自然·物理：改变单个节点，让复杂系统恢复如初

摘要

众所周知，预测复杂系统的崩溃是极其困难的。而找到一种使系统恢复正常的方法则更为困难。Nature Physics的一项理论研究，指出如何通过恢复崩溃网络中的一个节点，来恢复其功能。

研究领域：复杂网络，临界点，拓扑重构，网络弹性，系统功能恢复

Patrick Desrosiers，Xavier Roy-Pomerleau| 作者

刘培源、郭瑞东| 译者

论文题目： Reviving a failed network through microscopic interventions 论文地址： https://www.nature.com/articles/s41567-021-01474-y

论文摘要：从大规模物种灭绝到细胞死亡，复杂的网络系统经常会由期望突然转换为无法发挥功能的状态。这些转换通常是由拓扑扰动(如节点或链路删除，或降低链路强度)引起的。而逆转拓扑扰动，例如恢复丢失的节点或加强链接，并不能确保系统恢复到初始状态。事实上，许多相关的系统表现出滞后现象，尽管重建了损坏的拓扑结构，但系统仍然处于功能失调状态。为了应对这个挑战，我们开发了一个两步恢复方案: 首先，拓扑重构到系统可以恢复的状态，然后进行动态干预，以重新点燃系统失去的功能。通过将该方法应用于一系列非线性网络，我们识别出复杂系统的可恢复阶段，在这个状态下，系统可以被微观干预重新恢复其功能，例如，仅仅控制一个节点。通过绘制具有这样特征的动力系统的边界，我们得到两步恢复的指导方针。

物种灭绝、癫痫发作和电网断电，这些都是复杂系统由于临界转变（critical transitions）导致功能失调的典型例子。近几十年里，研究人员一直在努力工作寻找有助于预测临界点的阈值[1-3]。也就是说超过这个临界点，系统的状态会剧烈且常常不可逆转地发生变化。如何干预一个系统使其从功能失调的状态中恢复，这是尚未被充分探索的问题。最近的Nature Physics的论文[4]Reviving a failed network through microscopic interventions证明，存在一个局部的干扰，可以使系统回到具有功能的状态。这项工作让我们对复杂系统弹性的理解开启了新篇章。

图1. 网络因为连接的拓扑结构而从可发挥功能状态（右图）转为失能状态（左图）[4]

在20世纪70年代，结合实验数据和来自非线性微分方程的定性理论的概念，Crawford S. Holling[5]将弹性（resilience）定义为生态系统吸收变化和扰动而不崩溃的能力。他提出系统会有多个稳定状态，每一个都有一个相应的“吸引盆”（basin of attraction）。吸引盆是一组初始条件，系统通常会从一组初始条件演化到一个给定的稳定状态。弹性和吸引盆的大小密切相关。为了说明他的观点，Holling提出了一个基本但经常被用到的类比：一个受到重力吸引的物体，在一个包含顶峰和平原的景观中移动（图2a）。

之后的研究，阐明了临界值在具有多个稳定状态的生态系统中的作用，例如描述物种种群演化的模型。将此类系统的平衡态绘制为单个模型参数的函数，有时会呈现如图2b所示的情况，这意味着动力学的灾难（dynamical catastrophe）。后来研究者在考察神经元网络的全局活动[7]和振荡器同步[8,9]时，也得到了类似的图。有趣的是，图2b包含一个磁滞回线（hysteresis loop），即一个不可逆的ABCD循环——这正是统计物理中一阶相变和网络科学中爆发现象的标志[8]。

新研究的目标，是设计一个真实的扰动策略，使得一个处于失去功能状态的系统，转变为有功能的状态。例如，一个系统位于图2b中的点B，该策略的目的是找到一个方法，使球恢复到上方的分支上。极端的解决方案，例如用巨大扰动或显著增加相关参数来自动将状态推到更高分支，可以与全局性的冲击（global electroshocks）相比。但这种全局冲击很难适用于真实系统。研究者们转而寻找更加温和、只影响系统中少数组件的策略。

图2. 动力系统中的弹性。a， Holling对具有两种不同弹性水平的系统中稳定状态的类比[5]。球的位置倾向于滚到山谷中，指向系统当前的状态。从系统中代表功能的吸引盆（蓝色）过渡到代表不具有功能的吸引盆（橙色），球必须滚过中间的峰值。b，代表的一般生态系统中，包含多个平衡状态 χ 作为参数α的函数的图示。其中实线代表稳定态（a中谷底），中间的虚线代表非稳定态（a中峰顶）。初始状态（图中任意点）将按箭头指示方向收敛到一个稳定状态上。点A和C表示小的扰动就会使系统转向另一个分支上的更稳定的状态（点B和D），参数α1h和α2分别对应于具有最小和最大弹性的系统的阈值。

这篇新论文分别研究了有向、异质与加权的网络的微观行为。网络中的节点代表系统中的单元，连边代表系统中相互作用的强度。每个节点有自己的活动，整个网络的状态由一组非线性微分方程所驱动。在有向网络中，节点的入度和出度（每个节点所连接的边数）可用来定义宏观状态变量[10]。这样一个变量的动力学，可近似表示为一个简单的非线性方程，图2b中的参数α转化为平均邻居节点入度残差（residual-ingoing degree），这是网络科学中一个有名的表示结构的变量。

为恢复崩溃网络的功能，新研究提出了一个两步走的策略：重建结构，然后重新激发（restructuring，reigniting）。第一步是修改网络的局部结构（例如增加一些边）以确保存在一个可发挥功能的状态。这个步骤大致相当于在图2b中将α放在α1和 α2之间。第二步中，随机选择一个节点。仅对于此节点，其活动被设置为一个有限的值，该至充当重新激发（恢复该节点功能）的强制参数。为了确定所选节点对整体的影响，作者查看了该节点的邻居节点的活动，然后查看其邻居节点的邻居节点的活动，逐步推至整个网络。

图3. 两步恢复的示意图，左边描述的第一阶段是将网络重构为想要达到的状态，右图的重新激活是通过激活点s，使其范围扩展，逐步恢复网络功能

通过一系列近似，研究者设法得到了一组新的方程。这些方程可以预测离强制节点有一定距离的节点的平均活动。该集合中的点的活动取决于三个基本结构参数：平均连接权重，平均网络互易性，以及平均邻居节点入度残差。

通过使系统处于平衡状态并采用其规模上限，研究者分析推导出一个一维的非线性方程，它为恢复功能状态的可能性提供了可测试的预测。实际上，这个方程有两种解：(1)唯一解：对应于原始功能失调状态的吸引盆；(2)多重解，其中至少有一个对应于可发挥功能状态的吸引盆。

因此，该工作证明了非线性动力学和系统的基本结构所产生的协同作用，允许在某些情况下，通过刺激单个单元并将其转换到功能状态，来驱动整个系统恢复到正常功能状态。为了验证其发现，研究者广泛地做了关于神经元细胞和微生物群落的数值分析。他们在多达104个节点的随机无标度网络上和不同真实经验网络上的都证实了理论预测。这些真实网络包括：酵母和人类蛋白质-蛋白质相互作用网络、人类大脑连接组和肠道微生物组网络。

通过在微观上采取行动进而在宏观上恢复一个复杂系统的功能，有许多相关应用。在一个面临气候、科技和社会快速变化的世界里，我们需要不仅仅是能够预测迫在眉睫的灾难性事件，还需要制定扭转其后果的策略。而这项研究工作，是朝着旨在恢复真实复杂系统正常功能的有针对性干预的一般理论的关键步骤。

参考文献

[1]Schefer, M. et al. Science 338, 344–348 (2012).

[2]Jiang, J. et al. Proc. Natl Acad. Sci. USA 115, E639–E647 (2018).

[3]Arani, B. M. S. et al. Science 372, eaay4895 (2021).

[4]Sanhedrai, H. et al. Nat. Phys. https://doi.org/10.1038/s41567-

021-01474-y (2022).

[5]Holling, C. S. Annu. Rev. Ecol. Evol. Syst. 4, 1–23 (1973).

[6]May, R. M. Nature 269, 471–477 (1977).

[7]Laurence, E. et al. Phys. Rev. X 9, 011042 (2019).

[8]D’Souza, R. M. et al. Adv. Phys. 68, 123–223 (2019).

[9]Tibeault, V. et al. Phys. Rev. Res. 2, 043215 (2020).

[10]Gao, J. et al. Nature 530, 307–312 (2016).

原文地址：

https://www.nature.com/articles/s41567-021-01449-z

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