玩转九宫格，容易得很，就是分分钟的事！

三阶幻方问题，或者称为九宫格问题，对思维能力的发展和提升有着多种帮助，所以大人小孩都爱玩。很多人把此类问题当成了一种游戏，越玩越上瘾。

我说“玩转九宫格很容易”，是有根据的。所有三阶幻方问题，归纳起来，可以用两个“简单”来说明。

第一，类型简单。

按解题方法分就两类：数列法和数位法。

所谓数列法，就是从数列着手分析问题，用口诀法解决问题；所谓数位法，就是从各个数所处的位置着手分析，利用黄金三角形、重叠空格法、幻和法等解决问题。

第二，解法简单。

数列法，只要根据题目要求，把九个数列出符合条件的数列，按照口诀法填上数就行了。

数位法，只要利用黄金三角形法或者重叠空格法作为突破口，再利用幻和法补充填完剩下的格就行了。

为了更清楚的说明两个“简单”，

下面通过几个实例，进一步说明一下。

特别声明一下，为了便于初学者好懂，文中叙述部分较直白，举例较多，篇幅有点长，请友友们耐着性子看完，保你收获满满。[加油][加油][加油]

第一类——数列法。

九宫格中，符合横、竖、斜三个方向上三数和都相等的九个数，所成的数列都属于三段两公差。

由此可见，凡是符合三段两公差这个条件的九个数，按照一定的规律填九宫格，就一定符合要求。这个常用的规律，人们总结成了口诀，即“二四为肩，六八为足，上九下一，左七右三，五居中央。”如图所示

当然，由于九宫格既属于轴对称图形，又属于中心对称图形，所以把九宫格旋转90°、180°、270°，或者上下对调，或者左右对调，所构成的九宫图同样适用。所谓“Z“字法和“反Z”字法，都属于此类情况之一。

【例题1】把下面九个数1、4、5、7、8、9、11、12、15填入九宫格中，使每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等。

解析：现有的数列不符合要求，需要重新按三段两公差的顺序排列，这就是该题的突破口。

把上面的九个数按段内差为3，段间差为-2重新排列，可得到符合要求的数列1、4、7、5、8、11、9、12、15，然后按照口诀法填入九宫格中即可。

上面的九个数还可以按段内差为4，段间差为-5重新排列，可得到符合要求的数列1、5、9、4、8、12、7、11、15，然后按照口诀法填入九宫格中即可。

【例题2】如图所示，是利用口诀法完成九宫图的部分内容。用不同的自然数补全空白格，满足①段内差和段间差的比为1:2；②每一横行，每一竖列，每条对角线上的三个数的和均相等。

解析：图中30、32分别是第七位数和第九位数，所以段内差是1。因为段内差和段间差的比为1:2，所以段间差是2。由此可知，按照题目要求列出符合要求的数列，就是该题的突破口。

解：符合要求的数列是22、23、24、26、27、28、30、31、32 ，按照口诀法将九个数填入九宫格中，答案如图所示。

【例题3】如图所示，是利用口诀法完成九宫图的部分内容。用不同的自然数补全空白格，满足①九数之和最小；②每一横行，每一竖列，每条对角线上的三个数的和均相等。

解析：图中30、32分别是第七位数和第九位数，所以段内差是1。要满足九数之和最小，最小数应取最小的自然数0。故此数列的段内差是1，段间差为13。

解：根据题意，符合要求的数列为0，1，2，15，16，17，30，31，32。

按照口诀法将九个数填入九宫格中，答案如图所示：

【例题4】在下面的九宫格中，再填入七个不同的自然数，要求①九个数都是两位数；②九个数的和最小。③每行、每列和每条对角线上的和都相等。

解析：本题要求都是两位数，还要求总和最小，这就必须让48是最大数，而最小数取10。有了最大数和最小数，就可以算出中心数是29，幻和是87。

此题看起来复杂，其实很简单，利用口诀法、黄金三角形法、重叠空格法、幻和法都可以找到突破口。

如果从口诀法着手分析，第一位数是10，第五位数是29，第六位数是36，第九位数是48，那么符合要求的数列的段内差是7，段间差为-2，符合要求的数列为10、17、24、22、29、36、34、41、48，按照逆时针旋转90°的九宫图填入数据，

所得答案如图所示

第二类——数位法。

在三阶幻方中，九个数所对应的九个格，一般称其为数位，这些数位可以分为角格、边中格和中心格三类，并各有其特点。

角格对应的数是二、四、六、八，又称为角数；边中格对应的数是一、三、七、九，又称为边中数；中心格对应的数是中心数五。

在三阶幻方中，九个数位之间有如下规律：

第一，每一行，每一列，每条对角线上三个数的和都相等，这个和叫幻和。

幻和等于中心数的三倍，或者说中心数等于幻和的三分之一。

中心数还等于相对两角数和的一半，还等于相对两边中数和的一半。

根据这个特点，就有了一个常用的解题方法——幻和法。

另外，在幻和法的基础上，又衍生出了重叠空格法。所谓重叠空格法，就是横竖斜三线中，任意两条有重叠的空格，并且另外四个格中有三个数 ，那么第四个格中的数就可以求出，因为每条线上剩下的两个数的和是相等的。

第二，角数与相对的斜二格上的两个数，组成黄金三角形，角数等于斜二格两数和的一半。

根据这个特点，就有了另一个常用的解题方法——黄金三角形法。三个格中，只要有了两个数，就可以求出第三个数。

数位法中的三种方法，一般情况下，都是先利用黄金三角形法或者重叠空格法作为突破口，先填入部分数，再利用幻和法填完剩余的格。

之所以选黄金三角形法或者重叠空格法为突破口，是因为这两种方法都是用两数的和减去一个数，计算比较简单。而幻和法是利用幻和，减去两个数的和，再求得差，计算难一点。

上面的例题4，除了用口诀法解答以外，还可以用数位法解答。

根据例题4题意，由“九数都是两位数，且九数之和最小”可知，48一定是最大数，与其相对的边中格是最小的两位数10，并由此进一步得出“中心数”是29，如下图所示。

在九宫格中，四个格中有了确定的数，并且知道了中心数是29，一般用数位法解答更简便。

第一种解法——先利用黄金三角形法填入一部分数，作为突破口，再利用幻和方收官。

第一步，利用黄金三角形法，依次求出上中格的24和左下角格的17。

第二步，利用重叠空格法或者幻和法完成填图。

第二种解法——先利用重叠空格法填入一部分数，再利用幻和法收官。

第一步，利用重叠空格法，依次求出求出左下角的数17，上中格的数24和左上角的的数22，如图所示。

第二步，利用幻和法分别求出上中格的数24和下中格的34。答案如图所示。

【例题5】在如图所示的九宫格中，填入不相同的自然数，使每一行、每一列、每一条对角线上三个数的和都相等。

解析：此题九宫格中已经有了三个确定的数，首先要再填入中心数13。

九宫格中已经确定了多个数，一般都要考虑用数位法。

第一种解法，利用黄金三角形法作为突破口，然后再用幻和法收官。

第一步，利用黄金三角形法，依次求出左上角和左下角的两个数。

第二步，利用幻和法依次求出剩下的数。答案如图所示

【例题6】在如图所示的九宫格中，填入不相同的自然数，使每一行、每一列、每一条对角线上三个数的和都相等。

解析：首先填入中心数29。

九宫格中已经有了多个数后，一般利用数位法解答更简便。

第一种解法，先利用黄金三角形法作为突破口，再利用幻和法收官。

第一步，利用黄金三角形法，依次求出下中格的34和左上角的22。

第二步，利用幻和法依次求出余下的数，答案如图所示。

第二种解法，先利用重叠空格法作为突破口，再利用幻和法收官。

第一步，利用重叠空格法依次求出

左上角的22，下中格的34和左下角的17。

第二步，利用幻和法完成余下的两个格数。答案如图所示

【例题7】在如图所示的九宫格中，填入不相同的自然数，使每一行、每一列、每一条对角线上三个数的和都相等。

解析：图中已有三个数，一般都能利用数位法解答。

第一种解法，利用黄金三角形法作为突破口，再用幻和法收官。

第一步，利用黄金三角形法填入左下角数75，和下中格的数76。

第二步，填上中心数74。

第三步，利用幻和法依次求出剩下的数，答案如图所示。

第二种解法，先利用重叠空格法作为突破口，再利用幻和法或者黄金三角形法收官。

第一步，利用重叠空格法填入依次求出右下角的71、左中格的70、下中格的76。

第二步 ，填入中心数74。

第三步，利用幻和法或者黄金三角形法完成填图。

【例题8】在如图所示的九宫格中，填入不相同的自然数，使每一行、每一列、每一条对角线上三个数的和都相等。

解析：九宫格中已经有了三个数，一般利用数位法解答更简便。

第一种解法，先利用黄金三角形法作为突破口，再利用重叠空格法和幻和法收官。

第一步，先填入中心数10。

第二步，利用黄金三角形法，求出上中格的18。

第三步，再利用重叠空格法和幻和法完成剩下的任务。

第二种解法，先利用重叠空格法作为突破口，再利用幻和法收官。

第一步，先填入中心数10。

第二步，利用重叠空格法依次求出右上角的8和下中格的2。

第三步，利用黄金三角形和幻和法完成剩下的任务。

小结：例题5～例题8，九宫格中已有三个或者以上确定的数，只是数的位置不同，说明凡属于有多个数确定的九宫格题，都能利用数位法解答，使解答更简便一些。

利用数位法解答问题，各式基本是固定的：先利用黄金三角形法或者重叠空格法作为突破口，再利用幻和法收官。

希望这篇文章，能给友友们带来点帮助！