

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2024年10月，人类发现了一个全新的素数。它也是目前已知的最大素数，足足拥有 41024320 位数字。这个数字的表达式为 2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1，它的特殊之处还不止于此：它并非依靠新公式、新算法或是中央处理器（CPU）运算得出，而是借助图形处理器（GPU）运算流程成功寻获。——详情参阅

这项探索工作由研究员卢克・杜兰特（Luke Durant）统筹开展，动用了一套横跨 17 个国家、24 个数据中心区域的全球云超级计算机，依托数千台高性能 GPU 的并行运算能力完成计算。人们不禁想问：耗费如此精力寻找这个大数，意义究竟何在？

一、何为梅森素数

合数可以排列成规整的矩形，而素数无法做到这一点。

图源：维基共享资源，公有领域

梅森数的通用形式为 Mₚ = 2ᵖ − 1，其中 p 为整数。数论中有一条基础定理：若梅森数 Mₚ 是素数，那么底数 p 本身也必然是素数。但反之并不成立 ——p 为素数，无法保证对应的梅森数也一定是素数。

这类具备 2ᵖ − 1 形式的素数，被称作梅森素数，名称源自17世纪的法国修士马林・梅森。他曾对这类数字展开深入研究。梅森学识渊博、涉猎广泛，其著作《和谐音概论》Harmonie universelle是声学领域首部具有里程碑意义的研究成果，他提出的梅森定律则阐释了振动弦的泛音规律。不过在数学家眼中，他最具深远影响力的成果，还是对素数的研究。

数百年来，梅森素数始终吸引着数学家的目光，因为它与完全数有着直接关联。所谓完全数，指恰好等于其所有真因数之和的整数。根据欧几里得 - 欧拉定理，每一个偶完全数都可以写作 2ᵖ⁻¹(2ᵖ − 1) 的形式，式中的 2ᵖ − 1 正是梅森素数。

梅森素数备受关注，还有一个关键原因：它的素性检测难度更低。

数学家自古便证明，素数的数量是无穷无尽的。因此我们永远找不到 “最后一个素数”，只能不断刷新已知最大素数的纪录。但当数字达到极大规模时，判断其是否为素数会变得异常困难。

在实际研究中，学者们会优先挑选适配现代计算体系的数字开展检测，这也是为何历届最大素数纪录几乎都由梅森素数包揽 —— 尽管梅森素数本身十分稀少，但我们可以借助卢卡斯-莱默检验法（Lucas-Lehmer test）这类高效手段完成验证。还有不少数值更小的素数迟迟未被发现，只因针对它们的检测算法效率低下。

针对梅森素数的卢卡斯-莱默检验法思路巧妙：从一个固定数值开始，反复执行平方与取余运算，经过多轮计算后，就能判定该数是否为素数。这是一种确定性检验算法，针对性极强，运算速度远快于其他通用素数检测算法。

计算机基于二进制运行，对 2ᵖ − 1 做取模运算时，只需通过移位和加法就能实现，无需消耗更多算力的除法运算。取模运算，就是用一个大数除以另一个数后取余数。在卢卡斯-莱默检验过程中，计算机会不断生成海量中间数值，若完整存储所有数位，运算效率会大打折扣。因此每一步运算结束后，程序都会通过取模，将数值缩减至合理范围。

而此次发现新素数的真正突破，并非只是找到了一个更大的素数，而是证明了这类数学问题的运算逻辑，终于与现代 GPU 的硬件架构完美契合。

二、GPU成为算力主力

长久以来，中央处理器（CPU）一直是素数搜寻工作的核心工具。这并非因为 CPU 是这项任务的最优选择，而是它的普及度最高，也让 “互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）这类全球协作项目得以落地，方便各地爱好者共同参与。

互联网梅森素数大搜索项目由计算机科学家乔治・沃尔特曼（George Woltman）于1996年发起，是全球最早的分布式协同计算项目之一。迄今为止，该项目已成功发现 18 个梅森素数，其中 16 个在被发现时，都刷新了当时的最大素数纪录。

抛开其他因素，GPU 其实更适配素数搜寻工作，因为它内置了数千个专用运算核心。普通消费级 GPU 一般配备 16 至 32 个核心，而英伟达 A100 这类数据中心专用 GPU，拥有多达 6912 个 CUDA 核心，可同时对海量数据进行并行处理。但在此之前，GPU 一直缺少关键配套：专为 GPU 设计的专属算法。

转机出现在 2017 年，软件工程师米哈伊・普雷达（Mihai Preda）开发出了 gpuOwl 算法 https://github.com/preda/gpuowl/ 。彼时，GPU 与数据中心还未迎来行业热潮，但普雷达已经意识到，现代 GPU 不断提升的浮点运算能力与内存带宽，完全能够承接互联网梅森素数大搜索中的高强度计算任务。

依托这套算法，都柏林的一处数据中心在 2024 年 10 月率先借助费马概率素数检测法（PRP 检测），筛查出了疑似新梅森素数 M₁₃₆₂₇₉₈₄₁。次日，美国圣安东尼奥的另一处数据中心，便用卢卡斯 - 莱默检验法完成了最终确认。

整个项目由前英伟达工程师、研究员卢克・杜兰特统筹。他搭建的 “云超级计算机” 覆盖全球 17 个国家的 24 个区域，相当于打造了一座虚拟的全球实验室。这也是互联网梅森素数大搜索项目中，首个依靠概率性检测（PRP 检测）、而非传统确定性卢卡斯 - 莱默检验法发现的梅森素数。

这项成果固然亮眼，但人们依旧心存疑问：如此大费周章搜寻巨型素数，究竟意义何在？

三、对密码学的实际影响

大众常会将超大素数与加密技术联系在一起，但这个新发现的梅森素数，并不会直接提升现有数字加密体系的安全性。

现代加密系统确实会用到大素数，但所用素数的位数远低于它，通常仅为 300 至 600 位十进制数。如果使用这个 4100 万位的超大素数，运算成本会高到完全无法落地。此外，该素数现已完全公开，绝不能用作加密密钥。像 RSA 这类主流加密算法，安全核心依赖于 “将一个大数拆解为两个保密素因数” 的运算难度，公开的素数自然毫无保密性可言。

不过，搜寻更大素数的工作，依然会从理论和技术层面，为未来密码学发展提供重要支撑。

搜寻梅森素数所用到的快速傅里叶变换（FFT）乘法等技术 https://www.aimath.org/news/congruentnumbers/howtomultiply.html ，同样也是整数因数分解的核心技术。不断突破这类算法的运算极限，能让数学家更清晰地摸清现有加密体系的安全边界。素数探索在持续优化算法、测试算力上限、深挖大数运算潜能的过程中，为密码学研究积累了宝贵经验。

这次发现也标志着，“搜寻大素数” 这件事的运作模式发生了转变。过去，互联网梅森素数大搜索是全民参与的草根项目，无数普通用户自愿贡献个人电脑硬件与电力资源。而卢克・杜兰特的这次探索，是一次目的性极强的商业算力投入。据了解，杜兰特自掏腰包 https://www.washingtonpost.com/science/2024/10/23/nvidia-prime-mersenne-gpu-cloud/ ，花费约 200 万美元租用云端 GPU 资源，整个搜寻周期恰好持续了一年。

互联网梅森素数大搜索项目会为新发现的梅森素数颁发 3000 美元的科研发现奖金，杜兰特表示，这笔奖金将捐赠给阿拉巴马数理科学学校。虽然针对重大里程碑的奖金数额更高，但和大规模搜寻所需的基础设施成本相比，依旧杯水车薪。

追寻更大素数的过程，就像是对当代计算工具的极限压力测试。即便这个巨型素数当下不会用于银行加密等场景，但发现它的整套流程，验证了GPU 驱动型科研探索这一全新模式的可行性。从历史维度来看，这项成果也搭建起一座桥梁：一端是 17 世纪那位博学修士的数学猜想，另一端则是 21 世纪依靠芯片硬件不断拓展数学边界的现实。

归根结底，人类执着于探寻这些巨型数字，更多是源于与生俱来的好奇心。我们并非为了增添一份冰冷的数据记录，而是想借此探索未知的世界。素数无穷无尽，人类的求知欲亦是如此。

参考资料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/mersenne-primes-gpus-and-a-number-with-41-million-digits/

https://www.mersenne.org

https://www.mersenne.org/primes/

https://zzllrr.github.io/mather/wiki.html?q=Concept/Number/Prime/Prime%20Mersenne%20Number

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