《人类科学技术史-159》中国中世纪时期数学

中国中世纪时期数学

中世纪时期的中国数学基本上可以分成两个阶段：隋唐时期(581-907)和宋元时期(960-1368）。隋唐时期，中国建立了数学教育制度，同时在中外数学交流方面也达到了一个高峰。宋元时期，数学水平大为提高，出现了被称为宋元数学大家的秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰，以及其他著名学者刘益、贾宪、沈括等人。这一时期的成就，如珠算、天元术、四元术、大衍求一术等，代表了中国古典数学的最高成就。

中国的数学教育有悠久的历史，据史籍记载，周代就开始有了数学教育。但是，直到隋唐时代才建立了数学教育制度。

隋代存在的时间虽然不长(581-618)，但却建立了最高学府——国子寺，并在国子寺里设立了明算学。国子寺相当于现今的国立大学，明算学相当于现今的数学系。国子寺在中国开创了高等数学教育机构，并设置算学博士2人，算助教2人，从事数学教育工作。国子寺招收学生一般在80人左右。

到了唐代，在隋代数学教育的基础上，进一步发展了数学教育。唐初在最高学府——国子监里增设六个专科，即明经、进士、秀才、明法、明字及明算六科。出于教学的需要，李淳风等人奉勅注释并校订了十部数学书，作为明算科的教科书。根据史料记载，这十本书是《九章》、《海岛算经》、《孙子算经》、《五曹算经》、《张邱建算经》、《周髀》、《五经算术》、《缀术》、《辑古算经》和《夏侯阳算经》。这十部数学书称为"十部算经"，是明算科学生的主要教科书。学习期间，有的学生还兼学《数术记遗》和《三等数》。明算科的学制年限为7年，学习期满后要进行考试，要求"明数造术，详明术理，然后为通"。考试合格的人员将交给吏部录用，给予九品以下的官级。

隋唐设立了算学主要是因为赋税量和名目的增加，对算学的社会需要越来越大。但是统治者解决这一需要的方法不是提高算学的社会地位，用物质利益诱导知识层投身于算学，而是使算学职业化、技艺化。算学的设立，就是把计算职业化的一种措施。把算学推入"吏"这个社会阶层，从而导致士大夫与算学的进一步分离。例如汉代大儒巨卿刘向、郑玄、张衡等人都通晓数学；南北朝的一些算学名家如何承天、祖冲之等也大多兼通儒术。然而自隋唐以后，算学名家却大多非僧即道，或是太史局专职官员，如僧一行、付仁均、李淳风等人，很少是名儒巨宦了。

算学的设立，最大功绩在于满足了社会对算学日益增加的需求，为社会的许多部门培养了专业书计人员，从而对于数学——尤其实用数学的普及起了积极作用。不过，这些专职人员大多是所谓"俗吏"，社会地位不高，从事的工作也是一些琐屑偎杂的简单计算，无需高深的数学理论，更缺乏深入钻研的精神。因此，南北朝时圆周率的计算已经很进步，但是直到明代，"周三径一、方五斜七"的歌诀仍被一些算学著作津津乐道地重复着。由此可见，官设算学校对算学的发展所起作用是很有限的。

这一时期，中国与周边国家的学术交流十分繁荣。中国数学原著通过佛教僧侣传入朝鲜，朝鲜还仿照隋唐数学教育制度，建立了国学(后改为大学监）。日本采取的数学教育制度，也是仿照唐制。而且唐代随使船来中国留学的日本学生及僧侣有十余批，共约2000人。乘商船求学的有二三十批，人数更多。其中有不少人就是专门来学习历法和数学的。

此外，印度的一些数学知识也于这一时期传入中国，如印度数码、正弦数值表等。同时，有人发现印度古代数学与中国古代数学有很多相似之处，甚至有个别部分完全一样。就时间上来说，其相似之处一般晚于中国的记载。因此，有人怀疑印度古代数学可能也受到过中国古代数学的某些影响。

前苏联著名数学家哥尔门果洛夫指出："中国数学和希腊、罗马、印度、中亚和中世纪欧洲的关系还很少研究，但这种关系是存在的。不少国家的数学手稿上，算题和数据恰恰与中国的原著相同。"由此可见，中国数学对世界数学作出过卓越的贡献。

由于商业的发展，促进了宋元时期整个科学技术的发展，数学也达到了较高的水平，特别在代数方面成就尤为突出。秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰被称为宋元数学四大家，他们都遗留下大量的数学著作，成就卓著。

秦九韶(约1202-1261)，字道古，鲁郡人。他年轻时随父到杭州，得以有机会向太史们学习天文历法。他聪敏好学，喜欢在解决实际问题中深入研究学问。他于1247年写成数学巨著《数书九章》。

《数书九章》今传本分9类，各2类，合18卷，9类为大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易，以习题集的形式写成，共81题。每题有答，有术，有草，大都配图说明，很是难得。此书在学术方面的成就主要表现在高次方程的数值解法。书中出现的高次方程有"连枝"乘方(最高次项系数不等于1的方程）、"玲珑"乘方(奇次幂为零的方程）等。各项系数不限正负(惟常数项常为负值）有所谓的"正负开方术"。书中对大衍求一术及其应用做了详细叙述，这是中国古代在一次剩余问题解法方面极为辉煌的成就。

李冶(1192-1279)，原名李治，字仁卿，号敬斋，真定栾城人。少时在元氏求学，中进士后曾任钧州(今河南禹县）知事。1248年写成《测圆镜海》十二卷。李冶1251年回到元氏，隐居于封龙山讲学。1259年又著《益古演段》。1265年他应忽必烈之召为翰林学士，修辽金二史。一年后告老还乡，仍隐居封龙山。李冶学习过《九章》，"洞渊九客之说"；学习过《益古集》，"遍观诸家如积图式"。这些无疑为他的数学著作奠定了知识基础。

李冶不仅是数学家，还是一位精于文史的学者。著有"《敬斋古今黈》四十卷，《泛说》四十卷，《文集》四十卷，《壁书丛削》十二卷。"李冶的《益古演段》是一部关于天元术的入门书。天元术是建立代数方程的一般方法，相当于现在的"设某为X"，并由此建立方程。由于所设的未知数称为天元，所以这种方法就被称作"天元术"。天元术是公元11-13世纪中国数学家的一项杰出成就。

杨辉，字谦光，钱塘(今杭州）人。关于杨辉生卒年月、生平事迹的史料记载很少，但是他的数学著述很丰富，虽经散佚，流传至今的尚有多种：

《详解九章算法》12卷后附《篡类》(公元1261年）

《日用算法》2卷(公元1262年）

《乘余通变本末》3卷(公元1274年）

《田亩比类乘除捷法》2卷(公元1275年）

《续古摘奇算法》2卷(公元1275年）后三种为杨辉后期的著作，一般称之为《杨辉算法》。

杨辉编写的算书广泛征引古代数学典籍。除汉唐以来的"算经十书"以外，还引用了宋代的许多算书，许多基本的算法赖以流传下来。此外，杨辉学术上的成就主要有：《九章算法纂类》中记述的增乘开方法；《详解九章算法》记载了西方称之为"巴斯客三角"的"开方作法本源图"。杨辉在中国数学史上不仅是一位著述甚丰的数学家，而且是一位卓越的数学教育家。他特别重视数学的普及教育，他的许多著作都是为普及数学教育而编写的教科书。在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"，是中国数学教育史上的一件重要文献。杨辉主张在数学教育中贯彻"须责实有"的思想，就是紧密联系实际，发展数学研究与教育，这也是中国古代数学优良传统之一。在数学方法上，杨辉主张循序渐进，精讲多练。主张熟读精思，融会贯通，在广博的基础上深入，要着重于消化。杨辉还特别重视对计算能力的培养。他十分强调习题的演算，每个学习单元都规定完成一定数量的练习，认为这样才可以"庶久而无失念"。杨辉作为一位杰出的数学教育家，在中国古代数学教育史上占有重要地位。他的先进的教育思想和教学方法，是留给后世的一份珍贵遗产。

朱世杰，字汉卿，号松庭，寓居燕山(今北京附近），是元代一位成就卓著的数学家。他曾以数学名家之身份周游各地二十余年，为中国数学留下两部优秀的数学著作——《算学启蒙》(公元1299年）和《四元玉鉴》(公元1303年）。他写书的目的在于"发明《九章》之妙以淑后学"。朱世杰在"垛积术"以及与垛积相关的内插法方面颇有造诣。他的主要成就是"四元术"的创立。把天元术加以推广，用以表示四元以内的方程或方程组，这样就出现了四元术。四元术分别以天、地、人、物表示4个未知数，叫做天元、地元、物元、人元。四元术的精华在于相消，即由该方程组经过变形得到一个一元的高次方程。朱世杰的消去法是中国数学史上一项杰出的成就。在西方，由方程f(x，y)＝0，g(x，y)＝0消去一个未知量的方法是法国数学家别朱于1764年给出初步方案，直到1779年出版的《代数方程的一般理论》才正式发表。这已在朱世杰之后400年。因此，朱世杰的工作在世界数学史上也是一个重要成果。

宋元四大家为我国古代数学史上的巅峰人物，在全世界也是屈指可数的。但宋元时期大数学家绝非仅此四人。此外如贾宪、刘益、沈括等人都作出了重要贡献，"四大家"的成就是直接以他们的成就为基础的。所以，四大家的成就代表的是当时中华民族所达到的科学文化水平。

珠算的发明和使用，也是这一时期最伟大的数学成就之一。宋元时期，由于商业的发达，四则运算成了商品市场中频繁使用的科学知识。传统的筹算法不但使用不方便，计算速度也远远不能满足需要。因此，改革运算工具就更显得迫切了。

珠算盘是人们在长期的改革实践中，由算筹的小型化和摆弄位置的固定化演变而来，经过不断地改进才逐渐臻于完善。它是广大劳动者的智慧结晶。珠算盘最迟在元末便已普遍使用了。

珠算盘不仅外形小巧灵便，而且直接与算法歌诀相配合，真正做到得心应手，形成了简单快速的珠算术。虽然现在已进入了电子计算机的时代，但是在以加减运算为主的财会工作中，因为珠算速度可以和小型电子计算器媲美，所以算盘仍保持着重要的地位。

宋元时期的数学教育和对外交流仍很发达。宋元的官立算学仍与隋唐相同。颇具特色的是私立算学不但数量比以前大增，讲授的内容较广泛，效率也比官设算学高得多。

唐宋以来，中国和阿拉伯保持着密切联系，阿拉伯商人在广州、泉州、扬州经商，哈里发与中国皇帝之间也时有使臣往来。因此，阿拉伯的历法、幻方、"格子算"、欧几里得的《原本》等数学知识传入中国，中国的十进位制、分数记法、"百鸡问题"、贾宪三角形及增乘开方法等内容也出现在阿拉伯的一些著作中。

有人把宋元时期数学的发达的原因归结为三个方面。首先，工商业和城市的发展使社会对数学的需要增加。其次，由于宋代地主阶级人数扩大，许多人终生不得仕进，所以作为六艺之一的数学有较大的吸引力。宋元四大家的著作都是赋闲时的研究成果。最后，由于数学不需要投入大量资金、人力和时间，而且成败无伤、不担风险、不触忌讳，其研究规模特别适合于小农经济。这是中国数学能持续发展的主要原因。

宋元数学虽然达到了顶峰，但也存在着严重的危机。一方面，对数学社会需要的增加，并没有导致占统治地位的社会意识的变化。数学仍被认为是"九九贱技"。数学家们在思想上受着压抑。虽然他们在社会下层受到尊重，但是当他们面对上流社会时，总难免自卑自贱。数学四大家在为自己著作写的序言中都流露了这种感情。另一方面，把数学纳入阴阳五行论的轨道是宋元时期数学的一大特点。由于受宋元时期哲学上的客观唯心论的影响，数学被导向神秘化。因此，从元末以后，中国数学除珠算以外，发展缓慢，明末以后，中国数学已经落后于世界先进水平。