《人类科学技术史-248》数学家族（下）

数学家族（下）
3.纯粹数学与应用数学的发展

约翰早年也是莱布尼茨的拥护者之一，并与莱布尼茨进行过一些卓有成效的合作。与此同时，约翰也曾与雅克进行过合作。但是，到了后来，约翰因急于成名，开始与其兄进行激烈的竞争，有时甚至把其兄的研究成果作为自己的成果抢先发表。雅克因此对约翰的行为不满。后来，两兄弟即陷入公开的冲突和对立中，莱布尼茨曾想从中调解，但雅克认为莱布尼茨是蓄意贬低他的数学成就，因此雅克对莱布尼茨也不满，并转到反对莱布尼茨的方面。

约翰接任巴塞尔大学数学教授席位时，年仅39岁。他活了81岁，长寿使他有充裕的时间来完成他的数学著作，因此约翰成为近代数学史上少有的几位多产的数学家之一。他对近代数学的贡献，除了与其兄一道建立变分法之外，主要在纯粹数学与应用数学两方面推动了近代数学的发展。

在纯粹数学方面，其中主要是在微积分的基础理论研究方面，约翰在曲线求长和曲面求积的微分方程，在各种不同的积分方法等问题的研究上，均取得过一些新的成果，这些新成果进一步丰富和发展了莱布尼茨微积分的原理和方法。

约翰对纯粹数学的贡献，还表现在对微积分所进行的系统化和理论化的研究工作上。1691年，约翰出版了《微分学初步》，这一著作被当时的大陆许多大学作为微分学的基础教材。1742年，约翰又发表了《积分学教程》，这一著作也同时被一些大学作为积分学的基础教材。因此，约翰的这两大著作被誉为早期微积分的发展中的新的里程碑。

在应用数学方面，约翰把微积分引入到普通力学与天体力学方面。在其《微分学初步》中，就曾探讨过微分这一新的数学方法在力学以及整个物理学中的应用问题。1727年，约翰发表了《论运动的交换规律》一文，在普通力学问题的研究中引入了微积分方法。1734年，又发表了《讨论行星椭圆轨道，特别是轨道的倾斜度》一文，进一步推进了微积分在天体力学中的应用。

可以说，约翰是继牛顿之后，把微积分引入普通力学和天体力学的又一代表人物。微积分进入力学的结果，不仅推动了力学及相关的物理学和天文学的发展，而且推动了数学本身的发展。

4.数学家族的第二代兄弟

继第一代贝努利兄弟之后，约翰的两个儿子：大儿子尼古拉.贝努利(1695-1726年）和小儿子丹尼尔.贝努利(1700-1782年）也成了著名数学家。人们因此把他们称为贝努利数学家族的第二代贝努利兄弟，亦称为小贝努利兄弟。

与其父辈相似，尼古拉虽在数学上作过一些贡献，但与他的伯父一样早逝，而丹尼尔则与其父一样，活到82岁高龄，在近代数学史上产生过更大影响。

丹尼尔生於约翰在格罗宁根大学期间，后随父返回巴塞尔大学。他早年在巴塞尔大学学医，此后不久，去德国和意大利留学。1725-1733年间，丹尼尔应聘去俄国彼得堡科学院工作，成为彼得堡科学院的第一批外籍院士。1733-1755年，回巴塞尔大学任解剖学和植物学等课教授。1750年以后，任巴塞尔大学的哲学教授。在数学研究中，丹尼尔综合了第一代贝努利兄弟的成就，在微积分、概率论以及应用数学方面，均作出了杰出贡献。

在微积分方面，丹尼尔在1724年即出版了他的第一部数学著作《几门数学练习》，此后，他又发表了一些关于微积分的著作。在这些著作中，他研究了微分方程与偏微分方程的解法，特别是偏微分方程研究方面，推动了微积分的发展。

在概率论方面，丹尼尔研究了《猜测的艺术》等早期概率论著作，首次把微积分方法列入概率论研究。1730年，丹尼尔发表了《赌博法新论》，1759年，又发表了《关于猜测的新问题的分析研究》。在这两部概率论专著中，丹尼尔将概率论首次用于人口问题的统计分析，提出了正态分布误差理论，为人口理论的发展提供了数学方法。

在应用数学方面，他把微积分方法全面引入物理学研究，并因此成为数学物理方法的奠基人。他还应用他的数学物理方法，推进了流体动力学与气体动力学的研究。1738年，丹尼尔建立了流体动力学与气体动力学中的基本方程，即流体速度、压强、势能之和为一常量的流体运动方程，人们通称之为贝努利方程或贝努利定理。同年，丹尼尔出版了《流体动力学》一书，书中除奠定了流体力学的一般理论基础之外，还对流体的喷射推进现象进行了最早的研究。这一研究，使他成为近代喷射理论研究的先驱之一。

在应用数学方面，丹尼尔不仅把微积分引入了流体力学研究，而且也引入了天体力学研究。早在1734年，丹尼尔就与其父约翰合作，研究了行星轨迹的力学问题，并以《行星轨道与太阳赤道不同交角的原因》这一天体力学论文而获巴黎科学院奖金。

由于丹尼尔在多种数学领域中所作的重要贡献，他因此成为贝努利家族中与雅克和约翰齐名的著名数学家。

5.数学家族与欧拉和哥德巴赫

在贝努利家族先后产生了11名数学家，这个家族因此成为数学史上著名的数学家族。贝努利家族不仅在微积分、变分法、概率论以及应用数学诸方面作出了重要贡献，而且在他们的培养和直接影响下，出现了以欧拉(1707-1783年）和哥德巴赫(1690-1764年）为代表的一些著名的数学家。

欧拉是约翰在巴塞尔大学任教时的学生。他出生在巴塞尔附近的一个牧师家庭。他的父亲曾要他去学神学，但年少的欧拉却执意追随约翰学数学。由于成绩优异，15岁时大学毕业，16岁开始发表数学论文，19岁时以船的立桅问题获巴黎科学院奖金。后来，由丹尼尔推荐，被聘为彼得堡科学院院士，并在1733年前往彼得堡接任丹尼尔的数学教授席位。此后在彼得堡科学院工作8年(1733-1741年），1741年，欧拉应普鲁士腓特烈大帝之邀去柏林，在柏林科学院工作了25年。在此期间，欧拉给彼得堡科学院寄去了大批数学论文。1766年，欧拉在双目即将失明的情况下，仍应叶卡特琳娜女王之邀，重返彼得堡，一直在彼得堡科学院工作到临终。

欧拉在数学上的重要贡献，是在贝努利家族的数学成就的基础上，全面推进了纯粹数学与应用数学在各个分支方面的发展。在纯粹数学方面，他的主要著作《无穷小分析引论》(两卷，1748年出版）、《微分原理》(1755年出版）、《积分原理》(三卷，1768-1770年出版）丰富和发展了微积分、微分方程、变分法、微分几何、数论等各数学分支的内容。在应用数学方面，他以微积分为主要数学方法，对力学、声学、光学、热学以及多种工程技术进行广泛的研究，并取得了有影响的成果，在力学中，欧拉继承和发展了丹尼尔的流体力学成就，进一步奠定了流体力学的理论基础，并以流体力学与船舶力学相结合的论文《论船舶的左右及前后摇晃》在1759年获巴黎科学院奖金。在光学方面，他完成了折射望远镜、反射望远镜、显微望远镜的许多计算问题，从而推动了几何光学的发展。

欧拉是科学史上罕见的多产科学家之一。据说他的科学论著若全部出齐，估计多达74卷之多，而且其中不少论著是在他双目失明后完成的。他的科学成就，特别是他的科学精神，确实是近代科学史上光辉的一页。

哥德巴赫生于德国，早年留学于英国牛津大学法学系。他在欧洲各国旅行期间，由于结识贝努利家族而开始对数学产生兴趣，并开始进行业余数学研究。1725年，哥德巴赫作为普鲁士公使出使俄国。1733年欧拉来到俄国之后，哥德巴赫即与欧拉共同探讨一些数学问题。1741年欧拉前往柏林之后，哥德巴赫移居莫斯科。自此之后直到哥德巴赫去世的1764年，哥德巴赫与欧拉始终保持着通信联系。他的不少数学成就，都是与欧拉通信商讨过程中取得的。

哥德巴赫在近代数学上的重要贡献是在数论方面。1742年6月7日，哥德巴赫在给欧拉的信中提出：每一偶数都是两个素数之和；每一奇数或者是一个素数，或者是三个素数之和；推而言之，任何一个整数n≥6时，都可以用三个素数的和表示。同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中指出：要解决定这一问题的关键在于充分证明每一个偶数都是两个素数之和。因为其他问题可以从这一问题中推导出来。由于这一问题是哥德巴赫最先以猜想的形式提出的，因此这一问题被后来的数学家称为"哥德巴赫猜想"，或称为哥德巴赫——欧拉问题。哥德巴赫猜想的提出，对近代数论的发展产生过极大的推动作用。

此外，哥德巴赫在微积分与级数方面也有过一些重要贡献。

在贝努利家族的影响下，微积分方法在德国也得到比较迅速的普及。去法国传播微积分的工作主要是由约翰的学生、法国数学家罗彼德(1661-1705年）进行的，并因此为法国在18世纪末和19世纪初的近代数学的繁荣打下了初步基础。

继牛顿和莱布尼茨之后，贝努利家族及其数学成就对欧洲大陆数学产生了广泛的影响。