《用初等方法研究数论文选集》连载 014 .卡米查尔数

《用初等方法研究数论文选集》连载 014

014.卡米查尔数

卡米查尔数（Carmichael number）是指一类特殊的合数，它们必须满足以下条件：这些数都是正整数，并且可以表示为三个不同素数的乘积，其中每个素数都只出现一次，即不包含任何素数的平方或更高次幂。

用数学公式来表示，即设 Nh 为一个合数，它可以被分解为三个互不相同的素数 p、q、r 的乘积，写作 Nh = p × q × r。

举例来说，561 就是一个典型的卡米查尔数，因为 561 = 3 × 11 × 17，这三个因数都是素数，并且互不相同。

尽管这类数已经被数学家广泛研究，但至今仍然存在一个悬而未决的重要问题：

在所有的正整数中，卡米查尔数是否无穷多？也就是说，是否存在着无限多个这样的合数，它们都是三个不同素数的乘积？这个问题在数论领域引起了持续的探讨，但目前尚未有明确的结论。

看下图，

从图中我们可以观察到，他们所提出的解决办法，其核心理论基础依然源自于经典的素数定理，并试图通过由此推导出的相关公式来解决问题。然而，尽管他们付出了相当的努力，最终却未能成功地攻克这一难题。现在，通过应用Ltg-空理论中的N+1空间概念，我引入了一个新的解析框架。具体来说，利用表达式Nh =a(b+1) + b，就能够以一种更为简洁和直接的方式来回应并解决这个问题。这一方法不仅扩展了原有的思路，还提供了更强的理论支持与清晰的解决路径。

使用N+1空间，下图，

合数项公式的表达式为Nh = ab + a + b，

其中 a 和 b 是大于或等于 1 的正整数。

若在该公式的两侧同时加上 1，可以得到 H = Nh +1 = ab + a + b + 1。经过整理，这一等式可以表示为：

H = (a+1)(b+1)

由于 a 和 b 的取值范围是正整数，因此 a+1和 b+1 的取值分别为 2, 3, 4, 5, …，即覆盖了所有大于等于 2 的正整数。

因此，H 总可以表示为两个大于等于 2的正整数的乘积。这表明，H 总是一个合数，且可以分解为两个因数的形式。

进一步分析可知，由于 a 和 b 可以取任意正整数，因此 (a+1) 和 (b+1) 的乘积能够生成无穷多个不同的合数。特别地，如果 a+1 和 b+1 本身是素数，那么 H 是两个素数的乘积；如果其中一个是合数，那么 H 可能由更多素数相乘得到。

事实上，由于素数有无穷多个，不仅存在无穷多个由三个素数相乘得到的合数，还存在无穷多个由四个、五个、六个甚至更多素数相乘构成的合数。也就是说，对于任意大于等于 2 的整数 k，都存在无穷多个合数可以表示为恰好 k 个素数的乘积。这进一步说明了合数在正整数中具有极其丰富的结构和分布特性。

以上卡米查尔数问题已得证。

运用Ltg-空间理论以及“合数项公式”对素数分布规律进行深入研究，在理论深度与适用范围上均明显优于单纯依赖素数定理及其相关公式与理论体系。相较于素数定理在宏观层面提供的渐进分布描述，Ltg-空间理论能够从更高维度的数学结构出发，揭示素数在数论体系中的内在关联与深层性质，而“合数项公式”则进一步提供了具有构造性和可操作性的分析工具，能够更精确地捕捉素数分布的局部特征与异常行为。

因此，无论是从数学严谨性、解释能力还是实际应用潜力来看，基于Ltg-空间与“合数项公式”的研究路径都展现出更为强大的理论优势与分析效能。

本文特别感谢WPS AI的鼎力相助！

2025年11月8日星期六