虚数 i ，要被量子力学抛弃了？

选自量子杂志

机器之心编译

作者：Daniel Garisto

如果量子世界根本不需要虚数 i，会怎样？

近日，发表于 Quanta Magazine 的一篇报道指出，一些物理学家发现，量子力学或许完全可以用纯实数的方式重写，而不影响任何实验预测。这意味着，那些贯穿近百年的复数结构，也许只是我们对自然的一种数学幻觉。

原文链接：https://www.quantamagazine.org/physicists-take-the-imaginary-numbers-out-of-quantum-mechanics-20251107/

一个世纪前，原子和基本粒子的奇异行为促使物理学家建立了全新的自然理论，量子力学。该理论一经提出便取得巨大成功。

然而，随着该理论的出现，问题也随之而来：量子力学的核心方程包含虚数 i（即 −1的平方根，）。

物理学家们都明白，i 是一种纯数学的虚构，现实中的物理量（如质量、动量）平方后不可能出现负值。但这个非真实的数字，却似乎深嵌于量子世界的核心。

在推导出包含 i的量子运动方程后，埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）曾希望未来能找到一种完全实数形式的替代方程，他在1926年写道：现在的形式无疑显得有些粗糙。然而，尽管薛定谔本人并不喜欢虚数符号，i 最终还是被保留下来，后来几代物理学家在使用这套理论时已不再质疑它。

薛定谔对他的同名方程使用了复数感到不满，他希望找到一个替代复数的方程。但以他名字命名的方程却一直沿用至今。

量子力学并不需要虚数 i

直到2021年，虚数在量子理论中的角色再次引发关注。一支研究团队提出了可通过实验验证的方法，以判断 i 是否对量子理论真正必不可少。随后两支实验团队迅速进行了复杂的实验证明，结果似乎毫无歧义地表明：量子理论确实需要 i。

论文地址：https://www.nature.com/articles/s41586-021-04160-4

然而，在2025年，一系列新的研究论文推翻了这一结论。

今年3月，来自德国的一组理论物理学家对2021年的研究提出了反驳，他们提出了一种完全等价于标准量子理论的实数形式版本。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2503.17307

随后，两位法国理论学家也发表了他们各自的实数版量子理论表述。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2504.02808

而在9月，另一位研究者从量子计算的角度重新审视这一问题，得出了相同的结论：量子力学其实并不需要虚数 i。

尽管这些实数形式的理论避免了显式使用 i，但它们依然保留了与虚数算术特性相关的某些结构特征。这让一些学者质疑：量子力学中的虚数成分，甚至现实世界本身的虚数性，是否真的被彻底消除了。

美国罗格斯大学物理哲学家 Jill North 表示：数学形式确实会引导我们对物理世界本质的推断。

不可能的数值

1637年，在荷兰郁金香盛开的顶峰时期，居住在阿姆斯特丹的笛卡尔正在研究一些方程，它们的解似乎具有不可能的数值。以方程为例，笛卡尔写道，它的解并不总是实数。

该方程的三个解分别是：2、2 − i 和 2 + i。后两者各自都包含一个实部和一个虚部，形式为 a + ib，这类数后来被称为复数。

笛卡尔当时对这种虚数持轻蔑态度，但复数后来在几何学、光学、信号分析等多个领域因其实用性而被广泛采用。

薛定谔在量子理论中虽然不情愿，但也承认复数的便利性。他提出的薛定谔方程支配着波函数的演化，波函数是一个代表量子系统所有可能状态的实体（这些状态可以像波一样发生相长或相消干涉）。薛定谔的波函数取复数值，即包含虚数成分，尽管对量子系统的实际测量结果始终是实数。

正如威廉姆斯学院的量子信息理论家 Bill Wootters 所说：量子理论实际上是第一个把复数直接放在理论核心位置的物理理论。

一种表示复数 a+ib的方式是将其视为平面上的一个点，其中 a 表示在 x 轴（实轴）上的位置，b 表示在虚轴 y 方向上的位置。每个复数都可看作一根从原点指向坐标点 (a, b) 的箭头，这根箭头称为向量。这些复数向量遵循复数的独特运算规则：例如，将其乘以 i，会使向量旋转 90 度。

正因为这些特性，复数向量成为描述波函数量子态的天然数学工具，它们同样是向量，并遵循类似的奇特叠加规律。

在 2021 年发表在《自然》杂志的一篇论文中，Marc-Olivier Renou（左）、Nicolas Gisin 及其六位合作者设计了一项实验，旨在否定任何仅基于实数的量子理论。这项实验随后确实被实施了。然而，今年的研究表明，该实验依赖于一个假设。

物理学家们时不时地尝试用实数来定义与复数等价的向量。

1960 年，瑞士物理学家 Ernst Stueckelberg 提出了一种实数形式的量子力学理论，他通过一些巧妙的数学变换将波函数从复数空间映射到实数空间，使实数能够模拟围绕虚轴旋转的效果。

然而，与复数形式的理论相比，这种实数版本显得笨重且不简洁。

例如，在复数形式下，两粒子的波函数只涉及 4 个复数；但如果使用 Stueckelberg 的实数表述方法，则需要 16 个实数才能描述相同的系统。

尽管实数量子理论显得笨拙，2008 年和2009 年的两项研究表明，使用这种理论也可以再现标准量子理论中的贝尔实验结果，这是一项检验量子理论基本性质的关键实验。

正如量子信息学家 Bill Wootters 所说：在许多情况下，其实你完全可以用实数理论来应对。但问题在于：实数形式的量子理论能否在所有情形下都产生相同的结果？

复数的使用更多是为了方便，而非必要

2021 年，包括日内瓦大学物理学家Nicolas Gisin在内的一组研究人员意识到，他们可以通过让贝尔实验变得更复杂，来检验实数形式量子理论的极限。

按照经典做法，贝尔实验涉及生成一对纠缠粒子，即它们的可能状态彼此关联的粒子，例如偏振方向相关的光子。随后，这对纠缠粒子被分开送往两位实验参与者，分别被昵称为 Alice和 Bob，他们各自测量粒子的偏振并比较结果。

顺时针自左上角起：Michael Epping、Dagmar Bruß、Anton Trushechkin、Hermann Kampermann 和 Pedro Barrios Hita 在一篇最新论文中指出，复数的使用更多是为了方便，而非必要。

然而，Gisin团队设计了一种特殊版本的贝尔实验，它包含两个独立的纠缠粒子源，并引入三位参与者：Alice、Bob 和 Charlie。

他们通过计算发现，在实数形式的量子理论中，纠缠粒子的偏振相关性存在一个上限；而在复数形式的量子理论中，这个上限更高。

这意味着，复数的使用不再只是计算上的便利或哲学选择，而是一种可以通过实验证伪的物理差异。换言之，这一设计提供了首个能够排除实数量子力学的经验性检验。

不久之后，中国科学技术大学（USTC）合肥团队按照这一实验方案进行了测试，结果显示：纠缠光子之间的相关性远远超过了实数理论所允许的上限。这似乎表明复数在描述量子态时是不可或缺的。

然而，即便这个在统计上以压倒性的结果出现，质疑声仍未平息。

德国航空航天中心物理学家Michael Epping 表示：复数其实只是两个实数加上一套计算规则。那为什么不能仅用实数来描述量子力学呢？

物理学家 Timothée Hoffreumon（左） 和 Mischa Woods 在他们最新论文的标题中更是直言：量子理论并不需要复数。

法国里昂高等师范学院物理学家 Mischa Woods 与巴黎萨克雷大学物理学家 Timothée Hoffreumon ，他们同样对此持怀疑态度。

在 2021 年的那篇论文中，Nicolas Gisin 及其同事对所谓的张量积做出了一个关键假设。这是一个数学运算，用来把描述 Alice 粒子和 Charlie 粒子的复杂向量组合成一个纠缠态。

Gisin 团队假定，实数版本的量子理论也会使用与复数理论相同的张量积数学形式来结合量子态。

然而，法国和德国团队认为，这种张量积形式对于实数理论来说是错误的规则。他们打了一个比方：在平面空间中，直角三角形的斜边长度总是满足a² + b² = c²。

但如果将这个三角形画在一个球面上（即曲空间中），这个公式就不再成立。

他们引用了近期提出的一种观点：标准的张量积实际上只是更一般的向量组合规则的一种特殊情况。基于这一思想，两支团队发展出新的组合规则，从而建立了完全实数化的量子理论，而这种理论在实验预测上与传统的复数量子理论完全一致。

与此同时，量子计算领域的最新进展也表明，复数并非不可或缺。

量子计算机通过逻辑门来操控量子比特。其中一种常见的逻辑门叫做 T 门（T gate），它会让表示量子比特状态的向量在复平面上旋转。

而在今年 9 月，来自 Google Quantum AI 的量子计算专家 Craig Gidney 找到了一种方法，可以从任何量子算法中完全移除 T 门，以数值方式证明了量子计算并不需要复数的存在。

复数在简洁性和自然结构上依然强势

实数形式量子理论的可行性，引发了许多耐人寻味的问题。其中最核心的一个是：为什么它要复杂得多？

这个问题几乎伴随着量子力学的诞生而出现。

早在 1920 年代，薛定谔就曾尝试使用实值波方程，但最终不得不转向复值方程，因为正如他在笔记中所写的：在计算上，复数形式的方程要简单得多，几乎令人难以置信。

如今看来，量子理论似乎并不显式需要虚数 i，但薛定谔所发现的那种自然的简洁性可能依然存在。

来自中国科学技术大学、参与过Gisin团队定制版贝尔实验的实验物理学家陆朝阳表示：复数量子理论由于拥有自然的张量积形式，依然更加简洁、优雅、并且在数学上更直观。

威廉姆斯学院量子信息理论家 Bill Wootters 也指出：即使你把量子理论完全翻译成实数形式，你仍然能看到复数运算的特征印记。

那些解放了量子理论、让它摆脱复数的研究者们，也不得不承认：复数确实是量子理论的天然匹配者。

实数理论中虽然不再包含虚数 i，但它们仍旧复制了 i 的核心功能，旋转向量的能力。

正如德国物理学家 Anton Trushechkin 所说：我们实际上是用实数去模拟复数。

哲学家、物理学理论家 Jill North（美国罗格斯大学）同意陆朝阳的观点：即使复数并非严格必要，但它们确实让量子力学的形式显得异常贴切。

罗格斯大学的物理学理论家Jill North提出疑问：为什么复数如此适合量子力学？

North的研究目标是要找出量子力学中特有的某种性质，正是这种性质使得复数与量子世界之间有着如此自然的契合。她提出，一个可能的候选就是自旋（spin），一种没有任何经典对应物的量子粒子属性。

然而，即便在实数理论中，复数的痕迹依然挥之不去。一些研究者因此保持谨慎态度，关于虚数 i 的终结的说法，也许被夸大了。

英国牛津大学物理学家 Vlatko Vedral 表示：你当然可以用各种方式去书写它们，但无论如何，它们的乘法规律都必须与复数完全一致。Vedral希望找到的是一种更简单的公理体系，一种能让理论物理学家从更直观的原则重新推导出量子力学的新框架。

Vedral 总结道：我们至今没有找到一种真正不同于 100 年前的量子力学替代表述。问题是为什么我们仍无法超越它？