陶哲轩震撼！数学家1975年埋下的「坑」，被AI和全球网友用48小时填平了

　　新智元报道

　　编辑：编辑部

　　【新智元导读】48小时，50年数学谜题就被破解！AI与全球数学家梦幻联动，从游戏分硬币到正方形填充，层层拆解埃尔德什遗留难题，人机协作彻底引爆了数学研究新范式。

　　刚刚，AI又破解了一个数学难题！

　　Erdos#1026问题已经被攻克，且给出了正式证明。

　　而在此之前，这个问题已经困扰了数学界50年。

　　陶哲轩在Mastodon上宣布了这一消息，还在一篇博客中详细讲述了这个故事。

　　他强调，在AI的辅助下，人类团队仅用了48小时，就顺利攻克了这一难题。

　　并且，AI在此过程中带来的是全新理解，绝非搜索这么简单。

　　要知道，如果是靠传统方法，只靠数学家使用编程和文献检索，可能会需要数周甚至数月。

　　在这个过程中，AI实际上是在生成新的数学洞见，而不仅仅是检索现有文献。

　　Harmonic官网也宣布了这一消息，其AI系统Aristotle参与了此次解题过程。

　　Erdos

　　1975年，传奇数学家保罗·埃尔德什在一篇论文的角落随手写下一个问题。

　　半个世纪后，这个问题静静躺在「埃尔德什问题网站」上，编号1026。

　　谁也没想到，它会在2025年的最后一个月，被一群数学家利用AI工具，在短短48小时内彻底破解。

　　埃尔德什的原问题，读起来有点像谜语。

　　给定一串不同的实数x1,x2,…,xn，定义S(x1,…,xn)为所有单调子序列（递增或递减）的最大可能和。

　　这个函数有什么性质？

　　问题一出，大家面面相觑：这到底要问什么？是求S的表达式？还是找它和总和的比值下界？

　　2025年9月12日，问题被挂上网站时，附加了一条注释：「该问题表述较为模糊。」

　　但数学家的本能，就是要把模糊变成精确。

　　当天，网友Desmond Weisenberg提出了一个清晰的游戏化解释：

　　Alice和Bob的硬币游戏

　　Alice有N枚硬币，她分成n堆，每堆xi枚（xi可不同）。Bob可以选取一个单调的子序列（递增或递减），拿走这些堆里所有硬币。

　　问：无论Alice怎么分堆，Bob至少能拿到总硬币数的多少比例？

　　这个比例，记作c(n)。

　　从n=3到平方数猜想

　　可以先看这样几个例子。

　　很快，Stijn Cambie发现：

　　如果Alice把硬币分成k2堆，每堆差不多大，并排列成k个递减块，每块k 堆，块之间递增，那么最长单调子序列只有k堆。

　　于是Bob最多拿到1/k的比例，也即c(k2)≤1/k。

　　反过来，Wouter van Doorn用已有结果给出下限：c(n)≥(1/√2)/√n。

　　那么，√n·c(n)的极限是多少？它在1/√2和1之间。

　　第二天，Stijn手算小n的值：

　　数据虽少，但已足够让他大胆猜想：c(k2)=1/k。

　　这意味着√n·c(n)→1，Bob在n很大时几乎能保证拿到约1/√n的比例。

　　AI出手了！

　　两个月后，2025年12月7日，Boris Alexeev用AI工具Aristotle在证明辅助语言Lean中自动证出了c(k2)=1/k。

　　几乎同时，Koishi Chan给出一个优美的人类证明——「膨胀法」。

　　至此，上下界合一，猜想成功得证。

　　更巧的是，这个答案，其实早就存在了。

　　Google Scholar很快找到一篇2016年论文，其中已有此结果，并引用了更早的Wagner用「膨胀法」处理埃尔德什-塞凯赖斯定理的工作。

　　原来，数学早已悄悄解决过这个问题，只是未被链接到埃尔德什的原始提问。

　　AI登场

　　猜出完整公式

　　但故事的高潮还在后面。

　　陶哲轩决定用另一个AI工具AlphaEvolve系统探索c(n)。

　　他让AI尝试构造使S尽量小的序列，很快得到n=1到16的数值结果：

　　这些分数看似杂乱，但重新排列后，模式逐渐浮现了出来。

　　Boris从中提炼出干净公式：

　　并构造出极值序列：用「红」「蓝」两种数值的块交替排列，控制单调子序列的长度。

　　下图直观展示了该构造（a≥0的情形）：

　　而1/c(n)的图像，正是对√n的分段线性逼近：

　　连接经典

　　正方形填充问题

　　随后，Lawrence Wu指出：此问题等价于一个正方形填充问题（埃尔德什问题106）。

　　Lawrence证明：c(n)≥1/f(n)。

　　理由：对任意序列，可构造一系列正方形，它们互不重叠地填满边长为S(x1,…,xn)的大正方形。

　　下图展示了从AlphaEvolve给出的一个序列构造出的正方形填充。

　　最后一击

　　文献中的完整解

　　Lawrence再用AI深度搜索，找到了2024年Baek、Koizumi、Ueoro的论文，其中证明：f(k2+2c+1)≤k+c/k。

　　结合Praton的嵌入论证，这恰好给出：c(k2+2a+1)≤k/(k2+a)。

　　上下界再次吻合，猜想完全得证！

　　AI+人类

　　48小时极限突围

　　这个故事最让陶哲轩触动的一点是，能汇聚一群不同背景的人、文献和工具来攻克这个问题，是何等重要。

　　陶哲轩感慨道：

　　传统模式下，一两位数学家凭借简单工具，或许最终也能拼出全貌，但那可能需要数周甚至数月。而在这个协作网络中，所有关键环节在48小时内汇聚。

　　要陈述并证明c(n)的精确公式，需要基于多个观察结果，大概包括以下几点：

　　该序列可以被数值计算为有理数序列。

　　经过适当的归一化和排列后，序列中会出现肉眼可见的规律，让人能推测出序列的形式。

　　这个问题是Erdős-Szekeres定理的一个加权版本。

　　在Erdős-Szekeres定理的众多证明中，1959年Seidenberg的证明可以被解释为一种离散矩形填充论证。

　　这个问题可以被重新解释为连续正方形填充问题，实际上与Erdős问题106（关于此类填充）的（广义轴平行形式）密切相关。

　　Erdős问题106的轴平行形式最近刚被Baek-Koizumi-Ueoro解决。

　　Praton的论文表明，Erdős问题106蕴含了这个问题所需的广义版本。这个蕴含关系特指轴平行的情况。

　　正是靠着所有贡献者的通力合作以及他们使用的工具，所有这些关键线索才得以在48小时内汇集在一起。

　　如果换作传统的模式，只靠一两个数学家以及更简单的编程和文献搜索工具，虽然理论上最终也能把这些碎片拼凑起来，但这个过程会花长得多的时间（可能是数周甚至数月）。

　　另一个关键因素是Erdős问题网站上「平衡的AI政策」，它鼓励公开说明AI的使用情况，同时强烈反对隐瞒使用——

　　允许使用AI辅助编写评论，前提是：

　　（a）已对此进行公开说明；

　　（b）内容（包括数学推导、代码、数值数据及相关来源的存在性）已由用户自己在没有AI协助的情况下仔细核查与验证；

　　（c）评论篇幅在合理范围内，不过于冗长。

　　一道悬置50年的问题，在2025年的冬天，因为一次跨人机、跨时空的奇妙协作，终于画上了圆满的句号。

　　而这，可能只是一个新时代的开始。

　　参考资料：ZHB

　　https://terrytao.wordpress.com/2025/12/08/the-story-of-erdos-problem-126/