部分数学对象的拓扑学构造法

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

为理解和重构几何世界中诸多对象的形态，数学家们将研究焦点集中于奇异性和形变理论。本文旨在向不熟悉数学的艺术家们介绍这些常见的拓扑学概念与工具，以期在艺术世界中催生崭新的美学创造。

1 概述

1.1 引言

艺术家在创作中常运用各类物体，其中多为现实物体的图像。这些作品皆蕴含某种程度的风格化与表现形式，并在艺术家的思维中推动着风格化的进程。有些艺术家创造了抽象性质的形态，例如埃及浮雕、罗马镶嵌图案或凯尔特绳结。本质上，装饰艺术中始终贯穿着两条反复出现的线索：螺旋与镶嵌图案[1]。

艺术家们并未从他们的创作中发展出数学理论，除了在埃斯库罗斯时代和文艺复兴时期。然而，我们可以将他们视为这些理论的先驱。如今，许多艺术家熟悉出现在他们作品中的更广泛的数学对象类别。通过发挥他们的想象力，运用定义这些对象的工具，可以为丰富当代及未来观众的数学对象库及其作品内容作出贡献。

本次展示旨在向数学家与艺术家们常用的各种构造原理作一个总体介绍。为避免技术性困难和复杂的数学理论，将仅聚焦于这些原理的基础层面。

然而，我们期望部分艺术家能从以下内容中获取对其创作有益的启发。我们特别希望为那些因各种原因未能充分利用计算环境与专业软件的艺术工作者提供参考。萨尔瓦多·达利的绘画遗产，正是艺术家运用数学知识开创无可争议之独创风格的绝佳例证。而与立体主义表现相关的艺术作品——如充满想象力的夏加尔之作——亦是人类创造力潜能的有力体现。

我们的论述将仅聚焦于拓扑学视角，因为这种偏向定性研究的选择本身存在精确性不足的局限。代数与解析方法虽能规避此难点，但需要相应的数学知识与训练基础。《美国数学学会通报》火星号特刊[2]近期发表的专题文章，已对这些实用技术进行了进阶导论。需要指出的是，这些结构与量化技术仍需进一步发展，方能充分发挥定性方法所提示的形状潜能。数学家可通过量化手段对物体构造中涉及的形变进行数值控制，从而丰富这种定性研究方法。至于定性研究方面，乔治·弗朗西斯在《拓扑图册》[3]中研究的特定数学对象，或可为进阶读者提供有益参考。

我们默认所有读者都已理解空间的（拓扑）维度¹这一概念。鉴于本文面向艺术家而非数学家，其余多数术语将不采用更广泛、更系统的（数学）精确定义。这样的取舍旨在使论述更易于直观理解。

广义而言，陶艺家、雕塑家以及更精微层面上的画家将会发现——他们与从事几何研究的数学家们共享着相似的创作过程，其中形变与组合是最常见的操作手法。

就形变而言，我们将其划分为两种对立类型：延展与收缩。而这两类形变又各自可细分为两种对立模式：奇异型与正则型。

1.2 形态作为数学对象中受限制的类别

一般而言，数学对象可按如下方式分类：一类是能够被可视化的对象，另一类是过于抽象、过于广义而无法先验地进行物理呈现的对象，例如范畴或函子。

接下来，我们将仅聚焦于第一类数学对象。

定义：此类数学对象将统称为"形态"，这一称谓更为简洁且具概括性。

数学艺术家通常处理的是浸入或嵌入的1维、2维或3维形态。一维形态主要包括三角形等多边形、抛物线等经典曲线、扭结或分形线条。二维形态则主要衍生自多面体、镶嵌曲面、极小曲面、拓扑曲面和代数曲面。它们常以严格的数学定义和表现形式被运用，也常以适当的形变方式呈现。

基于数学对象的普遍定义，艺术家创造出属于自己的形态。在绘制这些形态时，他们首先使用铅笔或钢笔，或更直接地运用数字符号进行创作。

数字可分为两类：静态数字与动态数字。

– 静态n维数字是指由n个常规实数构成的集合（x₁, ..., xₙ）。从动态视角来看，它实际上代表一种平移变换。

– 简单动态n维数字则具有更强的普适性。它表示n维欧几里得空间中的缩放与旋转变换的结合。当n=2时，即为通常所称的楚凯数（亦称复数或混合数）。利用这类适用于形变控制（特别是共形与拟共形形变）的简单动态n维数字，可进行标准的代数几何运算。

我们将首先面向选择使用铅笔与画笔的创作者展开论述。

1.3 形态的特征要素

当我们观察一个物体时，视线会沿着一条轨迹移动——这条轨迹贯穿该物体某个关键部位至另一个关键部位。这条路径被定义为"感知骨架"，而那些关键部位则被称为"奇异点"。

换言之，形态最重要的特征之一在于其奇点集合：既包括内在奇点，也涵盖观察者视角所见的奇点。因此，物体奇点的任何变化都具有重要意义。

值得注意的是，奇点的出现、消失或改变通常会对物体的表现形式产生重要影响，因为这可能导致局部乃至整体曲率发生剧烈变化。

曲率同样是形态的基本特征要素。曲率的显著变化往往发生在奇异部位。

这些奇异部位在艺术作品的构建中扮演着重要角色，既具有强烈的形式意义，又承载着深层的语义内涵。玫瑰的尖刺、吸血鬼的獠牙、剑的锋刃、刀的利刃——这些典型的奇异形态常常唤起恐惧或暴力的联想。它们象征着在危险世界中保护自我完整性、进行防御与攻击的符号工具。由于被赋予保护自我的根本职能，这些形态在我们的意识中占据着曖昧的地位。锐角在某种程度上具有攻击性。布满直线与尖角的素描和绘画往往传递着僵硬与冰冷的意味。它们与骨骼轮廓存在某种共通性，并为其关联对象定义出一种结构性的表现形式。

定义：在标准维度为n的物体中，奇异部位是指维度k严格小于n的子对象（这些子对象可以是连通的，也可以是非连通的）。

此类奇异部位的特征在于其具有物体的某种局部极值属性，例如头顶的最高点或鼻尖（见图1）。

图1 加拿大因纽特艺术

根据我们的定义，在一维物体曲线中，奇异部位只能是点；而在二维物体的曲面中，奇异部位可以包含点和/或曲线段。

奇异部位的邻近区域自然被称为正则区域。那么，正则区域与奇异区域之间的本质区别究竟何在？

让我们用手指抚过雕塑表面，先从头部左侧开始向右移动：可以观察到手指向上移动直至到达头顶最高点，随后转为下降。因此当手指触及头顶时，其运动轨迹发生剧烈变化，从而形成奇点：原本向上的运动转变为向下。若我们绘制手指轨迹的切线，当手指位于左侧时切线斜率为"向上"（正值），位于右侧时则为"向下"（负值）（图2）。

图2 上行与下行

正是这种普遍现象被用来界定奇异部位的特征：在该部位的临近区域内，切线或切面的方向发生"剧烈"、"突变"或"骤然"的改变。

在奇异点处，属于该点外侧边缘的切线斜率，其符号或数值会出现不连续性的突变。

因此，如下文所述，大多数这类奇异部位可以通过对物体内部修改和形变集合的挤压过程来获得。

2 内部形变

2.1 挤压

定义：我们将挤压（记作Pn→k）称为一种平滑形变过程，它将维度n的形态正则区域转变为维度k（k

实际上，通过对物体任意部位的周边切线斜率符号或数值制造不连续性，即可实现该部位的挤压过程。

在曲线上，挤压发生在点状位置；而在曲面上，挤压既可发生在点状位置，也可沿曲线发生——这些点与线从而获得奇异部位的特征。

例1：几何图示（图3与图4）

此类奇点将被称为内陷型奇点或气泡状奇点。

此类奇点将被称为外凸型奇点或反气泡状奇点。

图3 气泡状与反气泡状奇点

该点并非奇点：其周边切线的斜率符号未发生改变，且这些斜率的数值也无突变。

圆的"北极点"在此处是一个奇点：其周边点切线斜率的符号发生了变化。

该点为奇点：其切线斜率符号虽未改变，但数值却发生了剧变。

该点为奇点：其斜率符号与数值均发生"剧烈"变化

图4 正则点与奇点

例2（图5）：运用外凸型奇点以及其他拓扑学工具，艺术家能否创造出如下丁香花形态？（图6）

图5 奇点生成与演变的示例

图6 兰花：美丽兜兰。花朵左右两侧各存在一个外凸型奇点。

例3：另一个几何对象——八字环。

取一段管状空心圆柱体。可以沿着一条母线以凹陷或外凸的方式进行挤压。原始母线由此转变为奇异线。需注意该操作具有重要的可逆特性（图7）。

标准圆柱体

外凸型圆柱体

内陷型圆柱体

图7 曲面上的奇异线

观察内陷型圆柱体。可以进行第二次外凸型挤压，使得两条奇异母线重合。甚至可以将局部结果进一步挤压成奇异点并进行着色，从而得到下图所示的“八字环”（图8）：

图8 法伯-豪瑟八字环

其他拓扑技术也能构建此图形。

在结束常规奇点概念的讨论前，让我们观察另一种现象。假设某段曲线开始以越来越强的幅度振动，它可能断裂成极小的片段，这些片段不断缩小直至最终离散为点集，形成连续、拟连续甚至离散的集合。我们将这种现象称为分奇异化，其产生的结果称为分形奇点（图9与图10）。

图9 分形奇点

图10 山脉奇点

2.2 膨胀

膨胀可分为两类：奇异膨胀与正则膨胀。

奇异膨胀最具研究价值：它与形态蜕变及新异形体的创造密切相关。

正则膨胀在艺术中常用于激发观者情感并强化教化寓意：埃尔·格列柯（在其大多数作品中）通过拉伸人物特征来表达灵魂对上帝的渴慕；奥诺雷·杜米埃的讽刺漫画与希罗尼穆斯·博斯的怪诞人像，亦呈现出两种不同的膨胀表现手法。

2.2.1 奇异膨胀

挤压过程存在一个逆向操作，我们称之为奇异膨胀。此处"奇异膨胀"的表述特指对奇点进行膨胀操作。

定义：奇异膨胀（记作Ik→p）是指将k维部位转化为p维部位（k

若该过程骤然发生，此处可称之为爆破。

膨胀部位与其奇异生成部位通过若干特性相关联，其中一个基本而显著的特性是：通过对膨胀部位进行连续形变，且保持各阶段形变部位的拓扑特性不变，即可还原出奇异生成部位——这些拓扑特性对奇异部位具有特殊意义。

注记：挤压过程将维度n的某个部分压缩为更低维度k的部分。通常可能存在多个可接受的更低维度部分，即使我们将k限制为n-1时也是如此。当然，附加约束条件可以减少可能性的数量。

关于奇异膨胀也可作类似论断：例如，一个点可膨胀为线段、圆、球体、二维圆盘、三维球体等。膨胀对象的一般操作过程自然是逐步推进，逐维提升（图11）。

图11 单点向不同尺寸圆形的奇异膨胀过程

例4：在这两个标记为I0→1的示例中，一个奇点爆破膨胀成圆形或与圆具有相同拓扑性质的形态（图12与图13）。

图12 奇点膨胀为圆形

图13 奇点膨胀为圆形

例5：需注意在前述两种情况中，奇点甚至可爆破膨胀为二维的圆盘，而该圆盘又可呈现平坦、凹陷、外凸或混合形态（图14）。

奇异膨胀形成外凸圆盘，产生穹顶结构

奇异膨胀形成凹陷圆盘，产生坑状结构

图14 示例4中奇异点或圆形向二维圆盘的若干奇异膨胀形态

值得注意的是，当二维圆盘非平坦时，可变形为单侧开口的管状结构，其轴线可为任意非闭合曲线。这些曲线的分类可借助纽结理论实现。

艺术家会乐于描绘这样的管状结构——它从曲面及其生成的圆形区域蜿蜒而出，优雅地盘绕在表面。从这种管体中，时而会生长出或消隐着奇异的犄角，投射出幻妙的光束，照亮意想不到的舞蹈编排。

这种管体可能仅呈现波动形态，当观者视线远离初始奇点时，波动便逐渐消失（图15）：

图15 图14左侧的穹顶结构可变形为这些拓扑等价的管状形态

例6：在前例中，奇点爆破膨胀为单个二维圆盘。但我们也可考虑该点爆破膨胀为多个具有相同圆形边界的圆盘的可能性。此类情形存在若干特例。我们将选取最简单的情况——当数量为二时，一个圆盘呈凹陷状，另一个呈外凸状：由此我们得到一个二维球面S²，因为二维球面可通过粘合两个圆盘的边界圆周构建而成。

实际上，奇点可爆破膨胀为二维球面，反之，该球面也能连续收缩为一点。需再次注意，从拓扑视角看，该球面可被任何具有相同拓扑性质的形态所替代（图16）。

图16 奇异点的二重奇异膨胀：左侧为两个凹陷型膨胀，右侧为一凹一凸型膨胀

若出现连续无限个此类双重膨胀的特殊情况，这些球体可能完全填满一个碗状区域，此处用符号D³表示。

例7：以一个橙子作为此类碗状区域的物理模型，其边界即二维球面S²。我们可以将该边界视作碗状区域的奇异部分。

膨胀二维球面主要有两种方式：向内朝向碗状区域的中心，或向外扩张。此类奇异膨胀可以是部分的，也可以是完整的。二维球面的完整向内膨胀形成三维球体D³。完整向外膨胀则填满常规三维空间，留下一个可由前述三维球体填补的空洞。部分膨胀产生的物体形似内部存在空腔的三维球体（图17）。

图17 常规二维球面边界的几种不同膨胀形式

这种部分膨胀也被称为加厚。我们更倾向于称其为标准加厚。它通常被描述为笛卡尔积：设B为边界，I为区间，标准加厚可表述为乘积B×I。

例如，若T是一个空心圆柱体或无厚度的管体，T×I将表示局部厚度为I的管体；若D³是以半径为1的常规球面为边界的常规三维球体，则D³的标准加厚将是半径为1加上区间I长度的三维球体。

更广义地说，设C为任意其他物体：笛卡尔积B×C可理解为以C为加厚方式对B进行的加厚操作。

2.2.2 正则膨胀与收缩

这类变换可以是全局的，也可以是局部的。视错觉和变形画通过长度与扭曲实现局部尺寸的增减。透视理论已将部分不改变形态拓扑特性的尺寸变换规范化。膨胀是视觉传达中表达力量、意志与希望的重要元素。

折叠常被用作开展变换过程的第一步。

2.3 折叠

定义：折叠是指作用于物体某一部分，改变该部分各点处的局部曲率，并可能改变该部分尺寸的操作。

折叠可分为两类：连续折叠（如折纸艺术中的技法）和奇异折叠。当沿区域内任意横截线的切线或切面的垂直方向连续变化时，该区域的折叠是连续的；若方向变化在某处出现不连续性，则该折叠是局部奇异的（图18）。

图18 两类折叠的简单几何示意图

例8：在二维平面上作画时，线条的折叠不仅可以改变其长度，还可结合旋转。在三维空间中，线条的折叠需运用长度变化与扭转——即在两个非平行平面内同时进行的旋转组合。需注意扭转在语义与艺术表现上的重要性，它同时传达着力量与运动，正如米开朗基罗与埃尔·格列柯创作的《拉奥孔》所展现的那样。

乔治·弗朗西斯[3]作品中几何扭转的示例如下（图19）：

图19 乔治·弗朗西斯绘制的三种纽结

2.4 切割与展开

定义：切割是沿维度n（>k）物体的任意k维部分进行的分离、断开操作。

任何曲面都可在其任意点处切口，并沿任意曲线切割。这将产生两条微分同胚的曲线，称为切割唇。它们属于曲面的边界，因而具有奇异部位的特性。

沿曲线切割曲面后，可能出现以下四种情况之一（图20）：

孔洞形成于拉伸曲面后仍保持连通的状态

2 个不连通部分

连通的状态

2 个不连通部分，且其一存在孔洞

图20 切割产生的四种不同效果

此类切割可能将曲面分离成不连通的碎片。当曲线是曲面上一个或多个圆盘的边界时，这种情况就会发生（案例2和案例4中，曲面本身具有边界曲线，而切割曲线与该边界相交于两点，从而与边界共同形成至少一个作为二维圆盘边界的环）。

3 外部形变

切割过程可能导致物体分离成多个部分，这构成了内部形变与外部形变之间的过渡。如果通过切割实现了分离，那么反过来，将两个原始分离部分重新连接起来的逆操作也应当是可行的。我们所需要的只是一剂优质的"粘合剂"。

粘合过程（亦称附着过程）在此被视为从外部对粘合对象施加的改变。

此类附着操作沿附着域构建：附着域可以是点、线段或曲面片。附加过程的前提是两个将被粘合的对象拥有相似的区域，该区域将作为附着域使用。

需注意，附着过程也可在内部进行。

一个简单的例子是用矩形制作篮子的过程，涉及切割、折叠与粘合。制作这种篮子有多种方法，以下为一例（图21）：

图21 唐老鸭造型

当两个附着域属于同一物体时，该附着过程在此称为等同化。

莫比乌斯带是等同化过程的经典产物。取一条矩形纸带，将两条短边设定为相反方向，将纸带扭转奇数次，此时两条短边方向趋于一致，即可进行粘合（等同化）（图22）。

图22 标准莫比乌斯带

4 综合

所有物体均可通过前文所述的操作构建：挤压、膨胀、折叠、切割、附着。

以下是一些可通过此类方式构建的经典数学对象。这些图像由帕特里斯·耶内尔提供，使用"surfer"软件生成（图23）。

图23 耶内尔使用surfer软件创作的图形游戏

这些对象仅通过求解一个多项式方程（我们将其简写为 p(x^m, y^n, z^p) = 0）而创建。尽管对于单一多项式方程而言，奇点的不同类型是有限的，但由于整数 m、n 和 p 的取值本身是无限的，因此可以预期形状的数量是无穷的：人类的想象力无法先验地涵盖这些数学形状之间存在的所有变化与微妙差异，更何况我们在此仅考虑一维多项式，而我们实际上可以考虑由多维空间中各类方程定义的物体在二维或三维空间上的投影。除极少数（如球体或圆柱体）外，目前这些数学对象中的大多数对我们而言并无特定意义：它们是陌生的，被视为人造的；由于缺乏意义，它们显得冰冷而无生气。但我们无法预知未来。人类在不断演进。主观诠释或许正让位于更有效的理性思考。这些对象可能因其通过智力训练与我们的理性对话而获得更大关注——这种训练教会我们如何观察它们，如何理解它们的属性与特质。尽管通过增加内部对称性它们可能显得更丰富，但每个单独呈现的数学对象都带有某种程度的忧郁感，这部分源于它们的孤立性。

许多艺术作品并非仅呈现单一对象。当然也存在例外：在这类情况下，对象本身具备足够的表达力与内在丰富性，有时甚至呈现为多个对象的组合体。雕塑艺术便是典型例证——材料的质感在其中扮演着重要角色（图24）。

图24 泽维尔·邦内-埃马尔的两件雕塑作品

艺术家更倾向于创作组合性作品。若干标准元素在这些创作中发挥着重要作用，例如光线、微妙的变形对称、丰盈感（主要通过重复实现），以及透视（从经典透视到反向或正面透视，如夏加尔诸多作品所示）（图25）。所有这些元素都与物理学的基本原理和事实相关联。

图25 自然界中的重复性

或许孩童、青年与长者（"赫拉克利特曾言儿童的游戏即成人的思想"）会乐于把玩我们先前探讨的这类数学对象。他们将能构建饰带与独立式物件，用新颖的创作充盈空间，裁切全新形态，培育并握持别样的花朵，通过在新组合中嵌入多元物体与材质，实现"夏加尔式"的全新联结。如此，数学将一如既往地服务于艺术。

参考文献

1. Bruter, C.P.: Deux Universaux de la De´coration http://math-art.eu/pdfs/ConferenceSaverne.pdf (2010). Accessed 10 April 2010

2. Faber, E., Hauser, H.: Today’s menu: Geometry and resolution of singular algebraic surfaces. Bull. Am. Math. Soc. 47(3), 373–417 (2010)

3. Francis, G.K.: A Topological Picturebook. Springer, New York (1987)

4 Claude Paul Bruter, An Introduction to the Construction of Some Mathematical Objects

最后照例放些跟张大少有关的图书链接。

青山不改，绿水长流，在下告退。

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