一生穷困潦倒，26岁早亡，他却让数学家忙碌上百年

本文是挪威数学家 Øystein Ore为《科学家传记辞典》（Dictionary of Scientific Biography）撰写Abel的传记条目，他1957年出版的Niels Henrik Abel: Mathematician Extraordinary被公认为是了解阿贝尔的经典之作。这篇传记条目则是Abel生平的高度浓缩，包括Abel最重要的成就，也用冷静的笔触描绘了他贫困、疾患，被法国科学家忽视的经历。

“Abel 留下的工作，足够让数学家们忙碌500年。”

——Charles Hermite

撰文 | Øystein Ore

翻译 | 冯绪宁

Niels Henrik Abel（1802-1829）

Niels Henrik Abel 1802年8月5日生于挪威的 Finnoy (Stavanger附近的一个小岛)，1829年4月6日死于挪威的 Froland。

Abel 的祖父和父亲都是路德派牧师。他的父亲 Soren Georg Abel 是一个有才能、有抱负的神学家。受教育于哥本哈根大学——当时丹麦—挪威联合王国中仅有的一所高等学府。Abel 的母亲 Ane Marie Simonson 是南海岸Risor 城一个富商和船主的女儿。Abel 牧师的第一个教区是 Finnoy，这是一个由几个小岛组成的忙忙碌碌的小地方。Abel 夫妇生了七个孩子：六个儿子和一个女儿。Niels Henrik 是他们的第二个孩子。1804年，Soren Geory Abel 作为继承人接替了他父亲在 Gjerstad（在Risor附近）教区的职务。当时挪威的政治局势很紧张。由于和丹麦的联盟，挪威不得不站在法国一边投入拿破仑发动的战争。英国封锁了挪威的海岸，造成了广泛蔓延的饥荒。Abel 牧师在民族运动中表现杰出。他为了日后的独立，便致力于建立挪威自己的一些机构，特别是建立一所大学和一个国家银行。Kiel 和约签订之后，丹麦将挪威割让给瑞典，挪威人对 Bernadotte 领导下的瑞典发起武装反抗并起草出自己的宪法，但很快就战败了，他们不得不接受休战条约，和瑞典并成联邦。1814年秋，Abel 的父亲成为临时议会的议员，奉命对新宪法进行必要的修订。

Abel 和他的弟兄们的启蒙教育得自于他们的父亲。1815年，Abel 和哥哥被送进奥斯陆的 Christiania 教会学校。这是一个老学校，本省很多官员过去都送自己的子女到这个学校，有的人还可以得到奖学金。Christiania 教会学校曾经是个很不错的学校，但在这时由于不少好的教师都接受了在1813年新成立的大学的聘请而离开了，因此学校显得萧条冷落。Abel 离开家时只有十三岁，看来是家道的逐渐变坏促使他更早离开。最初两年，他的功课还算满意，但后来成绩下降。他哥哥情况更糟，开始显现出智力缺欠的迹象，最后只好被送回家去。

1817年，学校里发生的一件事改变了 Abel 一生的命运。数学老师虐待一个小学生，在一次残酷惩罚之后，这个学生很快死了。这个老师立刻被解雇，由 Bernt Michael Holmboe 接任。Holmboe 只比 Abel 大七岁，他也是Christoffer Hansteen 的助教，后者是个天文学教授，大学里的一流科学家。

很快，Holmboe 就发现了 Abel 不寻常的数学才能。起初，他给Abel一些数学题并推荐一些课外参考书。然后，两人一起学习 Euler 的微积分教科书，后来再一起学习法国数学家特别是 Lagrange 和 Laplace 的著作。Abel的进步十分神速，很快他成了实际上的老师。从奥斯陆大学图书馆中所保留的笔记中人们可以看出，这时的 Abel 已经对代数方程论有浓厚的兴趣，在他毕业时，他已经熟悉了大多数重要的数学文献。Holmboe 对自己所发现的数学天才是这样喜爱，以至于学校的校长让他克制一下在成绩簿中关于 Abel 的评价。然而大学的教授们已经由 Holmboe 处了解了这个有前途的少年并且结识了他。在大学中，Hansteen 也教应用数学。除了他以外，只有一个数学教授 Soren Rasmussen，他原来是教会学校的老师。这是一个好人，但不是多产的学者，因为他的大部分时间都被由政府派给他的事务所占据，特别是挪威新银行经理这一职务花去了他很多时间。

Abel 在学校最后一年时间里，以初生牛犊不怕虎的姿态猛攻着五次方程的根式解的问题。这个问题从十六世纪前半叶，del Ferro，Tartaglia，Cardano及 Ferrari 等人的时代以来一直很著名。Abel 自信他已经找到了方程解的形式，但在挪威没人能懂得他的证明过程，也没有一个科学刊物可以出版它。Hansteen 把这文章寄给丹麦数学家 Ferdinand Degen，请求他是否可由丹麦科学院出版。

Degen 没有发现文章中的任何错误，但要求Abel用例子解释他的方法。Degen 觉得在这个题目上可做的文章不多，建议Abel将注意力转到另一个题目：“我主张搞椭圆函数，它的发展将对分析及力学有重大影响。有适当资格搞这类研究的人绝不仅仅局限于这种最值得注意的函数的美妙的性质，而是能够发现一个通向广大无垠的分析海洋中的麦哲伦海峡”（给 Hansteen 的信）。

Abel 开始构造一个五次方程解的例子，但结果，他狼狈地发现自己的方法是错误的。另一方面，他接受了 Degen 关于搞椭圆函数的建议，大概在不多几年内他就基本完成了他关于椭圆函数的理论。

Abel 牧师在1816年曾经历了一次失败的竞选，但1818年他又重被选入了议会。然而，他的政治生涯结束得很悲惨。由于他对其他代表进行了激烈而又无根据的指控，从而受到弹劾的威胁。这些，再加上酗酒，使他成为报界嘲笑的对象。他带着耻辱回家，梦想都破灭了。他和妻子又都酗酒，作为自己所在教区的牧师来说，这又是一件丑闻。因此人们普遍认为他在1820年的死去是一个解脱。他的遗孀被留在十分窘迫的状况里，一笔微薄的年金无法维持她及其众多子女的生计。

分文不名的 Abel 在1821年秋进入了大学。他在学校宿舍得到一间免费的房间，并获准让他的弟弟Peder与他同住。这所新大学没有奖学金，一些教授用自己的薪金支持这个年轻的数学家，这是很不平常的举动。Abel 成了这些教授家的座上客，特别为 Hansteen 的家及他的妻子和妻妹所吸引。

Abel 在大学的第一个任务是达到最初等的学位，一年后这个任务一完成，他就全靠自己来学习了。这里没有高等数学和物理课程，然而看来这也并非是坏事。稍后些，在一封从巴黎的来信中，Abel 说他实际上已经读了数学中的所有东西：重要的和不重要的。

Abel 把自己的时间都用来搞进一步的研究。这时 Hansteen 开始出版一个刊物：Magazin for Naturvidenskaben，这又给了 Abel 以强大的动力。1823年，这个刊物出版了Abel第一篇用挪威语写的关于函数方程研究的论文。这篇论文及下一篇短文，在数学上不是太重要。那时，读者们被允许公开评论他们的杂志。大概在遭到一些非议之后，Hansteen 感到有必要为 Abel 的文章的性质作些讲解：“我相信《杂志》除了提供科学索材之外还应该进一步提供用于分析这些素材的工具，现在我们已经给博学的公众一个机会去认识一个有才能、有技巧的作者的著作，这将被认为是我们的光荣。”

Abel 的下一篇文章在数学史上很重要，它的题目是《用定积分解某些问题》，这是第一次解积分方程，文章讨论的是质点在重力作用下在一个曲线上运动的力学问题。此文在当时未引起人们的注意，部分原因大概是因为它是用挪成文写的。在1822一1823年的冬季，Abel 还写了一篇关于函数表达式的积分的长篇论文。这篇文章被提交给大学委员会，希望它能支持文章发表，现在手稿已经找不到了，但看来可能其中的某些结果包括在Abel后来的一些文章中。1823年初夏，Abel 从 Rasmussen 教授那儿得到一笔资助，用作旅费到哥本哈根去会见 Degen 及其他数学家。他从哥本哈根写信给 Holmboe，告诉他自己得到的数学上的启示，他住在他叔叔家，并在这儿结识了 Christine Kemp，他的未婚妻。

从返回奥斯陆的归途开始，Abel 重新考虑起五次方程解的问题。这次他采取了相反的观点，并取得了成功。他证明了一般的五次以上的代数方程不可能有根式表达式的解，从而解决了几个世纪以来的老问题。Abel 深知他的结果之重要，决定自己出经费，由一个地方出版商出版它。为了有更多的读者，他用法语写这篇文章，题为“Memoire sur les equations algebriques ou on demontre I'impossibilitede la resolution de 1'equation generale du cinquieme degre”。为了节省开支，这个小册子被压缩到六页。叙述之简化，大概使它变得十分难懂。总而言之，从任何一位外国数学家那儿都没有得到反应，包括伟大的 Gauss一一Abel 也寄了一份给他。很清楚，Abel 不能再靠教授们养活他。他的经济困难由于和 Christine Kemp 订婚而变得更严重。眼下 Christine 已经到了挪威，在奥斯陆附近做家庭教师。Abel想申请经费出国。在经过一段拖延后，政府决定 Abel 可以得到一笔小小的薪金，在大学里学习两年语言，以备出国旅行。这样，Abel 得到了600台拉（Daler）。

Abel 对于出国被延期感到很扫兴，但他还是很守本分地学习外语，尤其是法语。同时在这段时间他写了数量可观的一批论文，打算给外国数学家看。1825年夏，他和四个朋友一起离开挪成。这四个人也是打算将来从事科学事业的，后来一个成了医学教授，另外三个是地质学家。这几个人都打算去柏林，而按照 Hansteen 的劝告，Abel 这段时间应该去巴黎——当时的世界数学中心。但Abel不愿意孤单一人，便也决定去柏林，尽管他十分了解这可能会引起他的保护人的不快。

其实，Abel决定去柏林是很幸运的。在途经哥本哈根时，Abel 听说 Degen 已经去世了，但 Abel 从另一个丹麦数学家那儿得到一封推荐信，将他介绍给德国枢密顾问官 August Leopold Crelle。此人是一个很有影响的工程师，自己虽不是个很强的数学家，但对数学有浓厚的兴趣。

当第一次被引见给Crelle时，Abel没有马上被他理解。但过了不久，Crelle看出了他的年轻客人的非凡能力。两个人后来成了终身的朋友。Abel将自己关于五次方程的小册子拿给 Crelle 看，Crelle 坦白地承认这对他来说是很难懂的，他建议 Abel 把这篇文章写详细点。他们还谈到德国数学的可怜状况，Abel 在1825年12月5日从林写给 Hansteen 的信中说：

“当我对德国不像法国那样有数学刊物这件事表示惊讶时，他说他很长时期以来就想编辑一个期刊，很快他就要将这个计划付诸实施。现在这个杂志已在创办，我非常高兴，因为我将有一个地方能出版我的文章。我已经准备了四篇文章，它们将发表在第一期上。”

Journal fir die reine wnd angewandte Mathematik, 或按一般人所说的 Crelle 的杂志，是十九世纪最有影响的德国数学刊物。它的第一卷全登的是 Abel 的文章，共七篇。以后各卷又登了更多的，其中绝大多数都在数学史上占有突出的重要地位，其中首屈一指的是关于一般五次方程根式解的不可能性的详述文章。在这儿，Abel 发展了包括代数域的扩张等必要的代数基础。此时，Abel 并不知道他有一个先驱一一意大利数学家 Paolo Ruffini。在一篇 Abel 死后才出版的关于方程的根式可解性的文章中，他说，“如果我没弄错的话，在我之前，只有一个人，他试图证明一般方程的代数解（根式解）的不可能性，这就是数学家 Ruffini。但是他的文章复杂得使人们难以判定他的推理是否正确，我想这是不能令人太满意的。”通常这个结果被引用时叫作Abel—Ruffini 定理。

在 Abel 离开挪威后发生的一件事引起他很大注意，Rasmussen 感到他的公共事务加上数学教授职位使他负担过重，就辞去了教授职务。之后不久，教员们推选出了 Holmboe 填补这个空缺，Abel 的几个挪威朋友认为这个行动极不公正，Abel 自己大概也有同感。虽然如此，他还是写了一封热烈祝贺的信给他以前的老师，而且他们一直是好朋友。但显然 Abel 从这时起就为他的前途和他未来的婚姻而忧虑，他感到在他的祖国里科学是没有地位的。

在柏林的整个冬季，Abel 都在给 Crelle 的杂志写稿。其中值得注意的文章有关于二项式的推广和平方根表达式的积分等，但在数学上 Abel 最关心的东西之一是当时的数学缺乏严密性，在给 Holmboe 的信中，他屡次提到这点，1826年1月16日他写道：

“我非常惊讶地看到下列事实，如果除开最简单的情况，那么在全部数学中没有一个无穷级数它的和是被严格定义的。换句话说，数学中最重要的部分是没有根基的。诚然，微积分学的大部分是正确的，而这正是令人惊讶的地方，我要努力找出这个道理，这是一个十分有趣的题目。”

这个努力的结果是关于幂级数的经典论文，其中包括了很多一般定理，作为一个应用，Abel 写了对任意实或复指数的二项式级数和的严格定义。

1826年早春，Abel 觉得还必须到他原来的目的地——巴黎去。Crelle 原来答应陪他去，并且一起绕道 Gottingen 去拜访 Gauss，但不幸，公务的压力使Crelle无法离开柏林。与此同时，Abel 的挪威朋友正在计划一个通过中欧的地质旅行，Abel 还是因为不愿意离开他们，便参加了这次旅行。他们坐着马车经过了波希米亚、奥地利、意大利北部及阿尔卑斯山。一直到7月，Abel才到达巴黎，这时他已被这昂贵的旅行搞得所剩无几了。到巴黎的访问是令人失望的，Abel 到达时，学校的假期刚开始，数学家都离开了城市。当他们回来时，Abel 觉得他们避开他，很难接近。他仅仅在路上遇见过 Legendre。在年迈之时，Legendre 的主要兴趣是椭圆积分，这也正是 Abel 的专长。Abel 保留了一篇他认为是自己的杰作的文章提交给法国科学院。这篇文章是讨论一个给定的代数函数积分的和，Abel 定理说对任何一个这种和，存在一个固定数，使得该和可以用这类积分表达出来，其中积分变量是原来积分变量的代数函数，最小的数是原给定的代数函数的亏格，这是亏格这个概念第一次出现，Abel 的定理是椭圆积分的欧拉公式的极大推广。

Abel 在巴黎的头几个月用来完成这篇大论文，这是他最长的文章之一，包括一个广泛的定理及其应用，文章于1826年10月30日交给法国科学院，题是“一类极为广泛的超越函数的一个一般性质”。Cauchy 和 Legendre 是指定的审稿人，Cauchy 是主席。当时有不少年轻人一旦其论文被科学院接受就很快出名，Abel 等待着审稿人的报告，但一直没有音讯。事实上，这篇论文直到Abel 死后才不得不出版。看来当时 Cauchy 受到了责备，他后来还说这手稿太难读。

Abel 在巴黎后两个月的生活是惨淡的，没有钱也没有很多熟人。他曾遇到 P. G. L. Dirichlet，后者比他小三岁，但由于一篇经 Legendre 推荐到法国科学院的文章后已经是著名数学家了。另一个相识者是 Frederie Saigty，是科学评论 Fellusac’s Bulletin 的编辑，Abel 写了不多几篇文章给他，主要讲自己在 Crelle 的杂志上发表的论文。圣诞节后，他花光了最后一点积蓄到了柏林。

回到柏林不久，Abel 病了。这是他的肺结核病的第一次发作，后来 Abel 就死于结核病。他向 Holmboe 借了些钱，大概 Crelle 也帮助了他。Abel 很想回到挪威去，但他又觉得必须在外国住满奖学金的期限，Crelle 想留他住在柏林，直到他能在一所德国大学为 Abel 谋个位置。他还让 Abel 担任他的期刊的编辑。Abel 又在刻苦工作，写一篇新的文章 《关于椭圆函数的研究》，这是他最长的文章 (在《论文全集》中占了125页)。在这篇著作中，他借助于椭圆函数的反函数把圆积分理论根本上归结为椭圆函数的理论，在最基本的情形下，这相应于对偶性:

于是，椭圆函数就成为三角函数的广泛和自然的推广。在Abel 的工作启示下，椭圆函数就构成了十九世纪数学中最好的研究课题之一。Abel 在奥斯陆当学生时就发展了这个理论的大部分，所以能够用十分丰富的内容解释椭圆函数的理论，如双周期性、无穷级数和无穷乘积的展开、加法定理等。这个理论导致将变量倍数的函数用相应定出的分式变量方程来表示。而这个方程有根式解，这十分类似高斯对分圆方程的处理方法。Abel 在1826年12月从巴黎及1827年3月4日从柏林写给 Holmboe 的信中表示，他特别热衷于确定用圆规和直尺将双纽线二等分的条件的问题，这和高斯构造正多边形相类似。文章的最后一部分讨论了所谓复乘理论，这后来在代数数论中是十分重要的。

1827年6月20日 Abel 回到奥斯陆，发现在他的家乡，条件正如他所担心的那样差。他没有找到职位的希望，没有奖学金，有的只是大量的债务。他申请延长奖学金的期限，被财政部拒绝。学校为了使他不致极端贫困，鼓足勇气给他一份很少的薪金。为此，财政部批评了学校，并且保留从Abel将来可能得到的薪金中扣除这些钱的权力。Abel 的未婚妻在他们朋友家那里找了个新工作，这个朋友是在 Froland 的一个铁工厂的厂主。整个秋季，Abel 在奥斯陆靠做家庭教师以及朋友的接济来弥补生计。新年时，情况变得好些，地磁学研究的开拓者 Hansteen 得到一大笔资金，用于对未开发的西伯利亚进行为期两年的地磁场考察。在此期间，将由 Abel 代替他在大学和挪威军事科学院的职务。

“Recherches”的第一部分于1827年9月登在 Crelle 杂志上。冬天时，Abel完成了第二部分。他在奥斯陆与世隔绝地过活，一冬天没有任何邮件。他一点也不知道，欧洲的数学家已对他的研究报告产生了兴趣。他同样也不知道，在椭圆函数领域的一个竞争者已经出现。直到1828年初，Hansteen 给他看9月份的《天文报告》，那上面有一个年轻的德国数学家 K. G. J. Jacobi，不加证明地宣称了关于椭圆函数变换理论的某些结果。Abel 赶紧在他的“Recherches”的第二部分的手稿上加了一个注记，说明如何将Jacobi的结果当作他自己的推论。

Abel 敏锐地觉察到一场竞赛就在眼前。他赶快停下正在写的一篇关于方程理论的长文章——这篇文章讨论方程的根式可解性的判定，已经出版的部分包括了目前称之为 Abel 方程的理论。Abel 以极快的速度写下了一系列关于椭圆函数的文章，第一篇文章“Solution d'un probleme general concernant la transformation desfonctions elliptigues”是直接回应 Jacobi 的, 也登在 《天文报告》上。另一篇登在Crelle杂志。此外，Abel 还写了像书一样长的论文“Precisd'une theorie des fonctions elliptiques”，在他死后这篇著作才得以出版。而站在另一方的 Jacobi 只写了一篇简短的注记，但没有透露他所用的方法，这些方法包括在1829年出版的他的书中（Fundamenta nova theoriae functionum ellipticaram）。

关于椭圆函数早期理论的很多东西都已写出，看来没有多大疑问。Abel 的想法比 Jacobi 早出现几年。另一方面，同样确凿的事实是，Gauss 虽然没有出版什么东西，但是他在 Abel 和 Jacobi 之前很久就发现了椭圆函数的原理。

欧洲的数学家们着迷般注视着这两个年轻数学家的竞赛。Legendre 注意到Jacobi 宣称的结果，也收到他的来信。1827年11月在法国科学院的一次会议上，他赞扬了这颗数学新星。报纸上刊载了这篇讲话，Legendre 将报纸剪下来寄给了 Jacobi。Jocobi 在回信中向他表示了感谢，之后指出 Abel的“Recherches”和他的结果。Legendre 回答说：“通过这些工作，你们两人都将跻身于当代第一流分析学家之列。”他同时也对 Jacobi 没有发表他的方法表示失望。当 Jacobi 承认为了推导他的某些结果他必须借助于 Abel 的文章时，Legendre 有点气恼。与此同时，Abel 也开始和 Legendre 通信，把自己的想法倾吐给他。

欧洲数学家们所知的关于 Abel 在挪威的情况是，他仅仅有一个临时性职位，而不得不靠做家庭教师来维生。这些消息的主要来源是 Crelle。他一直试图利用自己的影响为Abel在柏林一个新办的科学研究所谋个职位，但是进展很慢。1828年9月，四名重要的法国科学院的院士，采取了非常步骤。他们一直上书向 Bernadotte——当时的挪威—瑞典国王查理十四请愿，提请他注意 Abel，极力主张为他创造一个适宜的科学研究位置。在1829年2月25日科学院会议上，Legendre 也对 Abel 及其工作，特别是关于方程理论的结果加以称赞。

在这期间，Abel 不顾健康情况的恶化，废寝忘食地写着几篇新文章。1828年他和未婚妻一起在 Froland 过了暑假。圣诞节时，Abel 又不顾在严寒中旅行几天的困难，坚持要去看她。在到达时，Abel 发着高烧，但还很有兴致地参加了家庭圣诞庆祝。Abel已经预感到自己时日不多了，他眼下最担心的是提交给法国科学院的论文以后会遗失。因此他写了一个短文 “Demonstration d’une propriete generaled une certaine classe de fonctions transcendantes”，其中他给出一个主要定理的证明，1829年1月6日他将它寄给了 Crelle。

在等待回奥斯陆的雪橇时，Abel突然大量呕血。医生诊断他是肺结核，要他长期卧床休息。4月份，他死了，时年26岁。在大风雪中，他被埋葬在Froland教堂旁边。墓上竖着朋友们给他立的纪念碑。Baltazar Keilhau 写信Christine Kemp，向她求婚 (虽然他还未见过她)，她答应了。在 Abel 死了两天后，Crelle 很高兴地写信通知他在柏林的职位已经谋到了。

1830年6月28日，法国科学院把它的大奖授予 Abel 和 Jacobi，表彰他们杰出的数学发现。经过在巴黎全面地寻找，Abel 的伟大的著作终于找到了。在1841年 Abel 提交它的十五年之后，它才得以出版。在印刷过程中它又不见了，直到1952年才在 Florence 被发现。

Crelle 在他的杂志上，为 Abel 写了篇很长的悼词：

“Abel的全部著作镌刻着无比的创造天才和非凡的、有时是惊人的思维力量。如果考虑到这位作者的年龄，则更是令人惊叹不已了。我们看到，他能够以一种不可抵抗的力量，透过一切障碍，向下深入到问题的本质上，以不可想象的能量向它进攻；又能够从上面来考虑问题，高高地翱翔于问题的目前状态之上，所有的困难在这个天才的无敌的攻击之下，都化为乌有。.....然而，Abel 赢得人们的尊敬和无限怀念，不仅是因为他的伟大的才能，而且由于他纯洁的品质和高尚的心灵，以及少有的谦虚。这些非凡的品德，使得他作为一个人来说，也像他的天才一样，被人们所珍爱。”

本文转自数学纵贯线公众号，原标题“Abel传”，原载《数学译林》1982年第1期；

原文可参见：

https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/mathematics-biographies/niels-henrik-abel?

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