“开胃菜”数学专栏第17期：用变量代换法求解微分方程

本期话题：在微分方程的理论中，变量代换方法有着广泛的应用，通过变量代换，将方程转化为相对容易解的方程类型，从而达到求解目的。例如，齐次方程、伯努利方程、欧拉方程、二阶可降阶方程等，都有固定的换元模式。但更多灵活的换元方法，主要靠经验和积累，也是一个无止境的探索，其中熟练地凑微分和函数各种变形也起着重要作用。

本期话题，给大家提供几个相对固定的换元模式，并介绍一些比较经典的换元案例，以飨读者。

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典型题

｜详细分析

自主练习

｜专题训练

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【注1】“开胃菜” 数学专栏是咱号为助力学友们攻克大学数学学习难关，特别联合在大学数学教学领域拥有深厚积淀与丰富经验的金义明老师共同打造的优质学习专栏。专栏以 “夯实数学基础、拓展解题思路、提升问题解决能力” 为核心宗旨，聚焦学生在大学数学公共基础课学习中的核心需求。无论是在课堂学习后，希望进一步巩固相关课程的核心知识点，解决知识掌握不牢固的问题；还是在解题过程中，面临思路狭窄、方法单一的困境，渴望拓宽解题视角；亦或是希望系统积累各类实用解题技巧，提升解题效率与准确性，专栏都将提供针对性的内容支持。

在推文内容定位上，专栏主要面向三类核心人群：针对考研备考学子，围绕考研数学大纲，梳理高频考点、解析经典真题，助力学子夯实考研数学基础，突破备考难点；面向竞赛备赛的数学学习爱好者，将分享竞赛常用解题思路、技巧与典型例题，帮助同学提升竞赛解题能力，从容应对赛事挑战；同时，对于希望在大学数学相关课程学习中实现进一步提升与巩固的学友，专栏也通过知识点深化讲解、易错点分析等内容，助力其稳步提升数学素养与学习成绩。

【注2】对于练习，一定不要做完、核对完答案后就不管了！这些题目都具有代表性，一般代表了一类问题，或者某个知识点的应用、或某个题型的求解思路与方法，不仅对于解题思路要理解、掌握，同时对于涉及的知识点、解题思想与方法要总结，对于其中的一些结论、结果最好能够记住。同时，对于给出的参考解答过程，要仔细推敲一下，为什么这么做？问题解决的突破口在哪里？还有没其他更好的方法，自己的方法为什么不对，或者自己想不到求解思路的主要原因是什么？最后要注意及时查漏补缺，保证在再出现类似问题时，能够重现求解思路与过程，从而保证训练的有效性！对于如何练习，可以参考推文：.

【注3】选择的例题与练习题主要源于历届考研题、竞赛题与经典教材与参考书，相关题目可能略有改动！建议（一定）自己在草稿纸上动手做完以后再参考下面给出的参考答案！更多综合、提高典题型及详细参考解答（多解）参看高数、数分综合提高练习册，点击推文链接：了解详情！

【注4】数学内容推文整理分享、阅读都不容易，费时费力更费脑！参考解答仅供参考，解答过程与思路仅代表作者对问题的理解，解答过程不一定严谨或完全正确，或者是最优的，希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们在文后留言不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过管理员邮箱、微信或QQ以图片、或Word文档形式发送给管理员，对于分享的完整思路与解答过程，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

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