孔令欣：广义对称性如何把连续场论“砍成一片一片”通向量子引力

5月17日，2026搜狐科技年度论坛在京盛大开幕。来自科学界、学术界和产业界的近三十位嘉宾共襄盛会，围绕基础科学和人工智能话题展开探讨思辨。

在下午的线下论坛中，清华大学丘成桐数学科学中心教授孔令欣在以《广义对称性：从离散统计模型到量子引力？》为主题的演讲中解释了“广义对称性”的概念，以及它如何帮助我们把离散的统计模型、连续的场论，甚至与量子引力串在一起。

孔令欣认为，传统对称性对应守恒量，数学结构是“群”。广义对称性把这个概念放大，守恒量可以是各种不同维度的“算子”，甚至可以“不可逆”，而这种数学结构就叫“张量范畴”。

孔教授以“二维模型”作为具体例子，她表示，很多熟悉的二维模型（如伊辛模型）可以等价于一个三维离散拓扑理论的边界条件。不同温度（不同相）对应边界上不同的“代数”结构，相变点就是这些代数的叠加。利用这个观点，可以预言相图、计算相变温度，甚至造出全新的模型。

清华大学丘成桐数学科学中心教授孔令欣

以下为演讲全文：

首先非常感谢主办方给我这个机会，代表丘成桐数学中心参加这个论坛。今天我想向大家介绍一下近十年来在数学物理、理论物理领域一个比较令人振奋的成果，就是关于广义对称性。虽然它源于一些比较抽象的数学，可是在一些实际问题上，似乎也能带来很大的进展甚至突破。

首先，我先介绍一下什么是广义对称性。

对称性在理论物理中有着非常重要的作用，比如大家熟悉的镜像对称性、平移对称性、时间平移对称性等等，这些都为物理理论和物理体系带来了很多约束，也为我们提供了更多分析手段。

广义对称性是什么？

我们知道，有了对称性，诺特定理告诉我们对称性会带来守恒量。比如镜像对称性或平移对称性导致动量守恒，时间平移对称性给出能量守恒。所以守恒量与对称性是一枚硬币的两面。我们可以直接问对称性是如何作用的，比如左右镜像反射；也可以问它到底给出了哪种守恒量，这也是理解对称性的一种方式。

一旦我们讨论守恒量，就会发现守恒量有很多不同的品种。通常讨论电荷作为一个守恒量，我们要数一下整个空间中有多少电荷。从量子力学和量子物理的角度，守恒量就是一个算子，而且因为我们要数整个空间中的电荷，所以电荷算子是三维的、充满整个空间的。

因为它是守恒量，所以它要与能动张量有简单的对易关系。因此，我们也可以把对称性理解为：寻找那些与能动张量对易的东西。沿着这个思路，对称性的概念可以大大推广。与能动张量对易的不仅仅是三维的算子，也可以是二维的膜算子，也可以是链状的算子，也可以是各种维度的算子。

以前我们讨论对称性，一般认为对称性是可逆的。但如果只考虑与能动张量对易的守恒量，它们还可能是不可逆的。当我们专注于守恒量时，这个概念本身就可以被大量推广，这就是广义对称性所要说明的事情。

以往的对称性，比如旋转对称性、平移对称性等，其数学结构是群论。当我们推广对称性之后，新的数学结构就是群的推广，叫做“张量范畴”。张量范畴告诉我们有多少个品种、不同维度的守恒量，以及它们是否可逆。把所有不同维度、可能可逆也可能不可逆的、与能动张量对易的东西收集起来，这就是广义对称性。

广义对称性的发展中有很多华裔科学家的身影，他们做出了非常杰出的贡献，比如文小刚教授在这个方向上做了很多奠基性的工作。我也很荣幸作为华人学生参与到这个研究中。

接下来要提到全息原理与广义对称性的深刻关系。刚才李老师也提到了全息原理，在广义对称性的情形下，这叫“拓扑全息原理”，它跟李老师说的全息原理有很深的关系，最后讲到量子引力时会用到。

这里只需要知道一点：拓扑全息原理大致告诉我们，当我们考虑的系统具有某种广义对称性时，原来每一个低维的具有对称性的系统，都可以写成一个高一个维度的拓扑理论（d+1维）。这个高维理论是一个拓扑理论，用来描述张量范畴。也就是说，要描述一个具有某种对称性的物理体系，可以转化为：在一个高一个维度的拓扑理论中，如何构造它的边界条件。这看起来很抽象，但在实际问题中很有用。

下面给出一个非常具体的例子，说明利用广义对称性和高维拓扑理论，确实能让我们对原有的物理有更深入的理解，并做出一些物理预言。

这个简单的例子是二维统计模型。二维统计模型在真实物理世界中很容易实现，有很多著名的模型，对于理解相变和共形场论有非常重要的作用。

有了广义对称性之后，统计模型能有什么新发展呢？

大约十来年前，一些凝聚态物理学家注意到一个很有趣的事情：有非常大的一类二维模型，包括我们熟悉的伊辛模型以及其他许多可解模型，都可以写成一个三维离散拓扑理论的边界条件。他们只是注意到，每个配分函数刚好可以写成三维离散拓扑理论的边界条件。现在有了广义对称性，我们就知道，三维拓扑模型正是抓住了二维统计模型的广义对称性。

这一类三维拓扑模型，在凝聚态物理中叫做格点模型（lattice model）。我们考虑三维拓扑的配分函数，它的边界就是统计模型所在的平面，也需要做三角剖分。当我们要给边界条件时，就在二维边界上做一个投影。比如要构造伊辛模型，它的广义对称性有三个拓扑守恒量，可以叫0、1、1/2。

在三维拓扑模型中，对三维空间进行三角剖分后，每一条边也用这三个品种的label标记。要得到边界模型，需要让某些label取特定的值，比如绿色边上的label要取某一个值。这样，三维拓扑模型的配分函数就能完全对应伊辛模型的配分函数，而且这个参数正好等价于伊辛模型的温度。所以不同温度下的伊辛模型，在三维模型中对应不同的边界条件——用一个常数描述不同的边界条件，每个边界条件给出一个不同温度的伊辛模型。这一类无数个可解模型都能写成三维拓扑模型的边界条件。

对我来说，第一次看到这个结果时感到很困惑。虽然我知道三维模型揭示了二维模型的对称性，但边界条件为什么长成那个样子？有没有数学理论解释这样做的原因？

当初凝聚态物理学家得到这个观察时，他们只是说“这样做刚好能与已知模型对上”，但这些投影对他们来说似乎没有特殊意义。

我们花了好几年盯着这个问题，最近终于弄清楚了至少一大类模型背后的数学。这跟序参量以及相变很有关系。

要理解伊辛模型的相图：高温区域有一个自发对称性破缺，低温区域有另一种自发对称性破缺，两者在相变点处对称性都未破缺。现在我们讨论广义对称性时，理解相图仍然可以用自发对称性破缺这个传统框架，只是把它推广到广义对称性上。

第一个问题是：不同的相、不同的自发对称性破缺，在范畴论中有没有简单的描述？答案是有的。具体细节这里不展开，但它对应于一些“代数”，这些代数在范畴论中已被长期研究。

不同的代数描述不同的自发对称性破缺。我们发现，伊辛模型对应的边界条件，正好等价于把这些范畴论中的代数涂在拓扑场论的边界上：一种对称性破缺涂一种代数，另一种对称性破缺涂另一种代数。而刚好在相变点时，边界上是这些代数的等权叠加。因此，我们有了通过拓扑场论预言相图的能力。不仅在伊辛模型中能准确利用这些拓扑不变量（即代数结构）计算出相变温度，而且在一大类统计模型中，那些奇奇怪怪的相变点现在在拓扑理论里都有了非常简单的解释——通过代数结构就能解释。而且，因为现在有了理解，我们可以构造全新的模型：你给我一个广义对称性，我能反馈出一大批统计模型，并且它们的相图和相变点都可以做出理论预言。可见广义对称性是一个非常强大的体系，能帮助我们理解已有的物理。

有人可能会问：我们的世界是连续的，场论也是连续的，这些离散的统计模型有什么用？它们非常有用。比如伊辛模型在连续相变点附近，长距离行为等价于一个二维共形场论。那么，我们能否通过广义对称性把离散模型和连续场论更有机地联系起来？答案是肯定的。

具体怎么做呢？大家知道，要处理红外极限（长距离极限），通常用重整化。在拓扑场论中有一个很好的办法：因为拓扑场论中的三角剖分是任意的，我们可以从一个三角剖分变换到另一个。不同剖分之间有一个非常简单的线性变换。给定一个对称性，从一个剖分到另一个剖分的变换是具体可知的。

初始的边界条件记为Ω，在三角剖分的线性变换下，边界条件会吸收这个线性变化而改变。当三角剖分变得越来越粗粒化（coarse-grained），我们要描述连续场论，就相当于问：如何找到那个在三角剖分变换下保持不变的边界条件？如果能数学上解出这个不动点，那么离散模型就是连续场论的严格描述。

经过几年的努力，我们真的解出了这个不动点，结果发现它是由共形场论中的共形块（conformal block）构造的。

我们找到了具体的不动点，它告诉我们离散的东西如何描述连续场论。盯着这个答案，我们发现它实际上解释了如何把一个连续场论“砍成一片一片”。为什么这个离散构造能等价于连续场论？因为它把连续场论在任意曲面上的配分函数，理想化为一个三点函数，再一个一个三角形粘起来。这也解释了为什么凝聚态物理中做张量网络数值模拟的人，会发现张量网络也有不动点，能够很好地描述共形场论的性质。我们实际上给出了一个严格的解释：只要抓住对称性，就能把连续场论严格地写成一个离散形式。而且我们做了数值测试，发现它与最好的张量网络数值结果精度相当，说明它确实是一个很好的把连续场论离散化的方法。

我最初研究这个问题是为了量子引力，因为我自己的方向是AdS/CFT全息原理。一直以来，大家都希望张量网络能否在場論与引力之间架起桥梁。因为我们找到了这个离散化的方法，以及它与三维拓扑场论的关系，于是我们在一个低维的（二维）共形场论中，按照离散化的办法把场论砍成一片一片，再通过三点关联函数一个一个三角形地构造，最后竟然读出了一个完整的三维几何结构。也就是说，虽然我们做的是广义对称性，但一旦把这个方法应用到具体的共形场论中，它竟然能告诉我们非常严格的几何是什么。

最后，我们对广义对称性有什么期待呢？既然它能告诉我们如何把一个连续场论砍成一片一片，它就有很大的应用潜力。比如在一些常规体系中，只要我们能抓住它的广义对称性，然后把它离散化，这些问题就可以很方便地放到计算机里做模拟。所以，我们现在希望把这一套工具推广到我们更熟悉的强关联共形场论中，希望能为物理带来新的进展甚至突破。

谢谢大家！

本文经授权转载自微信公众号“搜狐科技”。

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