Lee–Yang 定理及其应用 The Lee-Yang Theorem and applications

The Lee-Yang Theorem and applications

李-杨定理及其应用

https://diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/67410/1/TFG-Quera-Bofarull-Arnau.pdf

摘要：

我们介绍了李-杨理论，该理论将相变的研究与复逸度平面上零点的分布联系起来。我们利用浅野（Asano）收缩法证明了李-杨定理，并将其应用于一维与二维伊辛模型。我们还表明，李-杨形式体系可为超对称理论中基态数目计数这一困难问题提供一定启示。

I. 引言
统计力学的诞生为我们提供了对诸多热力学现象的力学解释。它建立了微观世界与宏观世界之间的联系，因而在物理学中具有根本性的重要意义。伊辛模型是研究相变理论最简单的模型。1924年，伊辛本人在其学位论文中证明：在一维情形下，只要温度 ，系统不发生相变。二维模型则困难得多，直至1944年，昂萨格（Onsager）才证明：在无外加磁场时，正方格子上的伊辛铁磁体在某一临界温度处会发生相变。时至今日，存在非零外磁场的二维伊辛模型仍属未解问题。

1952年，杨振宁与李政道发表了两篇论文［3］与［4］，提出了一种理解相变的新视角。第一篇论文对应本文的第一部分：我们在此建立了相变与巨正则系综配分函数零点分布之间的联系。第二部分聚焦于伊辛模型；我们采用浅野（Asano）在［5］中为海森堡模型引入的收缩方法（该方法的此处应用归功于［2］），证明了第二篇论文中提出的李-杨定理；并进一步计算出复逸度平面上零点的显式分布。在一维情形下，我们验证了伊辛的结论——即不存在相变；在二维情形下，我们得以确认二维伊辛模型仅存在一个相变点，而这一结论在昂萨格的原始论文中并未被证明。

最后，我们进一步探讨李-杨理论的其他应用，指出零点分布的研究对于超对称量子理论中基态数目的计数问题亦可发挥有趣而重要的作用。

II. 配分函数的零点

该极限的形式存在性并不明确。然而，李政道与杨振宁证明了两个定理，从而保证在热力学极限下，我们仍可恢复预期的物理行为。

李-杨理论建立了相变研究与大正则配分函数在逸度复平面中零点分布之间的联系。然而，这些分布的研究仍然是一个相当复杂的问题。在接下来的部分中，我们将讨论一维和二维伊辛模型中零点分布的性质，这恰好是一个特别简单的情况。

III. 伊辛模型和晶格气体

IV. THE WITTEN INDEX

V. 结论

• 李-杨理论将相变的研究简化为研究大正则配分函数零点的位置。然而，一般来说，这个过程仍然很复杂。

• 对于一维和二维伊辛模型，李-杨定理提供了有意义且优雅的结果，这些结果揭示了问题的仍未解决的方面。例如，它帮助我们证明了二维伊辛模型只有一个相变。

• 晶格气体和伊辛模型在数学上是等价的。

• 李-杨理论的形式主义也可以用于一些超对称量子问题，以获得有关超对称理论基态数量的信息。

原文链接：https://diposit.ub.edu/dspace/bitstream/2445/67410/1/TFG-Quera-Bofarull-Arnau.pdf