几何学秘史之一：起源、印度、埃及、巴比伦

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

1.1 原始社会

早在文字形成之前，人类可能就已经认识并系统性地利用了几何结构。大自然为眼睛提供了多种多样的曲线，一片草叶或一段树干可以象征直线的概念，也可以代表圆形的概念（例如作为横截面）。在编织时，我们会创造出简单的二维图案，并有意地加以修改，或将其作为装饰复制到陶罐上。有证据表明，这种有意识的几何形状装饰早在公元前4万年就已存在。它们在某些文化社会中具有如此强的特征，以至于史前学家可以通过挖掘和分析陶片来重建这些社群的迁徙路径。例如，在新石器时代的克里特文化陶罐上，可以见到折叠条带图案，或者6个全等的圆环绕一个同样大小的中心圆排列，每个圆都与相邻的两个圆相切。等边三角形、正方形（具有四个直角）以及正六边形，作为平面形状的特殊情形，一定很早就被人们所注意，既引发了游戏般的兴趣，也催生了初步的理论思考（参见，例如 [Kadeřávek 1992]）。

图 1.1.1 史前陶器上的几何装饰图案

[插图源自Hubert J. Pepper根据Stuart Piggott主编的《文明曙光》（The Dawn of Civilization，伦敦泰晤士与哈德逊出版社）所作之线描图]

日常生活的基本需求与活动提供了进一步的灵感：在挖掘沟渠、修筑堤坝或房屋，以及进行土地丈量时，人们都需要用到基本的几何比例。人类最初或许并未意识到这一点，直到最初的逻辑思考开始萌发。离开三维立体图形（长方体、立方体、棱锥、柱体），建筑便无从谈起。对星体运行轨迹的观察则促使人们从平面三角形转向球面三角形。似乎显而易见的是，对角线平分正方形或矩形，正如直径平分圆形一样。所有前希腊文明都意识到了这类直接可见的关系，并将其应用于实践。只有希腊人进一步探索并追问其缘由，最终构建了一套公理化的几何理论体系，并通过欧几里得的《几何原本》流传至今。如果接下来我们主要关注埃及和巴比伦的几何学，必须强调的是：没有任何一种文化不曾反映出几何元素的多方面运用。珠宝设计往往深受宗教观念的影响：供奉给神明的陶罐会饰有更繁复的纹样，祭坛则有特殊的形制，而仪式（包括舞蹈）也需以特定方式进行。此外，我们也不能忽视游戏作为接触几何性质的一个来源。这还不仅限于棋类游戏——尽管它们几乎总是产生对称图案的源泉。

近年来，民族数学学开始关注原始民族中隐含的数学观念，并取得了一些惊人的研究成果。例如，在安哥拉有一个非洲部落，人们在讲述其宇宙创世神话时，会徒手用一条连续的曲线绘制出一个精心交织的图形。这表明，要想达到具有对称性质的预期效果，背后必然经过了缜密的几何学考量（见图 1.1.2）。

图 1.1.2 关于安哥拉约克韦人宇宙创世神话的单线轨迹图：太阳（左）、月亮（右）及人（下）通往神（上）的路径

[图片来源：《非洲计数：非洲文化中的数字与图案》（Africa counts: Number and Pattern in African Culture），© 1973 年 Claudia Zaslavsky 著，由芝加哥评论出版社旗下劳伦斯·希尔图书出版]

自人类注意到星空的变迁以来，星空便为人们进行基本的几何观测提供了进一步的灵感。树干或高耸石块的影子在一天或一年中的移动轨迹，构成了简易日晷的基础。将这些影子的轨迹系统地绘制在地面上，便得到了太阳在天空中运行轨迹在平面曲线上的投影，从而启发人们进行思考。

20 世纪 90 年代，在德国哈勒附近的格塞克发现了一组同心圆环状沟渠，其历史可追溯至约公元前 4800 年。经过考古研究和重建，它被确认为目前已知的世界上最古老的太阳观测站（见图 1.1.3）。大约在公元前 4800 - 4500 年间，中欧地区的定居点附近曾建造过这种圆环状沟渠。格塞克圆环具有双重木栅栏环和三个门，分别朝向正北、东南（对应 12 月 21 日的日出方向）和西南（对应 12 月 21 日的日落方向）。在 6 月 21 日前后，两道木栅栏之间的间距会变宽。这一构造使得 7000 年前的农民能够根据太阳的位置，确定一年中最适宜播种和收获的时节。然而，研究结果表明，这些圆环沟渠也用于祭祀等文化目的。

大约 2000 年之后，最为著名的巨石文化（公元前3 000-2000年）建筑——位于英格兰南部索尔兹伯里附近的巨石阵才得以建成。它被解读为一个太阳观测站和祭祀遗址 [Gericke 1984]（见图 1.1.4）。

图 1.1.3 格塞克圆环（德国哈勒附近），内布拉星象盘（哈勒/萨勒河畔，国家史前博物馆）

图 1.1.4 巨石阵（英格兰南部）：欧洲现存最大的公元前3000-2000年的石制遗迹（外圈直径约100米）

过去几十年的研究表明，巨石阵不仅反映了天文知识的运用，还体现了基本的几何比例关系，例如毕达哥拉斯定理。然而，我们只能推测，边长比为 3、4、5 的勾股三角形（例如，可以在长度为 12 的绳子上打结来标记这些长度）早在那个时期就被用来构造直角了。研究者们论证称，他们能够证明伍德亨格（约公元前 1800 年）的木结构建筑就是通过应用边长为 12、35、37 的勾股三角形来建造的（见图 1.1.5、图 1.1.6）。

图 1.1.5 伍德亨格复原图

图 1.1.6 伍德亨格地基平面图

关于巨石阵，可参阅 [North 1996]；关于直角视角假说的批评，可参阅 [Knorr 1985]。

内布拉星象盘是一件青铜制品，最近在德国哈勒附近被发现，其年代与伍德亨格大致相同。盘上绘有包括昴宿星团在内的星群，被认为是现存最早的天象表现 [Schlosser 2004]。关于此盘的解释及其意义的各种理论引发了热烈的讨论，最终结论预计将在不久的将来得出。

1.2 古代河谷文明

公元前3000-2000年 印度河流域城邦文明：哈拉帕与摩亨佐达罗（文字尚未破译）

公元前3000-2700年 尼罗河流域诸王国统一（象形文字发明）

公元前3000-2700年 苏美尔城邦（泥板楔形文字发展）

公元前2700-2170年 埃及古王国时期（金字塔建造）

公元前2700-2100年 阿卡德人入侵与统治（列线图）

公元前2170-2040年 埃及第一中间期

公元前2040-1794年 埃及中王国时期（数学纸草文献）

公元前2100-1900年 美索不达米亚诸王国

公元前1900-1600年 古巴比伦王国

公元前1728-1668年 巴比伦国王汉谟拉比（法典泥板）

公元前1794-1550年 埃及第二中间期

公元前1550-1070年 埃及新王国时期（哈特谢普苏特神庙）

公元前1290-1224年 法老拉美西斯二世（卡纳克的阿蒙神庙）

公元前1285年 卡迭石战役（帝王谷陵墓）

公元前1600-625年 赫梯人、加喜特人、亚述人统治美索不达米亚（楔形文字数学文献）

公元前1070-525年 埃及后期时期：利比亚人、埃塞俄比亚人、亚述人统治尼罗河流域

公元前625-539年 新巴比伦王国（占星术与天文学繁荣）

公元前539年 居鲁士大帝征服巴比伦

公元前525年 波斯人征服埃及

公元前332年 亚历山大大帝征服埃及

公元前323-30年 埃及由托勒密王朝统治（埃及成为世界贸易与文化中心）

昔兰尼的埃拉托色尼任亚历山大图书馆馆长，欧几里得与阿波罗尼奥斯在亚历山大城

公元前47年 亚历山大图书馆遭焚毁

公元前30年 埃及成为罗马行省（亚历山大的希罗）

公元391年 亚历山大图书馆被摧毁（帕普斯与普罗克洛斯在亚历山大城工作，女数学家希帕蒂娅因异教徒迫害被杀）

公元395年 罗马帝国分裂，埃及成为东罗马帝国（拜占庭）的一部分

图 1.2.1 摩亨佐达罗：古代印度河流域文明最大聚落之一的发掘遗址 [摄影：Saqib Qayyum，2014 年]；以及 1927 年在摩亨佐达罗出土的“祭司王”石像（巴基斯坦卡拉奇国家博物馆藏）

1.2.1 印度河流域文明

印度河流域的摩亨佐达罗聚落是人类最古老的先进文明之一。这座属于哈拉帕文化的城镇约有4万居民，在公元前2500年左右达到了鼎盛时期。它的古老程度几乎与尼罗河沿岸的埃及王国以及位于幼发拉底河与底格里斯河河谷之间的美索不达米亚不相上下。在该文明的所有考古遗址中，砖块都采用相同的边长比例，即1:2:4；街道遵循棋盘式布局；并且度量衡也已经标准化。由于对摩亨佐达罗（位于今巴基斯坦境内）的发掘与出土文物的解读工作仍在进行中，我们尚无法就几何学在这一文化区域中的作用得出最终结论。

1.2.2 古埃及数学

我们对古埃及和美索不达米亚（也称为巴比伦尼亚）的几何学知识有了更深入的了解，因为这两大文明都起源于新石器时代，并留下了书面资料。自19世纪中叶以来，这些资料已得到极为深入的研究。

图 1.2.2 古代埃及与美索不达米亚地图

象形文字大约自公元前2900年起就在组织严密、中央集权管理的埃及发展起来。除了令人印象深刻的金字塔建筑之外，中王国时期（第11至第13王朝）的两份数学纸草书也特别为我们了解埃及几何学的知识提供了重要来源。它们的内容反映了大约在公元前2000年或稍后不久的数学知识水平。其中最重要的两份是《莱因德数学纸草书》和《莫斯科数学纸草书》。它们是由一系列问题及其相关解法组成的文集，似乎是学校里的教师（书吏）为培养官员而编写的教学手册。《莱因德数学纸草书》原长5.34米，但宽仅33厘米；《莫斯科数学纸草书》长5.44米，宽仅8厘米。后者包含25个问题，前者则按主题类别编排了84个问题，这些问题有时配有用于直观展示的附图。据此可知，由于透视画法在当时的埃及尚未出现，几何立体是通过其顶视图或侧视图来表现的。有时，同一幅绘图甚至用顶视图来展示最重要的部分，而用正视图展示个别部件，例如，在描绘一个带有树木的矩形池塘时，树木被“折叠”到左侧（见图1.2.3）。

图 1.2.3 “园中池塘”——同一画面中的视角转换，底比斯，内巴蒙墓出土壁画，约公元前1400年

浮雕设计和其他墙面图画表明，丈量神庙的土地是一项神圣的行为，伴随着众多仪式，只有法老或最高祭司才被允许执行。这种丈量与建造技艺的神圣性和神秘性，体现在流传下来的护身符上——这些护身符具有简单几何仪器的形状。然而，他们似乎不太可能先绘制设计图，再按比例将其转移到建筑上。人们已经在合适的石头平面上发现了按原尺寸绘制的柱子与壁架的正视图和顶视图。这些设计在周围的建筑中可以找到对应的实物实现 [Kadeřávek 1992]。

一个最简单的几何问题是计算矩形、梯形和三角形的面积 A。对于边长为 a,b,c,d的任意四边形，其近似公式为：

因此，该公式需要对两条对边进行两次平均。有趣的是，这个法则也被应用于三角形，方法是把第四条边设为零（更准确地说：是忽略不计，因为它并不存在，因为埃及人当时还没有数字零的概念）。在通过给定直径 d计算圆面积 A 时，采用了一条特别的法则：减去直径长度的1/9，然后将结果自乘，所得乘积即为圆面积：

像往常一样，对于这种非常精确的方法，古人并没有给出任何理由。然而，《莱因德数学纸草书》的第48个问题包含一幅图，画着一个边长为9的正方形，通过切掉四个角而变成了一个八边形。这可以解释为对圆的一种近似。这一图形在1928年启发了库尔特·福格尔对上述埃及法则进行解释。

除了平面图形，埃及文献中还计算了体积，涉及结构工程问题或罐子、盆等容器的容量计算。值得注意的是，其中提到了一种用于体积的“层”度量。类似地，在计算面积时也有一种“条”度量。这表明，计算一块砖的体积时，更多地是采用重复叠加一层的方法——该层等于底面面积，其高度构成单位度量（就像制作胶合板一样）——而不是通过用单位立方体填充来计算砖的体积（因为我们现在采用后一种方法来计算长、宽、高的乘积）。所有问题都像菜谱一样进行计算，并且只使用具体的数值。在那些早期时代，人们既没有表达公式的方法，也没有抽象数量的概念。

在计算体积时，他们主要处理长方体或圆柱形的容器，并使用了前述的圆面积公式。宏伟的金字塔表明，古埃及人必定也掌握了棱锥的体积公式。然而，这一点并无确凿证据。（正如马克斯·德恩在1900年所证明的，如果不使用极限过程，就不可能严格推导出适用于任意棱锥的体积公式。特殊情形可参见问题1.2.2。）与此相对的是，《莫斯科数学纸草书》的第14个问题包含了根据正确公式计算平截头正方棱锥体积的准确方法：

（V 表示体积，a 表示底面边长，b 表示顶面边长，h 表示高）。如果已知棱锥的体积公式，就可以推导出这个公式（见问题 1.2.3）。但如前所述，在现存稀少的埃及文献中，并无显著证据表明他们使用了这一公式

有时，埃及人通过计算平均值来近似处理平截头正方棱锥，即将其视作一个长方体，其底面积 B 取为底面积与顶面积之算术平均值：

推导出

数学史学家库尔特·福格尔（Kurt Vogel）指出，埃及人可能意识到了这一错误，并因此引入了一个中位面积单位a⋅b：

通过这种方式，他们借助未经证明的推广，从一个不正确的公式出发，发现了正确的计算方法。（进一步而言：若将棱锥视为顶面面积 b^2 =0 的平截头棱锥，则平截头棱锥的体积公式便给出了棱锥体积的正确公式。）

图 1.2.4 关于平截头正方棱锥体积的计算

图 1.2.5 吉萨的胡夫金字塔——所有金字塔中最高的一座

图 1.2.6 公元1858年的胡夫金字塔与狮身人面像。狮身人面像深埋于沙土之中

1.2.3 巴比伦数学

巴比伦数学的资料来源远比埃及丰富，因为美索不达米亚人使用泥板作为书写材料。泥板比易腐坏的纸草能更好地经受时间的考验。大量文献可追溯至古巴比伦王国时期（约公元前1900–1600年），该时期紧随苏美尔城邦时代（约公元前3000–2700年）和阿卡德统治时期（约公元前2700–2100年）。然而，随后几个世纪（其间美索不达米亚经历了亚述人、迦勒底人统治以及赫梯人统治等政治动荡）的考古发现表明，在数学初步发展之后，很长一段时间内几乎没有任何变化。下一次进步出现在塞琉古时期（公元前最后几个世纪），特别是在天文学领域。这是因为，与埃及一样，美索不达米亚的数学也是在实践应用中产生并发展的：经济、贸易、建筑业以及天象观测促使了数学思考的产生，其成就达到了比埃及更高的巅峰。公元1916年，当研究者在文献中发现毕达哥拉斯定理和一种计算平方根的方法时，感到尤为震惊。

图 1.2.7 乔加·赞比尔塔庙。这座由粘土砖砌成的阶梯式塔楼具有苏美尔人、巴比伦人、亚述人和埃兰人建造的典型神庙形状。建于公元前1250年左右的五层乔加·赞比尔塔庙是其同类建筑中保存最完好的一座

图 1.2.8 乔加·赞比尔塔庙上的埃兰楔形文字

农田地图、房屋的平面图，或者堤坝、水渠等工程技术构造图，常常附在相应的计算说明之后，使我们能够初步了解这些问题的实际性质。专门的术语则部分缺失。相反，他们借用日常用语中的词汇来指代，例如墙、堤坝、沟渠等。当然，当他们想要计算正多边形的面积，并因此将相应的几何图形刻在泥板上时，似乎已表现出超越直接日常需求的早期理论兴趣，这与所谓的巴比伦代数中的情况类似（见图 1.2.9）。

图 1.2.9 巴比伦多边形

[来源：Kurt Vogel：《前希腊数学》（Vorgriechische Mathematik），第二部分，图 22a-c，第 69 页，载于《法国伊朗考古使团纪要》（Mémoires de la Mission Archéologique française en Iran），第 XXXIV 卷，第 12 页；Bruins 与 Rutten 合著，由巴黎 Paul Geuthner 出版社于 1961 年出版]

尤其引人注目的是，他们频繁运用毕达哥拉斯定理计算矩形的对角线，而这距离毕达哥拉斯出生还有数百年之久。巴比伦数学家在选择数值时，会确保边长能够取到有理数。此外，他们还能够通过迭代法或应用希罗公式以近似法计算平方根。

其中，n 被分解为最接近的平方数 a^2 ，再根据余数 r 进行增加或减少。这类问题的一个典型例子——不仅见于当时的学校教学，也出现在中国、印度数学以及欧洲中世纪——体现在塞琉古时期记录的一个关于靠墙杆子的问题中（BM 34568，伦敦大英博物馆）。当杆子起初垂直靠墙时，其顶端达到某一未知高度。随后，将杆脚从墙根移开 9 肘尺，杆的顶端便降低了 3 肘尺。目标是计算杆的长度 x。因此，我们需要通过以下勾股三角形的公式来计算 x：x^2=(x−3)^2+9^2 。

这类广泛存在的分割问题也构成了几何学的一部分。例如，若想用一条从边 b 到边 d 的截线 x 将任意四边形田地区域（边长分别为 a,b,c,d）分割成面积相等的两部分，则需遵循如下方法：

你可以将此近似法理解为：在以边 a 和 c 为边的两个正方形的中间，再作一个正方形，此时该正方形的边长即为截线的长度。然而，正如所见，此方法忽略了边 b 和 d 的长度。因此，这一方法仅能针对某些特定形状的田地得出近似正确的数值。

在计算圆时，巴比伦人使用了一种与埃及人截然不同的新方法。圆的面积 A 是通过借助其周长 c 来计算的，即取周长平方的十二分之一：

由此，他们接受周长为直径的3倍。应用这一规则，结果为 A=9d^2/12=3r^2。问题在于：巴比伦人为何要以这种独特的方式计算圆面积，尽管这暗示着他们本可以使用直径或半径。首先，我们需要理解，在研究圆时存在两个比例因子。一方面，直径与周长这两种长度之间存在一个固定的比值。另一方面，直径平方（或半径平方）与圆面积这两种面积之间也存在一个固定的比值。直到阿基米德，才通过将圆周展开——换言之，通过严格证明该比值——证明这两个因子是相同的。

由于 c=3d=6r意味着可以用内接正六边形的周长来近似圆的周长，你可能会认为可以通过将圆扇形视为一个底边为 c/6、高为 r 的三角形来近似计算圆面积——该三角形的内角为60∘。于是可得：A = 6 · ( 1/ 2 · c /6 · r)=6 · ( 1 /2 · c/ 6 · c /6 ) = c^2/ 12 。（另一种解释是：他们计算了外接正方形面积 d^ 2 与内接正方形面积 d^2/2的算术平均值，即 3d^2 /4 = 3r^2，然后再从半径反推回周长。）

巴比伦人还研究了圆中被弦 c 截下的弓形（参见图 1.2.5），其矢高 s（即从弦的中点垂直于弦至圆周的线段）通过直径 d 与弦 c 按以下公式计算：

弦或弓形底边 c 则按以下公式计算：

这里我们面对的是弦几何的初步发展，后来由喜帕恰斯进一步推进。托勒密将这一主题置于其伟大的天文学教科书（阿拉伯人称之为《至大论》；参见第 2.5.4 节）的开篇。然而，巴比伦数学中尚未发展出一般的角度概念；只有直角隐含地出现在矩形和勾股三角形中。对于倾斜平面的坡度（例如堤坝的边坡），可以通过所谓的“每肘尺回退量”来测量。他们指出的是，在垂直方向每上升一肘尺所对应的水平回退距离。

图 1.2.10 圆弓形，弦 c 与矢高 s

在日常遇到的立体几何问题中，计算长方体、直棱柱和圆柱体并不构成任何难题（如有必要，底面面积可通过已讨论过的近似公式计算，然后乘以高即可）。无论在埃及文献还是美索不达米亚文献中，至今都未发现棱锥的体积公式。巴比伦人对于平截头棱锥使用了与我们在埃及已经见到的相同的近似公式（1.2.5）。这无疑证实了计算平均值是最早且流传最广的数学思考之一。BM 85194,28号泥板的文本可能包含与希腊文献相同的公式——前提是省略因子 (a−b)/3，而在此例中由于 a 和 b 的特殊数值，该因子恰好等于1。

在某一实例中，圆台也是通过取平均值的方法，按以下公式进行计算：

人们多次指出，巴比伦数学家已经使用了毕达哥拉斯定理——或者更准确地说：直角三角形中 a^2 +b^2 =c^2的成立。1945 年由奥托·诺伊格鲍尔和亚伯拉罕·萨克斯出版的一份古巴比伦文献长期被认为尤为引人注目。该文献藏于纽约哥伦比亚大学的普林顿收藏馆，很快以“普林顿 322”之名著称 [Neugebauer/Sachs 1945]。这份文献似乎包含一种三角函数表，与我们已知的美索不达米亚大量数表相吻合。

除了标题外，该数表（左侧可能缺失一部分）的正文包含五列十五行，其中仅列出数字（见图 1.2.7）。右边一列显示从 1（用一个垂直楔形表示）到 15 的连续行号（从第 10 行起，除了可重复至九次的表示“一”的楔形外，还出现了“Winkelhaken”——即“钩”——这是巴比伦表示“十”的符号）。其前面一列始终是相同的项，即同样表示行号。对前三列中大多为多位六十进制数字的分析表明，第一列表示的是比值，并按递减顺序排列：

这使诺伊格鲍尔和萨克斯将该数表解释为一种系统排列的15个直角三角形序列。第一行中的三角形几乎是等腰的，而最后一行则具有约30°和60°的角。这一解释引出了一个轰动性的结论：普林顿322确实是巴比伦时代的一份三角函数表。其他研究者则尝试基于互倒数对进行数论解释。无论哪种情况，我们面对的都是一种高度抽象的文献，而此前在美索不达米亚数学中尚未证实存在此类文献。此外，我们对巴比伦角度概念的了解也与三角函数解释相矛盾。由于过去几十年来学术界逐渐接受这样一种观点：此类文献不应孤立分析，而应在整体文化环境中加以考察，因此两种解释都受到质疑，尤其是埃莉诺·罗布森的观点 [Robson 2001]。这块刻于公元前18世纪中期的泥板出自今伊朗境内的拉尔萨城，属于一批归类为会计与行政管理的文献。泥板的标题及数表的构成方式都表明了这一点。它们让人联想到其他用于教学目的的泥板——书吏在其上编制习题和例题集。在这种解释下，我们所面对的是一组关于毕达哥拉斯三元组的问题集合，其中第二列优先选取了数值简单的数，但其几何关系尚不明确。这一解释消除了此前对美索不达米亚数学的描述中赋予普林顿322的特殊地位。那种认为三角函数在约4000年前就已存在的信念，现在被归结为纯粹的传说。尽管如此，这块泥板至今仍是一份独特的毕达哥拉斯三元组汇编，其中的三元组通过一个二次关系彼此关联。

图 1.2.11 普林顿 322；古代美索不达米亚楔形文字文献（纽约哥伦比亚大学普林顿图书馆藏）。该文献包含一份整数边（股 w、勾 b 与弦 d）直角三角形的列表。左侧有几列已经残缺。第二列和第三列以整数形式给出了股 w 与对角线（斜边）d。最后一列标明连续的行号。在第 11 行和第 15 行中，w 与 d 具有公因数；在其他所有行中，它们互素。

图 1.2.12 带有印章的陶球上的楔形文字数量记录（公元前18世纪），古巴比伦时期（左）；按容量计量的圆柱形量器泥板，古巴比伦时期（右）（柏林西亚细亚博物馆藏）

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青山 不改，绿水长流，在下告退。

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