谈谈量子力学中的几个基本方程

|作者：沈顺清

(香港大学物理系）

本文选自《物理》2026年第3期

从1999年开始，我一直在香港大学讲授量子力学。2025年是量子力学诞生一百周年，出现了不少纪念文章，也有一些纪念活动。有不少颇为动人的传奇故事，让人对那个时代充满遐想。但每当翻开教科书，看到教科书中的每一个方程时，我总觉得和那些传奇故事还是有很大的差异。在本文，我想借助量子力学成型后的几个主要方程，来谈谈与之相关的几个主要创始者。我有意避开了主要的物理实验，尽管它们在量子力学的建立过程中都起过重要作用。我仅探讨经过百年的发展和精炼，支撑这个理论的几个最基本方程的发现和发展过程，它们在量子物理建立过程中的作用，以及教学中常忽视的内容，甚至是误解。从这几个刻在墓碑上的数学物理方程，也可看出一个科学理论的核心支柱，其实是非常简洁明了的。

01

普朗克常数h/ℏ的出现

现代量子论的第一缕曙光，毫无悬念地应该归结于德国物理学家马克斯⋅普朗克在1900年提出的有关黑体辐射的电磁辐射率和频率ν的关系式[1]：

这个公式和当年的实验数据完美吻合，也和当时的两个高频和低频极限下的经验公式完全一致。让人不得不相信和接受这个方程的正确性。这个方程中首次出现了两个新的物理常数，即普朗克常数h或ℏ=h/2π和玻尔兹曼常数kB。c是光速。然而，这个公式中的hν有能量量纲，它的物理含义超出了当时的物理认知，是经典理论无法解释的。普朗克发现，如果用当时的玻尔兹曼统计理论，辐射光中含有粒子的话，它们的能量必须是分立的，即量子，这对经典物理来说是不可能的，而且是难以接受的。对经典粒子来说，能量都是连续分布的。直到1905年爱因斯坦提出光由光子组成，hν为光子的能量，并用它成功解释了光电效应。将光理解为有粒子属性的光子，无疑具有革命性的思想。它的真正理解是量子力学诞生之后，1927年英国理论物理学家保罗⋅狄拉克完成了电磁场的能量量子化理论，证实了爱因斯坦的猜想，并提供了坚实的理论基础。1925年后发展起来的量子力学和量子统计理论，将光子看成是满足玻色—爱因斯坦统计的玻色子，可以推导出普朗克的方程，证明它是完全正确的。现在我们知道，这个超前出现的物理公式的适用范围可以从实验室的小炉子到整个宇宙的微波背景辐射，具有令人难以置信的普适性。可以说，普朗克常数h的现身是现代量子论的第一个标志，后来刻在了普朗克的墓碑上(图1)。

图1 马克斯⋅普朗克的墓碑。上面刻有普朗克常数的数值，h=6.62×10-34 W·s2。现在在国际标准单位制中h是被定义的物理基本常数

在这个方程中同时引入的另外一个常数kB，后来被称为玻尔兹曼常数，而不是普朗克第二常数。普朗克在他的诺贝尔奖演讲中还专门强调，“这个常数通常被称为玻尔兹曼常数，但据我所知，玻尔兹曼本人从未提出过它——这很奇怪，原因可能是，从玻尔兹曼偶尔的言论来看，他从未考虑过对这个常数进行精确测量的可能性”[2]。kB可由理想气体常数R和阿伏伽德罗常数NA的比值来确定，kB=R/NA。当时R是已知的，普朗克从黑体辐射的实验数据精确给出了NA，并由法拉第常数推出了基本电荷e的数值，其精度也远高于当时的测量值。一个方程中同时引进了两个被现代国际单位制SI中定义的基本物理常数(另外两个是光速c 和基本电荷e)，它同时还暗示了可能出现新的科学。这是科学史上绝无仅有的个例。因此，它的重要性无论怎么评价，都不过分。这也可以理解为什么二战后德国国家科学机构被命名为马克斯⋅普朗克学会和众多的马克斯⋅普朗克研究所，用以纪念普朗克的伟大科学贡献。

02

普朗克关系和德布罗意关系

普朗克关系是指粒子能量和频率的关系式：E=hν。有时也被称为普朗克—爱因斯坦关系，起初主要是从普朗克公式出发，强调光的粒子属性的一面。经典物理中粒子有两个物理量来描述，能量和动量，而基于麦克斯韦方程的电磁学理论认为光是一种电磁波，它也有两个物理特征量，频率和波长。1924年法国青年学者路易⋅德布罗意在他的博士论文中提出了粒子动量和波长λ的关系式。这两个公式一起[3]

把大家熟悉的光的波动特性和粒子特性结合统一起来。它们揭示了物质的波动性和粒子性的两个方面，即波粒二象性。他把相对论中粒子的能量和动量组成的四维矢量，推广到频率和波矢组成四维矢量。这两组不同物理量之间的联系是普朗克常数。德布罗意认为，光子也有个微小的质量，这样有质量的粒子如电子等和光子一样都具有波的特性，波是物质的一个基本属性，并提出了相位波(phase wave)的概念。相位波本身并不带有能量，但有波长和相速度。利用驻波的特性，德布罗意可以推导出半经典的玻尔—索末菲量子化条件，和相空间的量子化条件，在量子理论方面迈出了极为重要的一步。人类第一次认识到微观粒子同时具备粒子和波动的性质，将经典物理的动量和能量的概念以及波的频率和波长统一到微观的粒子上，是物质的基本构成，从而揭开了量子世界的神秘面纱。当频率和波长和粒子的概念联系上后，粒子其实也不是原来意义上的概念了。如光子实际上是光的电磁场量子化后的一种能量振动模式，每个振动模的能量是分立的，既不是粒子也不是波，超出了粒子和波的经典图像。德布罗意的博士论文被称为史上最重要的博士论文。德布罗意的思想当时并没有实验支持，但是影响极大。这一点和有些人一直强调的实验观测推动物理发展的论断不同，在关键的节点上，原创理论的突破往往是超前的。保罗⋅朗之万将德布罗意的论文送了一份给爱因斯坦，爱因斯坦读后立刻意识到这是期待已久的理论突破，并向他的同行推荐，如玻恩。德布罗意的思想对量子物理的产生和发展起到了积极推动作用，一年后直接激励了薛定谔给出描写物质波的薛定谔方程，创立了波动力学。“相位波”概念只是过渡性的理论，但这两个方程留下来了，有了新的物理含义。他的理论提出了四年后，德布罗意获得了1929年诺贝尔物理学奖。

03

矩阵力学：对易关系和运动方程

在1925年夏天开始建立的矩阵力学中，两个代表性的数学方程是德国哥廷根大学的玻恩和他的学生约当提出的基本对易关系（注：在许多教科书中，把基本对易关系称为正则对易关系，我觉得基本对易关系更确切些。）和运动方程[4]：

早在1923年至1924年冬季，玻恩给出了一系列有关“原子力学”的讲座，探讨旧量子论的局限性并规划一个建立“终极原子力学”的计划。1924年他发表了“关于量子力学”一文[5]，历史上首次引进“量子力学”一词，他给出了新的量子力学有别于旧量子论的条件：自然中所有基本变化必须是非连续的，作用变量的改变应该是普朗克常数的整数倍。1925年6月，玻恩和他的学生约当，完成了一篇量子转变过程的微扰理论，其中就用到了分离的“量子矢量”，即矩阵元[6]。到了7月份，海森伯在德国北方小岛度完假后，将他的手稿交给玻恩，看是否值得发表，就去了英国剑桥访问。海森伯在文章中结合了玻恩和约当的力学自由度不连续表示和玻尔的虚拟振子的思想，利用傅里叶变换试图建立发射光谱频率强度和玻尔原子模型中原子轨道频率之间的关系，并发现了一些求和规则。同时利用托马斯和库恩对玻尔—索末菲量子化条件的修正，得到了谐振子的本征值，包括零点能，这是著名的“一人文章”[7]。玻恩在阅读了海森伯的手稿后，立刻认识到这些求和规则实际上是矩阵的运算关系。要得到海森伯的结果，动量p和位置q不能对易，需要满足基本的对易关系。玻恩觉得需要一些更严格的证明，于是先去找他的前助手泡利，泡利直接拒绝了玻恩，还说不希望玻恩的数学毁了海森伯的物理思想。玻恩只好找自己的学生约当，约当在几个星期内完成了证明，并且同时建立了运动方程，玻恩和约当的文章9月份寄出，这是著名的“二人文章”[4]。到11月份，把“二人文章”做了推广并加上部分应用，玻恩、海森伯和约当又写了一篇“三人文章”[8]。至此，这三篇“一人文章”“二人文章”“三人文章”的问世，正式标志矩阵力学的成型。而基本对易关系的建立，标志了新的量子力学的诞生。它第一次揭示了物理算符的不可交换性，同时赋予了普朗克常数h不同寻常的物理含义，成为量子物理的基本标示。玻恩十分自豪自己“是写下不可交换符号的物理定律的第一人”，是他“研究生涯的高潮”。而运动方程应该是约当对应经典的哈密顿方程首先推导出来的。但这两个方程的重要性因为其数学特性，当时明显被人低估了。现在，这两个方程是量子力学的基本假设，其实是不可推导的。

虽然一起合写了“三人文章”，但海森伯本人对玻恩和约当的数学部分的内容并不了解，甚至有所保留。这反映在他当时写给泡利的信中：我身处一个思维和感受与我截然相反的环境，我不知道自己是否太笨，无法理解数学。哥廷根分裂成了两个阵营，一派像希尔伯特……他们谈论矩阵引入物理学所带来的巨大成功；而另一派，像弗兰克，则认为我们永远无法理解矩阵。现在常有人提到海森伯不懂矩阵，却建立了矩阵力学，应该是言过其实了。如果青年海森伯将他的手稿交给玻尔，而不是玻恩，那可能又是另外一个命运了。当然，历史没有如果。

然而，另外一个天才的横空出世，让整个学界震惊。英国剑桥大学当时年仅22岁的研究生狄拉克，在1925年底，独自一人发表了题为《量子力学的基本方程》的文章[9]。在那年8月狄拉克的导师拉尔夫⋅福勒(Ralph Fowler)教授交给他海森伯的一人文章，3个月后，狄拉克利用经典力学中泊松符号的关系，导出了基本对易关系，并建立了运动方程。文章简明清晰，一出手，就是教科书级别的。按杨振宁的说法是“秋水文章不染尘”。这个工作应该独立于玻恩和约当的工作，而且早于那篇著名的三人文章。狄拉克的博士论文直接以《量子力学》为题，这也是物理学史上的另一篇最重要的博士论文。玻恩在读到狄拉克的文章后，十分震惊。事后，他承认这是他科学生涯中最为震惊的事件之一，他以为自己和学生创立了矩阵力学，结果却要和一个从不知名的小青年来分享。当然，碰到天才是痛苦的，即使他自己也是一位大学者。所以，矩阵力学可以说是德国哥廷根的玻恩、约当和海森伯，以及英国剑桥的狄拉克分别独立地发展起来的，而海森伯的一人文章是重要的催化剂。

图2 马克斯⋅玻恩的墓碑，上面刻有基本对易关系，

后来基本对易关系被刻在玻恩的墓碑上，用来纪念他对现代科学的伟大贡献(图2)。但在教科书中，基本对易关系和运动方程鲜有人以玻恩—约当甚至狄拉克的名字来命名，这有违于当时的学术传统和惯例，而且运动方程在教科书中时常被称为海森伯运动方程，这也是特别荒谬的。海森伯的“一人文章”中唯一一次出现的运动方程其实是牛顿方程。一直以来，哥本哈根学派把测不准原理作为量子力学的一个基本原理，到现在还有许多学者这样认为。其实海森伯的测不准原理是由基本对易关系加上测量原理，可以直接推导出来的必然结果，我每年在量子力学的课堂上都会推导一次，推导多了，就怀疑它是否真的是基本原理。可见基本对易关系才是量子力学中更为基本的方程，这一点在一般教科书中并没有强调。对易关系本身决定了位置和动量的不可同时测量性，是物理的本质，它并不是由物理测量过程引起的。量子世界的不确定性是由基本对易关系决定的。当然，对量子物理的理解也需要一个历史过程。

狄拉克后来说，那个时代，往往二流的物理学家可以做出一流的工作。从泡利拒绝玻恩一事，我觉得这是一个反例，一流物理学家有时也只能做二流的工作。其实泡利晚年对自己的科学成就也有反思，不知是否也包括对玻恩的傲慢和拒绝一事，至少他严重低估了线性代数对矩阵力学的建立起到的关键作用和更深刻的影响。另外，海森伯和泡利起初对矩阵关系和形式理论的抗拒，也从另一个侧面说明玻恩和约当工作的独立性，他们的工作并非海森伯工作的简单推广和衍生。同时也反映出，一百年前人们对数学在描述物理过程中的作用，在认识上存在一定的局限性。

联合国教科文组织将2025年定为量子科技国际年(IYQ2025)，是以1925年矩阵力学的诞生为标志，也有人认为是以海森伯在德国北海的黑尔戈兰岛的思想突破为起点。其实从1924年德布罗意的理论开始，就已经揭开了建立量子力学的序幕。

04

波动力学：薛定谔方程

从1925年的圣诞节开始，到1926年的9月，奥地利物理学家埃尔文⋅薛定谔以“量子化作为本征值问题：I—IV” (Quantization as an eigenvalue problem)为题目连续发表了4篇系列论文，提出了以他名字命名的方程，静态的薛定谔方程[10—13]：

和含时的薛定谔方程：

这个理论的建立主要受德布罗意相位波的思想和德国数学家赫尔曼⋅外尔规范理论的启发，而直接诱因是他在瑞士高等理工学院(ETH)的同事皮特⋅德拜。德拜在薛定谔介绍德布罗意工作的一个非正式研讨会后直接问到，“如果粒子是波的话，应该有个方程吧？”薛定谔以他非凡的物理直觉和对现实世界的实验结果的深刻理解，独自一人完成了这个使命。在几周后的一个报告会上，薛定谔对德拜说，“你要个方程，我就给你一个方程”(图3)。

图3 在奥地利阿尔卑巴赫村(Alpbach Village, Austria)的薛定谔墓碑，上面刻有含时薛定谔方程

至今我并不真的相信他的所谓数学推导，这个方程在当时应该也不可能是推导的，因为这些数学符号和它们代表的物理含义，当时连薛定谔自己都不是很清楚。他只是觉得，如果粒子是波的话，从经典的波动方程出发，利用经典力学中的一些关系式，一步一步地可以给出有关神秘的ψ的方程式。至于神秘的ψ是什么，他也不知道。但这还是能反映出薛定谔深厚的物理数学功底，以及他对新兴物质波的理解，同时也能反映出薛定谔的思想历程。海森伯当时就怀疑薛定谔是利用自由粒子的动能与动量的关系
，德布罗意关系式，加上平面波的数学函数形式ψ(x, t)∝ei(kx-ωt)=ei(px-Et)/ℏ直接猜出来的。著名的物理家理查·费曼在演讲中对薛定谔方程作了如下论述：“我们从哪里得到这个方程？哪儿也找不到。你不可能从任何已知的事物中推导出它。它源于薛定谔的思想，是他在努力理解现实世界的实验观察结果时发明的”。

神奇的是薛定谔方程和氢原子能谱的解是同时出现。1925年底已有新闻说泡利利用矩阵力学推出了氢原子能谱，而薛定谔在1926年1月底投出他的文稿[10]时，日期其实只比泡利的文章[14]晚十天。在那个靠邮差人工投递的年代，这个时间差应该是可以忽略不计的。薛定谔说他是从哈密顿—雅可比方程出发，用神秘的lnψ代替了作用量S，推导出他的方程，也没解释怎样得到这个方程。但是能从一个微分方程推出分立的氢原子能谱，即使是巧合，也是令人震惊的。这个结果为他的方程的合法性提供了一个强有力的支持。在他的第二篇文章中[11]，薛定谔试图从最小作用量原理推导了这个波动方程，同时给出了谐振子和刚性转子的解。这些解都是可以在现在的量子力学教科书中看到的标准题目和解答。在第4篇文章中[13]他进一步给出了含时薛定谔方程。在这期间，他以“海森伯—玻恩—约旦的量子力学和我的之间的关系”为题，发表了另外一篇文章[15]，在连续“位置表象”中，位置r是连续变量，可以得到动量的算子表示p=-iℏ∇r，这样位置和动量就满足与矩阵力学相同的基本对易关系，这也暗示他的理论和矩阵力学的内在联系。然而薛定谔本人对矩阵力学的繁杂代数与抽象含义还是十分排斥的。可以说，薛定谔在1926年头6个月创造力的喷发，凭一己之力完成了6篇系列文章[10—13，15，16]，独立一人创立了波动力学，这是完全可以与爱因斯坦1905年的奇迹年相比的。而神秘的波函数ψ则由玻恩给出了物理诠释[17]。

对于物理学家来说，当时对矩阵和线性代数相当陌生，抽象难懂；但求解微分方程本征值是当时理论物理学家十分擅长的。因此薛定谔的理论出现后，很快被人们接受和喜爱。

05

波动力学和矩阵力学的等价性

矩阵力学和波动力学从诞生开始，就是两个面目完全不同的双胞胎。泡利首先利用开普勒问题中的对称性，利用玻恩和约当的矩阵力学方程推导出了氢原子光谱[14]。老实说，即使今天出现在教科书中的推导，也能明显感到拼凑的感觉，远不如用矩阵方法推导谐振子解那么简明和顺畅。几乎同时薛定谔用他的波动方程同样也解出了氢原子能谱[10]，结果和泡利导出的一样，但推导过程更加严格，明了，易于理解。然而，由于形式上两个理论完全不同，物理含义也并不清楚，两组人员之间起初并不相互认同，甚至相互伤害。海森伯在给泡利的信中说，“我越思考薛定谔理论的物理部分，就越觉得它可怕……我觉得它是‘Mist’ (礼貌的翻译是‘垃圾’)……薛定谔理论的伟大成就是矩阵元的计算”。而薛定谔在谈论矩阵力学时也说，“现在，该死的哥廷根人使用我美丽的波动力学来计算他们的‘scheiss’ (礼貌地翻译为‘垃圾’)矩阵元素”。德语中的Mist和scheiss都不是什么文雅的词汇。但相同的氢原子能谱的结果却使大家认识到这两个理论之间的可能联系，薛定谔首先意识到两者的等价性，并发表了文章[15]。随后狄拉克[18]和约当[19]分别提出了变换理论(transformation theory)，利用线性代数中两种基矢之间的幺正变换，可以直接证明两个理论之间的等价性。两种力学形式只不过是不同基矢下的不同表示而已。而作为可观测的物理量，它的本征值在不同的表象下是一样的，可以给出相同的物理测量结果。联系表象之间的变换矩阵或函数，就像一本中英文字典，量子物理只有一个，但用中英文表达出来后，看上去就完全不一样。至此，具有两种不同形式的量子力学就基本建立起来了。

波动力学和矩阵力学发展过程中的独立性以及两个理论的等价性可以给出一个方程：

波动力学=矩阵力学.

波动力学是薛定谔基于德布罗意的物质波概念发展起来的，而矩阵力学是玻恩等三人加上狄拉克发展的。这两个理论独立且平行，这样似乎可以得到另外一个方程：

薛定谔=玻恩+海森伯+约当+狄拉克.

玻恩对波函数做了诠释，也是对波动力学做出了重要贡献。当然，如果说这5个人合在一起共同创立了量子力学，这样并不为过吧。

06

几率波诠释，测量原理和冯⋅诺依曼的量子力学数学基础

量子力学是一个少有的科学理论，在其数学方程建立后，方程中数学符号的物理含义连这些创立者自己都并不完全清楚。玻恩首先提出了薛定谔波函数的统计诠释：

将波函数ψ的模的平方解释为几率密度[20]。这一点石破天惊，将不确定性带进了现代物理世界，同时也引起了极大争论。爱因斯坦的“上帝是不会掷骰子”的论断就是一个例子。因果律一直是当时物理学家所信奉的，玻恩的统计诠释直接冲击了这一信条。现在不确定性、相干性、叠加性和纠缠性一起已经成为了量子世界的四大基本属性。海森伯起初并不赞同玻恩的解释，甚至认为玻恩的诠释是他对矩阵力学的背叛。有趣的是，这个统计诠释后来成为以玻尔和海森伯为首的哥本哈根学派的核心内容。

要将抽象的数学符号和物理世界联系起来，不能脱离物理的实验观测，这也是对物理数学方程的必然要求。狄拉克和冯⋅诺依曼分别提出了量子力学的测量理论(图4)[21，22]，基本思想是任何一个量子状态都可以用任何一个可测量物理量的完备本征态来表达，物理测量的结果是系统的量子状态必须塌缩到其中的一个本征态上，它的本征值就是测量的结果，测量该本征态前的系数，决定了这个状态出现的几率(图4)。基于这个测量原理，薛定谔方程中的波函数和本征值，就和可测量结果直接联系上了。有关量子态的塌缩是一个物理演化过程，是量子力学的一个最基本假设。这一点不同于经典物理，经典物理的测量是不会改变物体状态的。在现代科技发展的今天，这个假设还是一个需要实验检验的问题。

图4 冯⋅诺依曼的测量概念。狄拉克也有类似思想

1932年，匈牙利出生的数学家冯·诺依曼发表了《量子力学的数学基础》[22]。他利用希尔伯特空间里的算子和矢量，提出了密度矩阵、测量理论和不存在隐性变量定律，为量子力学公理化和完备性提供了坚实的数学基础。他书中的一些基本技术和公开问题一直到今天还在继续探讨，特别是量子力学的完备性等基础问题。他试图探讨是否存在某些未知参数，会导致量子状态的统计行为。他发现如果这样的隐性变量存在的话，量子力学就会是错的，由此，他进一步给出了不存在隐性变量定律。后来大卫⋅玻姆(David Bohm)延续德布罗意的思想，曾试图挑战这一定律，发展了隐形变量理论，激发约翰⋅贝尔(JohnBell)将爱因斯坦的局域性原理和Einstein—Podolsky—Rosen(EPR)详谬，转化为贝尔不等式，可以用实验来检测。不过到20世纪末，实验表明，正统的量子力学还是经受住了挑战。20世纪50年代冯·诺依曼在普林斯顿时，泡利打趣对他说，“如果物理是证明的话，你应该是个伟大的物理学家”。冯·诺依曼发表了他的专著后，没有继续量子力学，甚至物理方面的工作，但他在数学，计算机的基本原理，以及经济学中的博弈论几个方面都取得了卓越成就。他的确也是一位伟大的物理学家。

07

狄拉克方程

到1927年，量子力学基本建立以后，其实还存在许多不尽人意的地方，其中之一就是薛定谔方程是非相对论的，所得到的氢原子能谱还不如索末菲利用旧量子论得到的相对论的氢原子能谱精确。1928年，狄拉克利用相对论中的爱因斯坦质量—能量关系，提出了相对论的狄拉克方程[23]：

或：

方程中的符号，αn和β以及γμ都是矩阵，而非一般常数，波函数ψ也从薛定谔方程中单分量被推广到多分量的。狄拉克方程满足量子力学和相对论中的所有基本原理，是量子论和相对论的完美结合。有人曾说狄拉克其实只是对爱因斯坦的质能关系E2=p2c2+m2c4做了一个因式分解，
，但狄拉克矩阵的引入，和矩阵算子与物理观测量之间的联系，在当时是非常规操作，需要极深的物理洞察力和数学功底。这个方程成功解释了电子自旋的来源，并可以给出氢原子光谱的精细结构。这个方程提出后仍然遭到众多的质疑，其中之一就是它的负能量解。狄拉克起初将它解释为带有正电荷的质子的解，后来才用它解释了带正电荷的正电子。狄拉克对自己的方程非常自信，这么优美的数学方程怎么可能会是错的呢？如果错的话，也只是我们还没能理解它所代表的物理含义。只要方程正确了，正确的解释最终总会到来的。后来发展也的确证明了这一信念。正是这个备受质疑的负能量解，开创了正负粒子和反物质等基本粒子的研究方向。所以说，狄拉克是一位能品出物理数学公式之优美的人。当然，这也导致了他对后来的量子电动力学中过于复杂的计算有所保留，而自己没能力再发现一个简单的方程，遗憾终身。

狄拉克方程的重要性，远远超出了包括他本人在内的当时所有物理学家的预期，除了电子，它可以描述所有自旋1/2的有质量粒子，比如粒子物理标准模型中的夸克(它是物质最基本的一种组成成分)。狄拉克方程是现代物理学最重要的方程之一。狄拉克方程这一成就，让狄拉克可以比肩牛顿、麦克斯韦和爱因斯坦，成为历史上最伟大物理学家之一。狄拉克方程影响深远，在不同物理领域有着广泛的应用，一直延续至今。除了在高能物理和基本粒子的应用，它在现代凝聚态物理中也有广泛应用，例如源于狄拉克方程的相对论量子力学效应——自旋轨道耦合，为用电场操控电子自旋状态提供了一种途径，现已是自旋电子学的基础，为设计下一代半导体电子器件开辟了方向[24]。我在2012年发表了学术专著《拓扑绝缘体》，副标题就是“狄拉克方程在凝聚态物理中”。利用狄拉克方程，可以系统地描述拓扑绝缘体和拓扑超导体的物理性质[25]。2022年我提出的具有半整数量子霍尔效应的宇称反常半金属，其实也是无质量狄拉克粒子的一个内禀属性[26]。

狄拉克方程后来刻写在伦敦威斯敏斯特教堂牛顿科学角的纪念狄拉克的地牌上(图5)。学物理的和研究物理的同行到了伦敦，都爱去瞻仰一下，表示自己的崇敬。我认识的朋友中，就有好几位在微信朋友圈里展示过相关的照片。

图5 作者在伦敦威斯敏斯特教堂狄拉克纪念牌前(2024年6月26日)。上面刻有狄拉克方程iγ·∂ψ=mψ

08

狄拉克—费曼路径积分：量子力学的第三种形式

路径积分是量子力学的另一种形式。在时空起始量子态之间传播子可以写为所有路径的变分[27，28]：

其中(xi, ti)和(xf, tf)为起始的时空量子状态，L为经典的拉格朗日量。这个方程是狄拉克在1933年发表于前苏联一个新办的《苏维埃物理学杂志》上的一篇“小文章”[26]，他那时受前苏联物理学家卡皮查的影响，思想颇为左倾，以此表示对新兴苏维埃物理学的支持。物理上，可以说狄拉克是个保守的革命者，他认为新的量子力学应该可以从旧的经典力学延伸过来。这个工作是他的一个尝试。拉氏量是经典力学的核心概念，由最小作用量原理，可以确定粒子的运动轨迹，推导出牛顿的运动方程。狄拉克认为时空中的起始状态间的传播子，也是由经典的拉氏量来决定，把普朗克常数ℏ作为作用量的单位，可以清晰地定义经典到量子力学的界面。由于对于经典粒子来说，ℏ是个极小的量，任何对经典轨道的偏离，会引起巨大的相位涨落，引起整体相消，它的运动轨迹只能由经典的拉氏方程决定；而对微观粒子来说，ℏ提供了一个量子涨落的尺度，则由薛定谔方程来决定。同样，没人知道狄拉克当时是怎样想到这个关系式的，神来之笔。这是他在1933年量子力学形式理论尘埃落定后，又开辟的一个新方向。

直到16年后，1948年美国物理学家理查德⋅费曼在《现代物理评论》上发表了名为“非相对论量子力学的时空方法”的文章[28]，进一步完善了这个理论。费曼从这个公式中推导出了薛定谔方程，表明它和量子力学的等价性，同时也赋予路径积分更深刻的物理含义。这个理论在后来的粒子物理和量子场论中得到了广泛应用，常被称为费曼路径积分，成为理论物理学家的一个基本的研究手段。这篇文章2025年入选了美国物理学会的物理期刊的《量子基础选集》(Quantum Foundations Collection)。不过，它的原创性还应该是狄拉克的，在狄拉克的量子力学教科书中也提到了这个关系。费曼的文章中的第一个引文，就是狄拉克的文章[27]和量子力学教科书[21]，他应该是读过狄拉克的文章的。费曼一直很自负的，当他和狄拉克见面后，沉默寡言的狄拉克问了一句，“我有一个方程，你有吗？”，让费曼立刻觉得自己和狄拉克的差距，他最拿手的路径积分也是源于狄拉克的“小文章”。后来，费曼因量子电动力学和粒子物理的贡献获得1965年诺贝尔物理学奖。

09

1927年索尔维会议：胜利的大会

1927年10月的索尔维会议，主题是“电子和光子”，主要讨论量子论的发展现状。这是物理学史上的一个重要会议，它标志着量子力学正式得到学界的认可，是个团结和胜利的大会(图6)。会议只安排了五个口头报告：

(1)威廉⋅布拉格(W. L. Bragg)：Ｘ射线反射强度(The intensity of X-ray reflection)；

(2)康普顿(A. H. Compton)：实验和电磁理论的不一致性(Disagreements between experiment and electromagnetic theory)；

(3)路易⋅德布罗意(L. de Broglie)：量子的新动力学(The new dynamics of quanta)；

(4)玻恩和海森伯：量子力学(Quantum mechanics)；(这个报告包括对变换理论的讨论，狄拉克的电磁场量子化，约当的二次量子化理论。)

(5)薛定谔：波动力学(Wave mechanics)。

图6 1927年索尔维会议参加者的合影，布拉格缺席。青年狄拉克居于中心位置

会议是邀请制，而量子力学的一个主要贡献者约当并不在邀请之列。约当的政治立场可能也是让他对创立量子力学的贡献没有得到应有认可的原因之一，甚至可能也连带影响他的导师玻恩。从报告的安排来看，两个实验报告分别是英国物理学家布拉格的X光反射和美国物理学家康普顿的电子衍射实验，都与粒子的波动性有关。理论方面的报告是，德布罗意的量子论，玻恩领头的矩阵力学和薛定谔的波动力学。这也基本上和前面介绍的几个基本方程所涵盖的内容相一致。量子力学的名称是玻恩1924年首先提出的，他占了先机，薛定谔只好继续用波动力学的题目，好在两者是等价的。至此，量子力学基本成型，流派也非常清晰。新生的量子力学也遭到一些质疑，最主要的质疑集中在波函数的统计诠释和量子力学的完备性方面，但它的正确性应该是毫无疑问的。这个会议最后给人留下印象更多的是一直被渲染至今的爱因斯坦和玻尔之间的激烈讨论，而量子力学几个主要创立者似乎都隐身了，大有喧宾夺主之疑。老实说，我更相信这几位主要创立者们对他们自己创立的新理论有更深刻的理解和认识。就在这次会议之后不久，年轻的狄拉克发表了他的相对论量子力学，开辟了量子力学、量子场论和基本粒子研究的新方向，引领了量子物理的发展。

然而6年后的1933年，诺贝尔奖委员会宣布将1932年物理学奖授予海森伯，1933年物理学奖授予薛定谔和狄拉克。这个结果完全改变了人们对量子力学创立这段历史的认识，将海森伯推到矩阵力学的唯一创立者的地位，创造了一个不懂矩阵的人可以创立矩阵力学的神话，一直影响至今。它完全无视了玻恩和约当在矩阵力学创建中的关键作用。而在这一年，德国纳粹上台后，玻恩作为犹太人被迫“自愿”离职，离开了哥廷根大学和德国，有趣的是居然还收到了元首希特勒的签名感谢函，他先后流亡到英国和印度，最后接受了英国爱丁堡大学的教职，重新安定下来。在那里，他为中国培养了两位“两弹元勋”——彭桓武和程开甲，其实他也是美国原子弹之父奥本海默的博士导师，氢弹之父爱德华⋅泰勒的导师，是真正的全世界“原子弹之父”之父。中国半导体物理泰斗黄昆，则将玻恩的讲义整理出了一本固体物理经典教材。而作为他学生和助手的约当，当年积极参加了纳粹，但是他还有良知，并没有参加所谓“德国物理学”运动，也没有抵制由爱因斯坦和玻恩等犹太物理学家发展的量子物理学，在二战后继续从政，成为了联邦德国的保守党议员。

第二次世界大战后，经历过战争痛苦的玻尔在总结量子力学发展这段历史时，似乎意识到这个结果对玻恩不公平，于1950年和1952年连续两次提名玻恩。此外，玻恩的前同事詹姆斯·弗兰克(1925年的诺贝尔奖得主)和学生恩里科·费米(1938年的诺贝尔奖得主)也多次提名他。终于于1954年玻恩在72岁高龄时被授予了诺贝尔奖，公开肯定了他对量子力学的杰出贡献，特别是几率波统计诠释。这个诠释当时是玻尔为首的量子力学哥本哈根学派的核心内容，而玻恩本人并不属于这个学派，如果不给玻恩应有的认可，这确实是有点说不过去。将不确定性引进量子力学和物理世界，无论从对易关系还是几率波诠释，玻恩都是第一人。至于约当的贡献被完全无视了，没有机会和玻恩共享殊荣。

10

几点思考与小结

在量子力学建立过程中，一个显著特色是正确的物理数学方程持续推动发现新的物理和建立新的量子理论。黑体辐射的实验数据对普朗克公式提供强力支持，导致发现了普朗克物理常数，开启了量子物理的革命。在长达25年的探寻过程中，普朗克公式对光子概念形成、玻尔氢原子模型和量子统计的建立，起了决定性的作用。薛定谔方程和狄拉克方程同样是先有方程，后有正确的解，然后才有正确的物理。薛定谔方程氢原子的解，为方程的正确性和合理性提供了保障。几率波的统计诠释使波函数和物理测量之间建立了联系，为量子力学的最后建立提供了坚实的基础。狄拉克方程的负能量解，起初同样被认为是非物理的，但最后为正电子的确认提供了理论基础，并且开创了粒子物理的研究方向。狭义相对论中，也是先有洛伦兹变换，然后才有光速不变原理和狭义相对论的时空观。这个应该是革命性理论产生的一种科学范式。

玻尔原子模型和半经典量子理论在量子力学的建立过程中起了非常重要的作用，特别是玻尔将原子能级和光谱这两个看似完全无关的物理量联系在一起，这是革命性的。理论公式和实验观测结果的精度达到了空前的一致。轨道角动量量子化和玻尔—索末菲量子化条件为能量量子化提供了一个直接的图像，在建立量子力学基本对易关系过程中起了重要作用，但这些理论都只是过渡性质的。量子力学建立后，旧的量子理论也就完成了自己的使命，渐渐地退出历史舞台，被新的量子论取代。

量子力学的发展过程中充满了哲学思辨，特别是当问题并不清晰时。原子论的发展有近千年的历史，到20世纪初基本达到了一个共识，物质由原子组成，而原子由原子核和电子组成。普朗克公式和普朗克常数的出现，让哲学的思辨，转化成定量的研究，对普朗克公式的理解，直接导致了光的粒子特性的发现。这是正确的数学公式展现出的强大力量。德布罗意的关系式，动量与波矢的关系，又将光的波动性质联系起来。德布罗意将这个关系推广到一般的粒子，是量子力学发展的一个里程碑，直到导致薛定谔方程的建立。当方程建立后，科学哲学的思辨最终有了可靠的依托，最终都可以转换成能被物理实验检测的思想，如果不能的话，就不是科学了。

量子力学经过了一百年的发展，大浪淘沙，这里介绍的几个方程都是我们教科书中大家熟悉的面孔，经受了时间的考验，可以概括为量子力学的主要支柱，用以理解至今所发现的量子物理现象。

每个方程都是一座丰碑，都和一个伟大的名字联系在一起。

参考文献

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