BIMSA 研究员冯琦《元数学基础》三卷本出版

《元数学基础》

该书所涉及的是数学和元数学的基础问题，旨在以明确的、具体有限的基本版图作为出发点，建立严格的元数学形式理论体系，以期实现对弗雷格 “第三领域” 以及哥德尔 “概念王国”的一种恰当解释。

近日，北京雁栖湖应用数学研究院（BIMSA）研究员冯琦的学术著作《元数学基础》三卷本正式出版。

在本书前言中，冯琦将讨论起点追溯至一个贯穿西方思想史的根本问题：系统性确保理性思维正确性的基本原理究竟是什么。自亚里士多德以来，这一问题始终是形而上学与逻辑学关注的核心；当其被限定在数学范围之内，便形成了经典的“数学基础问题”。

自弗雷格、佩亚诺、怀特黑德与罗素、希尔伯特、策梅洛等学者以来，数学基础研究围绕着数学的基本原理、其构成方式以及可靠性持续展开。然而，在数理逻辑与集合论的发展过程中，一个长期存在的张力逐渐显现：形式化数学理论的建立，往往仍需依赖直观的、非形式的元理论作为出发点。

《元数学基础》正是在这一背景下展开其理论工作。作者认为，关键不在于回避弗雷格法则，而在于将其作为具体、可操作的“工具与方法”加以解释。在限定于具体、有限范围的条件下，数学归纳法与递归定义可以被理解并实施为算法；而在即将跨越边界之时，则明确终止算法的执行。

在此思路下，本书将弗雷格（1879）提出的数理逻辑基本法则，与策梅洛（1908）对康托尔朴素集合论的公理化工作，以及弗伦克尔（1922）的补充理论加以系统整合，形成作者提出的 CFZFC 理论框架( Cantor–Frege–Zermelo–Fraenkel–Axiom of Choice )。这一框架尝试在不诉诸语义解释的前提下，以具体、有限的逻辑工具与集合论公理，建立元数学形式理论本身。

《元数学基础》共分三卷，循序推进上述理论构想:

第一卷聚焦纯粹而具体的“有限性”理论，完成两项基础性工作：一是在一个具体、有限的字符表上，详细解释并严格论证全书所使用的集合论语言下一般性、确保正确性的具体工具和方法；二是逐步引入集合论语言下的基本公理与基本概念，并在此基础上，对“有限性”“自然数”以及“基本算术律”作出形式化解释。

第二卷在此基础上建立基本实在无穷的具体形式理论，引入第一无穷公理，明确其对于“自然数”标准表示问题的形式解答，构建彻底有限集合的论域，并为完整形式理论概念文字的建立奠定基础。

第三卷则完成元数学形式理论 CFZFC 概念文字的系统建构：利用彻底有限集合的资源建立一阶逻辑形式系统与元数学基本概念；在集合论形式理论框架下实现一阶逻辑的形式语义解释，形式化表述塔尔斯基真实性定义并引入哥德尔完备性定理；完整建立 CFZFC 概念文字形式理论，并在这一新的概念文字系统中，进一步探讨逻辑哲学中的“逻辑真理”定义问题。

作者指出，《元数学基础》需要论证的结论本身多为众所周知的简单而基本的事实，但对这些结论的机械形式论证则必然是细致而冗长的。因此，作者特别提醒读者，在阅读冗长、机械而严密的形式证明时，需要保持一种耐心而审慎的态度。

对于有意系统学习数理逻辑的学生而言，本书汇集了大量具体而实际的形式演绎推理实例；对于有意探讨数学定理机器证明的读者而言，书中亦蕴含着一系列可供分析的演绎推理算法。作者相信，《元数学基础》将成为数学、计算机科学乃至哲学领域年轻学者的有益参考，对于关注数学基础、数理逻辑、数学定理机器证明以及人工智能相关问题的读者而言，书中提供了丰富而具有启示意义的材料。

作者 - BIMSA研究员冯琦

研究方向为数理逻辑、公理化集合论及无穷组合理论。在实数集正则性领域与Magidor、Woodin合作完成奠基性工作，与Jensen合作构建复杂内模型理论，在大基数与印证原理研究中取得系列突破，并与Woodin合作推进连续统假设研究。出版《数理逻辑导引》、《集合论导引》、《元数学基础》等教材。曾任国际符号逻辑协会东亚分会理事长及理事、中国科学院数学研究所副所长。1977年考入哈尔滨工业大学计算机科学系，1988年获宾州州立大学博士学位。1990年赴新加坡国立大学任讲师，1998年任中科院数学所研究员。2004-2007年执教清华大学数学系，期间参与数学院-新加坡国立大学-加州伯克利分校联合培养项目，曾担任德国柏林洪堡大学Mer Cator客座教授。2000年获国家杰出青年科学基金，2003年入选中科院百人计划，2017年获北京市教学名师奖。

本文转自：北京雁栖湖应用数学研究院。

（本文编辑：刘四旦）

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