含参必有“鬼”（轨），捉“鬼”（轨）先消参，解一道含参压轴题

2025-2026学年江苏省扬州市邗江区

八年级（上）期末数学试卷第18题

18．已知，在平面直角坐标系中，点P（3m+3，4m﹣4）在第一象限，若点P关于直线l对称的点总在x轴正半轴上，则直线l的函数表达式为_______．

此题关键问题有两个：

1、要知道点P（3m+3，4m﹣4）的运动轨迹是什么？含参点坐标都有一定的运动轨迹。

2、如何求出直线l函数表达式？

问题1：运动路径是什么？

方法1：令m=0，m=1时分别得到两个点P1（3，4）、P2（6，0），根据待定系数法可求出经过两点的直线函数表达式：,把P点横坐标3m+3代入得到纵坐标为4m-4，说明任意一点P都在直线上，所以P（3m+3，4m﹣4）的运动轨迹是一条直线。

方法2：可以利用全等或相似证明任意三点共线

通过两个三角形全等对应角相等最终得到∠1+∠2=90°，所以∠P0P1P2=180°

所以P0、P1、P2三点共线，可得直线

通过两个三角形相似对应角相等最终得到∠1+∠2=90°，所以∠P0P1P2=180°

所以P0、P1、P2三点共线，可得直线

方法3：令x = 3m+3, y = 4m-4，消去参数m可得y与x之间的函数关系：，所以在一条直线上运动。（方法3为通解通法）

方法4：高中知识斜率解释，P（3m+3，4m﹣4）可以看成P（3，﹣4）向右每移动3m个单位，同时向上移动4m个单位，也就是移动的方向是一致的，所以在一条直线上运动。

问题2：如何求出直线l函数表达式？

方法1：根据题意，直线l为∠PBP的角平分线l，反向延长角平分线交y轴于点D，具体解法如图所示，答案为

方法2：在已知点P的运动轨迹直线(x≥6）

取特殊点P2（9，4），求出特殊点P2的对称点P2'（11，0），再利用中点坐标公式求出点Q(10，2），最后求出直线l函数表达式(x≥6）

方法3：类似方法2，在P1的基础上表示出P2（6+3m,4m），可得P1P2=5m, 所以P2'（6+5m,0），再根据中点坐标公式得到Q（6+4m,2m），令x=6+4m, y=2m 消去m得到直线l的函数表达式为(x≥6）