湖北
【解题研究】做好线段搬运——温州瑞安二模第24题
最短路径问题，在人教版数学八年级上册是作为综合与实践版块出现的，如下图：
从教材中我们可以看出，这一类问题在八年级时主要是基于两个定理“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，而到了九年级的时候，新增了圆、二次函数，那么这一类问题的复杂程度提升了。
但无论哪一种最短路径问题，核心就是将这些路径（通常情况下是若干条线段和）通过转化，变成一条线段，在课堂上，我们也可以戏称之为“搬运”，搬运方法比较多，平移、全等、对称、圆的性质等均可用。
题目
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=4，CE平分∠BCD，交AB于点E，点F在AB上，且AE=BF.
(1)如图2，当点E与点F重合时，求tan∠ECD的值；
(2)如图3，点G在射线AD上，且点E在点F上方时，连结DE、FG.
①当EF=5/3时，求AD的长；
②若AD+AG=5，求DE+FG的最小值.
解析：
01
(1)很基础的问题，由AE=BF可知此时点E为AB中点，得到BE=5/2，而由角平分线可得∠ECD=∠ECB，在Rt△BCE中直接利用三角函数定义求得tan∠ECB=5/8，即tan∠ECD=5/8；
02
(2)①当EF=5/3，且AB=5，AE=BF条件加成下，可求得AE=EF=BF=5/3；
夹在平行线间的角平分线也是平时常见的构型，不妨延长CE、DA交于点H，如下图：
由角平分线可得∠BCE=∠DCE，再由平行得∠BCE=∠H，于是∠DCE=∠H，DH=DC；
由前面的计算可知AE:BE=1:2，我们易证△AEH∽△BEC，相似比为1:2，所以可以求出AH=2，再设AD=x，则DH=x+2，即DC=x+2，而DM=AB=5，CM=BC-BM=BC-AD=4-x，这样在Rt△DCM中，利用勾股定理列方程得(4-x)²+25=(x+2)²，解得x=37/12；
②基本思路是将DE和FG转化至同一条直线上，如下图：
作点G关于AB的对称点G'，连接MF，由对称可得FG=FG'，图中的四边形ABMD可证其为矩形，得到AD=BM，再加上AE=BF和一对直角，可证△ADE≌△BMF，所以DE=MF，这样我们成功将DE+FG转化成了FM+FG'，上图中红色虚线；
点G'和点M为定点，所以根据两点之间线段最短，当G'、F、M共线时，DE+FG最短，如下图：
观察Rt△MDG'，DG'=AG'+AD=AG+AD=5，DM=AB=5，可求出MG'=5√2，即DE+FG最小值为5√2.
解题思考
本题的两条线段DE和FG设置得很有意思，这四个端点没有一个是定点，然而却相互关联，因此用传统的将军饮马模型去套，多数会无从下手，当我们分析图中的等量关系时AD+AG=5是突破口，这说明我们需要寻找一条线段，长度是5，这才想到轴对称，将原本重叠的两条线段分开，变成一条线段DG'，再借助全等将DE也搬过来，拼在一起。
最短路径问题、线段最值问题通常的思路学生都明白，实际解题中，需要通过对条件的解读，找到合理落实思路的突破口，最终回归到两个基本“最值定理”，包括我们常见的将军饮马模型，本质也是这个思路，所以在教学中，不是仅仅教学生怎样做，更要教学生为什么这样做。
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