老何早年数学史札记（8）：数学史上的三次逻辑危机

第一次危机：无理数悖论
* 发生时间： 公元前5世纪
* 核心矛盾： 毕达哥拉斯学派被认为是西方数理学的起源。这个学派认为“万物皆数”，万物和宇宙的本质是数字。认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比例（有理数）。毕氏创立了几何学的毕达哥拉斯定理（中国人的勾股定理）。然而，这个学派弟子希帕索斯Hippasus发现，边长为1的正方形，其对角线长度（即√2）是无理数，因为它无法表示为两个整数的比，且其十进制展开是无限不循环的 ）无法表示为两个整数之比。
* 危机本质： 几何量的不可公度性与“一切皆为有理数”信条的冲突。
* 结果：
1、建立了比例理论，通过几何方法回避了无理数的直接代数定义。
2、危机前的数域认知（毕达哥拉斯学派）：只有有理数（整数和整数之比，分数）
认为"宇宙的任何度量都是可公度的"。"自然数、整数、分数"这些概念，都被视为有理数的特例。
危机后的数域认知得到扩展：
认识到无理数的存在。数域认知扩展为实数（有理数 + 无理数），从而奠定基础可以构造现代意义上完整的"数量连续统"（康托尔连续统）。
19世纪，随着实数理论的完善（例如戴德金分割），无理数方被赋予了现代定义和逻辑基础。

第二次危机：无穷小悖论
* 发生时间： 17世纪末至18世纪
核心矛盾： 牛顿和莱布尼茨创立了微积分，但在理论基础中，“无穷小量”概念含混不清。
爱尔兰主教贝克莱提出了著名的“贝克莱悖论”，批评无穷小量在推导过程中既被当作非零量作为除数，又被当作零消去，是“消失之量的鬼魂（幽灵）”。
* 危机本质： 微积分算法的合理性与其逻辑基础之间发生矛盾。
* 结果： 19世纪6柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）等人建立了严格的极限理论，引入了 varepsilon-delta 语言，将无穷小量定义为“以零为极限的变量”，从而表面上消除了无穷小量的神秘感和逻辑矛盾。

第三次危机：集合论悖论
* 发生时间： 20世纪初（1902年）
* 核心矛盾： 康托尔创立的集合论被视为现代数学的基础。但罗素（Russell）提出了著名的“罗素悖论”：设集合 S 由一切不包含自身的集合所组成，那么问 S 集合是否包括其自身？这个问题引出自相矛盾的两种答案即悖论。这一悖论直接动摇了集合论的概念根基。
* 危机本质： 数学基础（集合论）出现了逻辑矛盾，威胁到整个数学体系的构造。
* 结果： 数学家们通过公理化来限制集合的定义。
策梅洛（Zermelo）和弗兰克尔（Fraenkel）等人建立了ZFC公理系统。
悖论本身在ZF等公理系统中被成功避免，现代数学的绝大部分工作可以建立在ZF公理系统上。

但是，1931年奥地利数学家哥德尔提出不完备定理，认为：任何数学系统都无法证明自己内在无矛盾，包括ZFC公理系统。
［库尔特·哥德尔（Kurt Gödel，1906-1978），美籍奥地利数学家、逻辑学家，被公认为亚里士多德之后最伟大的逻辑学家。
1931年发表哥德尔不完备性定理，证明任何包含算术的形式系统都必然存在真假无法判定的真命题。不完备性定理，颠覆了数学与逻辑学的基础。］
哥德尔（Gödel）不完备性定理深刻揭示了形式化系统的局限性。最终打破了“数学是具备严密性、逻辑自足自洽，完美无缺科学体系”的传统观念。

根本性影响： 现代数学家们认识到：数学不是关于客观真理的发现，而是人类理性的构造物。
数学逻辑只是在设定公理和规则下进行的形式推理游戏。
数学的“真理”在于建立逻辑自洽，而不在于必须寻求与现实世界物理实相之对应。