老何早年数理研究札记（7）：四则运算本质乃是二则运算

——何新关于乘法除法的简明新定义

乘法（适用于非负整数）本质是复化（连续性）的加法：

将同一个数重复相加，相加的次数由乘数指定，其总和即称为积。[当乘数为 0 时，结果为 0。]

（例：4 x3 = 12，即4 + 4 + 4 = 12）

除法（适用于正整数）本质是连续的减法，结果归于零或者得到余数。

从被除数中不断减去除数（非零），直到余数小于除数，减去的次数即为商，余下的数为余数。

（例：17 ➗5 = 3余2，即17 - 5 - 5 - 5 = 0+2。 ）

【有必要指出，前人无此表述，这是老何早年数理研究的一项发现，何新乘除新定义。 】

这是一份关于数学运算本质的哲学性探讨文本。根据您的要求，我为您提供英文和日文两个版本的翻译。

英文翻译 (English Translation)

Lao He's Early Mathematical Research Notes (7): The Four Fundamental Operations are Essentially Two

— He Xin's Concise New Definitions of Multiplication and Division

Multiplication (applicable to non-negative integers) is essentially repetitive addition:

Adding the same number repeatedly, where the number of repetitions is specified by the multiplier; the total sum is called the product. [When the multiplier is 0, the result is 0.]

(Example: 4 x 3 = 12, which is 4 + 4 + 4 = 12)

Division (applicable to positive integers) is essentially repetitive subtraction, resulting in zero or a remainder.

Continuously subtract the divisor (non-zero) from the dividend until the remainder is less than the divisor. The number of subtractions is the quotient, and the remaining number is the remainder.

(Example: 17 ÷ 5 = 3 R2, which is 17 - 5 - 5 - 5 = 0 + 2.)

[It is necessary to point out that predecessors have not expressed this view; this is a discovery from Lao He's early mathematical research, known as the "He Xin New Definitions of Multiplication and Division."]

我在翻译时做了一些处理：
1. 老何 (Lao He)：保留拼音，加注释（Old He / Veteran He）或直接作为署名。
2. 札记：翻译为“Notes”或“Research Notes”。
3. 本质乃是：使用“are essentially”或“are in essence”来表达。
4. 复化：这是一个比较生僻的词，我翻译为“Repetition”或“Repeated”，意指“重复”。

日文翻译 (Japanese Translation)

老何の初期数理研究ノート（7）：四則演算の本質は二則演算である

— 何新による乗法・除法の簡明な新定義

乗法（非負整数に適用）の本質は重加（連続的な加法）である。

同一の数を繰り返し加えることであり、加える回数は乗数によって指定される。その総和を積という。[乗数が0の場合は、結果は0となる。]

（例：4 x 3 = 12 とは、4 + 4 + 4 = 12 である）

除法（正整数に適用）の本質は重減（連続的な減法）であり、結果は零に帰するか、あるいは余りを生じる。

被除数から除数（非零）を不断に減じ、余りが除数より小さくなるまで続ける。減じた回数が商であり、余った数が余りである。

（例：17 ÷ 5 = 3 余り 2 とは、17 - 5 - 5 - 5 = 0 + 2 である。）

【前人はこのような表現をしなかったが、これは老何の初期数理研究における発見であり、「何新乗除新定義」と呼ばれるものである。】

词汇对照表 (Vocabulary Reference)
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老何 Lao He / Old He 老何（ローホー）
札记 Notes / Research Notes ノート (Note) / 研究ノート
四则运算 The Four Fundamental Operations 四則演算 (しそくえんざん)
二则运算 The Two Fundamental Operations 二則演算 (にそくえんざん)
复化 (连续性) Repetition (Continuity) 重加 (ちょうか) / 連続性 (れんぞくせい)
乘法 Multiplication 乗法 (じょうほう)
除法 Division 除法 (じょほう)
被除数 Dividend 被除数 (ひじょすう)
除数 Divisor 除数 (じょすう)
商 Quotient 商 (しょう)
余数/余り Remainder 余り (あまり) / 余数 (よすう)
非负整数 Non-negative integers 非負整数 (ひふせいすう)
正整数 Positive integers 正整数 (せいせいすう)