【毅言堂】中小学衔接之正、反比例关系

【毅言堂】中小学衔接之正、反比例关系

在2022版新课标第三学段（5-6年级）内容要求中，关于数量关系：

（4）在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。

（5）通过具体情境，认识成正比的量（如y/x=5）（例20）；能探索规律或变化趋势（如y=5x）（例21）；

在学业要求中，关于数量关系：

能在具体情境中描述成正比的量y/x=k（k≠0），能找出生活中成正比的量的实例；能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图，了解y=kx（k≠0）的形式，能根据其中一个量的值计算另一个量的值.

在学生七年级的时候，到底对正、反比例关系的认知如何，不妨看下面一道选择题。

题目

如图，在直线l上有定点A，B和动点C，D，其中C在线段AB上（不与A，B重合），D点在射线AB上，满足AD=3AC，则下列说法正确的是（ ）

A、AC和BC成正比例关系

B、AC和BC成反比例关系

C、AC和CD成正比例关系

D、BC和BD成反比例关系

解析

定点A，B说明线段AB长度一定，不妨记为a；

动点C，则设AC=x，则AD=3x，这里的x是变化的量；将图中各线段表示出来，其中BC=a-x，BD=3x-a，CD=AD-AC=2x，接下来根据正、反比例定义进行判断，不难得出正确选项为C.

解题思考

我们需要先回顾在小学阶段的正、反比例关系是什么？在北师大版小学六年级下册专门有一个单元《正比例与反比例》，教材内容如下：

我们从实际情境出发，分别用具体的量来说明，正比例关系是指两个量的比值是定值，而反比例关系是指两个量的积为定值；

再来看上题中的各选项，AC=x，BC=a-x，显然AC/BC这个比值中含x，这不是常数，选项A错误；

而AC×BC结果中也含x，也不是常数，选项B错误；

BC×BD结果中也含x，也不是常数，选项D错误；

只有选项C中AC/CD=1/2，是常数，选项C正确；

原本这道题到此结束，利用小学的概念完全可以理解，但是若老师“意犹未尽”，卖弄一下在八年级下和九年级上登场的正比例函数和反比例函数概念，问题反而更复杂了。

本题学生最容易产生理解错误的地方，恰恰在于对于“正”、“反”两个字的理解上，询问了答错的学生，他们无一例外地认为，正比例就是两个量一个增加，另一个也随之增加，而反比例是一个量增加，另一个随之减少；

瞠目结舌之下，随口问“谁这么教的？”

统一答案：小学

细思之下，还真有可能，毕竟在小学阶段，我们还在非负有理数的世界中打转，对于y=kx而言，k为正数，y随x增大而增大；对于y=k/x而言，k为正数，y随x增大而减小；

不得不承认，在初中学习正比例函数和反比例函数的过程中，遇到过不少这样理解的学生，哪怕数域已经扩充到了实数，这个思维定势依然存在，所以必须回顾在小学阶段，我们是如何教这两个概念的，教材上明白无误地给出了描述，在小学范围内，比值为定值的两个量，一定是一个增加，另一个随之增加，而乘积为定值的两个量，一定是一个增加，另一个减少；但这一切在引入负数之后，发生了改变，所以从中小学衔接角度看，小学阶段对于正、反比例关系的教学，严格按课标要求进行，判断是否正、反比例关系，不以增减性为依据，而要根据比值或乘积结果是否为常数为标准，这样在初中阶段，可避免学生错误的理解习惯。

在八年级下学期和九年级上学期，我们会分别学习正比例函数和反比例函数，如下图：

仅就此题来看中小学知识点上的衔接，在小学阶段，有很多数学概念是基于情境认知，描述性的定义，在没有上升到严格定义之前，需要留有“空间”，通俗点就是不要把话说死了。当然，教师在课堂上注意用语是一方面，更重要的是防止学生理解上出现“A就是B”这样的定势思维，强调“在目前阶段”，可引入适当的反例来说明“必要”和“充分”条件的区别。