一维小惯性随机动力学的动力学描述

一维小惯性随机动力学的动力学描述

Kinetic description of one-dimensional stochastic dynamics with small inertia

https://arxiv.org/pdf/2510.08502

我们研究用于描述具有小惯性的随机动力学的单变量方法。
我们所处理的基本模型包括：在具有线性耗散项的情况下，描述被动布朗粒子和相位单元（相位振子、转子、超导约瑟夫森结）的有效惯性系统；以及在具有非线性耗散的情况下，描述活性布朗粒子的系统。
通过消除一个快变量（速度），可将系统状态的描述简化为单一变量，并以四种表示形式进行表述：矩（moments）、累积量（cumulants）、厄米函数基（the basis of Hermite functions）以及后者的累积量形式变体。
这种消除方法为线性耗散情形下的过阻尼极限和活性布朗粒子情形下的“过活性”（overactive）极限提供了严格的数学描述。
对于前者，我们推导出一个低维方程组，该方程组将Ott–Antonsen假设推广至具有小有效惯性的系统。
对于后者，我们推导出一个一维的类福克–普朗克（Fokker–Planck）方程，其中包含一个受迫漂移项和一个有效扩散项，而标准的二维/三维机制在此情形下无法适用。
在所考虑的四种表示形式中，截断的方程链被证明在小但有限惯性情形下对数值模拟具有实用价值。

I. 引言

在高耗散率极限（即过阻尼系统）下，系统动力学的数学描述通常可简化为单变量。该变量可以是粘性介质中力学系统的坐标（如布朗粒子的情形）[1–3]，也可以是周期性自持振子的振荡相位[4,5]，因为在后一种情形中，偏离极限环的横向扰动衰减足够快，可忽略不计。然而，在具有δ相关噪声的随机系统中，这种简化变得非平凡：在力学系统中，由于快速涨落的存在，惯性项对快过程而言并不小[1–3,6–8]；而在振荡系统中，偏离极限环的扰动也不可忽略[9–11]。在振荡系统的相位方程中，通常还会出现类似惯性的项，这使得系统动力学复杂得多[12–23]。

小（趋于零）惯性极限的过渡问题，换句话说，即快变量（速度）的绝热消除问题，已被广泛研究，包括针对被动布朗粒子[1–3,6–8,24]以及某些类型的活性布朗粒子[25]的情形。后一框架也被证明有助于理解势场中“过活性”（overactive）布朗粒子的行为[26,27]。

最近，基于所谓“圆周累积量”（circular cumulants）的形式体系，提出了一种构建振子群体集体动力学低维约化模型的系统性方法[28–30]。该方法推广了Ott–Antonsen假设[31,32]，而后者本身建立在Watanabe–Strogatz部分可积性理论[33–36]的基础之上。将圆周累积量形式体系应用于具有不可忽略惯性的系统，需要对快变量消除问题的可能方法进行系统分析。此外，对于“群振子”（swarmalators）[37,38]——即空间动力学与内部自振荡相互耦合的活性单元——发展平均场理论也具有重要意义。圆周累积量方法在构建此类理论方面可能卓有成效。

本文对快变量消除问题进行了详细分析，重点探讨非常规方法以及圆周累积量形式体系的应用潜力。从数学上看，这比针对两个变量联合分布的普通矩或累积量形式体系更为复杂。首先，这两个变量可能具有不同的几何性质：快变量始终定义在无限直线上，而“常规”变量在相位振子情形下则是循环的（周期性的）。其次，对于快变量和常规变量，其潜在的宏观约化所依赖的极限情形也完全不同。这种额外的复杂性为各种可能方法在技术细节上提供了更多选择。

本文结构如下：第二节中，我们构建了具有小惯性的随机动力学数学模型，概述了Ott–Antonsen理论和圆周累积量形式体系（第II A节），并评估了速度矩的标度律（第II B节），这些标度律对后续章节的分析有所帮助。针对适用于小惯性振子和被动布朗粒子的线性耗散情形，我们详细分析了矩表示（第III A节）、累积量表示（第III B节）、厄米函数基表示（第III C节）以及厄米基的累积量形式变体（第III D节）。第四节中，我们构建了活性布朗粒子的矩和累积量表示，处理快变量消除问题，并推导出一维运动中的受迫漂移项和扩散项。第五节将本文的分析与结果置于该领域已有文献的背景之下进行讨论。第六节中，我们推导出一个低维模型约化方法，将Ott–Antonsen假设推广至具有小惯性的振子群体，并检验其精度与实用性。结论总结于第七节。

II. 具有惯性的布朗粒子与相位振子群体的动理学描述

本文所进行的分析适用于具有小有效惯性的布朗粒子和相位单元。我们考虑包含惯性的朗之万方程：

其中，μ 是布朗粒子的质量 [39–41]，或对超导约瑟夫森结等系统而言是动力学惯性的一个度量 [23]，某些电力网格模型等亦同；F(φ, t) 为确定性力，σ 为噪声幅度，ξ(t) 为归一化的 δ 相关高斯噪声：⟨ξ⟩ = 0，⟨ξ(t)ξ(t′)⟩ = 2δ(t−t′)。对于许多实际的物理系统，无量纲参数 μ 很小，但在 δ 相关噪声的情形下，极限 μ → 0 并不对应于简单地舍弃朗之万方程（1）的第一项。事实上，对于 φ = ⟨φ⟩ + φ̃ 的涨落部分（其中 ⟨⋯⟩ 表示对噪声实现取平均），在存在此类噪声的情况下，可得 |φ̃̇| / |φ̃| → ∞；因此，对于任何小但有限的 μ 值，方程（1）第一项的参考值相对于第二项的背景参考值而言无限大。在统计物理与热力学中，这类问题中取极限 μ → 0 被称为“快变量消除问题”[1–3]。

在转向本文主要分析之前，我们想提及本研究的一个重要动因——近期提出的圆周累积量形式体系 [28–30]。在此形式体系框架内，Ott–Antonsen 理论 [31, 32] 在非理想情形（即原始理论条件被破坏的情形）下的推广成为可能。小惯性的存在正是一个重要的非理想情形特例。在我们的分析中，我们将始终关注圆周累积量表示法在惯性存在及其微小性导致原始 Ott–Antonsen 理论适用条件被破坏的问题中的应用，并由此引出构建微扰理论的问题。

A. 圆周累积量表示与 Ott–Antonsen 理论

此处我们简要概述 Ott–Antonsen (OA) 理论及其与本工作相关的内容。OA 理论适用于形如 F(φ, t) = ω(t) + b(t) sin φ + c(t) cos φ 的正弦型作用力，或者等价地写作 F(φ, t) = ω(t) + Im[2h(t)e^(-iφ)]，其中 2h(t) = -b(t) + ic(t)。这种形式出现在许多经典的非线性动力学问题中，例如 Kuramoto 集合体 [5]、超导约瑟夫森结链 [33, 34]、耦合活性转子集合体 [44]、theta-神经元和二次积分发放神经元 [45, 46]。对于不含惯性项且具有正弦型 F(φ, t) 形式的方程（1），

对于大量具有独立噪声输入 ξ(t) 的相同振子 φⱼ（满足方程 (2)），量 aₙ(t) = ⟨eⁱⁿφ⟩ 也是 Kuramoto–Daido 序参量 [5,47]（当 n=1 时，我们得到标准的 Kuramoto 序参量 [5]）。从圆周上随机变量的统计学观点来看 [48]，aₙ 可称为“圆周矩”。

当 σ = 0（无个体噪声）时，无穷方程链 (4) 允许试探解 aₙ = (a₁)ⁿ（n ≥ 0），这被称为“Ott–Antonsen 试探解”。利用此试探解，对所有 n ≥ 1 我们得到相同的方程：

这个描述 Kuramoto 序参量动力学的精确低维方程是 OA 理论的主要成果，并使得在非线性动力学中获得重要解析结果成为可能。

即使在存在明显小参数（例如 σ）的情形下，将 OA 理论推广至非理想情形的问题，在 2008 年开创性工作 [31] 发表后仍持续了十年之久，因为在圆周矩 aₙ 的表示中，即使对 OA 试探解 aₙ = a₁ⁿ 的微小偏离，也无法给出对解的明显小修正层次结构。在文献 [28] 中，引入了所谓“圆周累积量” κₙ 的表示；κₙ 与圆周矩通过递推公式相关联（见附录 B）。

具体而言，κ₁ = a₁ 且 κ₂ = a₂ − a₁²。递推公式 (6) 与传统矩和累积量的对应公式不同，因为对于圆周累积量采用了不同的归一化方式。传统的归一化会给出 κₙ′ = (n−1)! κₙ。选择这种非传统的归一化是可接受的，一方面是因为 κₙ 并非真正的累积量类比物，仅具有形式上的相似性；另一方面，在此归一化下，κₙ 的动力学方程具有最简形式。

在圆周累积量的表述中，OA 试探解对应一种非常简单的解的形式：κ₁ = a₁，κₙ≥₂ = 0；而原始理论适用性的微弱偏离会产生 κₙ 小量的层级结构，从而允许构建微扰理论。该层级的具体形式取决于弱适用性偏离的具体形式 [28,49,50]，但总能允许人们针对小参数展开。例如，在存在噪声（σ ≠ 0）的情形下，对式 (4) 可得 [28]：

无限方程链（7）不能被截断，因为 κₙ 的动力学受到 −n²h*κₙ₊₁ 项的驱动。然而，对于小的 σ，该方程链（7）会产生 κₙ ∝ σ²⁽ⁿ⁻¹⁾ 的小量层级结构，从而允许构建具有指定精度的微扰理论。主导阶修正具有实际重要性；这些修正完全由方程链（7）的前两个方程（n = 1, 2）提供。通过令更高阶累积量 κ₃ = 0，可形式上截断该方程链。这给出了 Ott–Antonsen 理论的二阶圆周累积量推广：

其精度已在文献 [29] 中得到充分检验。

小惯性的存在是原始 Ott–Antonsen 理论适用条件被破坏的一个特殊且重要的非平凡情形。

B. 当 μ → 0 时速度矩的渐近标度律

布朗粒子的微观速度矩，或振子的 φ̇ 矩，在 μ → 0 时发散。理解这种发散的渐近规律有助于在后续章节中构建关于 μ 的展开式。为推导这些标度律，我们将速度分解为平均部分与涨落部分：φ = ⟨φ⟩ + φ̃（其中 ⟨φ̃⟩ = 0），并代入朗之万方程 (1)。可得

III. 具有惯性的被动布朗粒子与相位振子

对于含惯性的朗之万方程（1），概率密度 ρ(v, φ)（其中 v ≡ φ̇）的演化由福克–普朗克方程（FPE）所支配：

其中，φ 可根据需要定义在旋转参考系中 [51]。我们的目标是消除速度变量 v，并描述单一变量 φ 的有效动力学。我们考察了四种可能的方法来完成这一任务。方法的多样性源于圆周矩与累积量表示之间的差异（见第 II A 节）。

A. 福克–普朗克方程的矩表示法

因此，我们得到了一个关于 W₀ 的标准福克–普朗克型方程，而所有更高阶的 Wₙ≥₁ 均可从 W₀ 以平凡方式计算得出。需要注意的是，方程（28）的推导依赖于方程（24）–（26）的应用。因此，若处理有限小 μ 情形下无限方程链（20）–（23）的截断问题，则“快变量的绝热消除”[1–3] 对应于在前三个方程之后进行截断。

1. 修正的斯莫卢霍夫斯基方程（μ¹ 修正项）

此处我们推导对式（28）的 μ¹ 修正——即所谓的修正斯莫卢霍夫斯基方程 [2,6]。保留对 W₀ 的 μ¹ 修正项，可以从无限方程链（20）–（23）中得到：

1. 高阶修正项

快变量的基本绝热消除需要考虑前三个矩 w₀、w₁、w₂。对于小 μ 的一阶修正，需要引入 w₃ 和 w₄。对由方程（12）–（14）构成的方程组（变量为 w₀, w₁, ..., w₂ₘ₊₂），采用形式闭合条件 w₂ₘ₊₃ = 0 进行截断，可获得精度阶数为 μᵐ 的结果。若采用奇数阶最后一非零元素的形式闭合（即 w₂ₘ₊₂ = 0），在 μ → 0 或非常长的级数（m ≫ 1）情形下，该截断展开仍收敛；但在此情况下，精度阶数显著下降。

在图1(a)和图2(a)中，理论分析所得到的结论通过具有小惯性和噪声的 Kuramoto 集合体的数值模拟结果得到了验证 [13]。该集合体对应于方程（1），其中：F = ω + Im(2he⁻ⁱφ)

且 h = εa₁/2，其中 ε 是耦合系数。所绘制的数据是针对 F = 0.5 + 1.8 sin φ 计算得出的，这对应于自然频率 ω = 0.5 的振子亚群体，在自然频率呈双峰分布（带宽为1）、噪声幅度 σ = 1、耦合强度 ε ≈ 3 的总体中自组织形成。对于这些参数值，Kuramoto 序参量实部 Re(a₁) ≈ 0.6。在图1(a)中，我们明确考虑了标度关系 Wₙ ∝ √n!：使用 L¹ 范数 ||Wₙ(φ)|| ≡ ∫₀²π |Wₙ(φ)| dφ，并在图中绘制量 ||Wₙ|| / √n!，其取值范围从 0.15 到 1，相对于 n 从 0 到 50 时 √n! 的变化背景而言，这是一个较小的波动。

B. 累积量表示法

将方程组（12）–（14）关于 wₙ 重写为

这与方程（28）相同[参见方程（46）与（34）等价性的解释]。

综上所述，对于有限小的 μ，累积量方程（40）–（41）比矩方程 wₙ 更为冗长。然而，当 μ → 0 时，Kₙ 的收敛性质优于 wₙ。在 Kₙ 和 wₙ 表示下进行速度的绝热消除均需前三个方程。此外，对斯莫卢霍夫斯基方程的 μ¹ 修正，在矩表示中已需要 5 个元素 wₙ（参见文献 [6] 中的多维情形），而在累积量表示中，仅前三个元素 K₀、K₁、K₂ 即已足够。一般来说，μᵐ 阶修正要求达到主导阶精度时需考虑 Kₘ₊₁，即必须考虑前 m+2 个累积量；而采用 wₙ（或 Wₙ）表示时，则必须考虑前 2m+3 个矩。在图1(b)和图2(b)中，所提出的理论结论通过具有小惯性和噪声的 Kuramoto 集合体的数值模拟结果得到了说明和印证。

D. 厄米函数基下累积量表示的类比形式

我们来构建速度变量 v在厄米函数基表示下的累积量表示类比形式。
对于生成函数

方程（64）等价于方程（34）[参见方程（46）后的解释]。

对于系统（62）–（63），χₙ ∼ μⁿ/²；μᴺ 近似要求在 χₙ₊₁ 之后截断。在此情形下，两种表示法（Wₙ 或 χₙ）之间并无明显的决定性优势：在 χₙ 表示下，方程形式稍显冗长。本节中，通过级数 Wₙ(φ, t) sⁿ/n! 定义生成函数 f_W(s, φ, t) 存在显著不便，因为该定义会导致 f_W 的演化方程中出现 ∂ₛ⁻¹f_W 项。然而，∂ₛ⁻¹f_W 项无法用 χₙ 的简单且规则的和来表示。在图1(d)和图2(d)中，所提出的理论结论通过具有小惯性和噪声的 Kuramoto 集合体的数值模拟结果得到了说明和印证。

IV. 活性布朗粒子的矩与累积量表示

A. 加性噪声情形

考虑以下朗之万方程：

无量纲系数 γ₃ 和 γ₅ 的微小性是显著的。

一般来说，活性布朗粒子系统（69）的数值模拟需要冗长的展开级数，并可能遭遇数值不稳定性。为应对这些挑战，本文采用文献 [58] 中对指数时间差分法 [59] 的改进版本，该方法可实现对“刚性”系统 [60, 61] 的高精度与高性能数值模拟。在图3中，展示了与图1和图2中相同的力 F，但采用非线性耗散律（67）时的数值模拟结果。截断后的矩方程链在足够多元素的情况下，其数值模拟呈现出规则行为，这与理论渐近律（77）–（78）一致，尽管当 μ → 0 时各元素 wₙ 快速增长。

可以推测，累积量表示法的应用主要对那些快变量分布接近高斯分布的系统有效。被动布朗粒子的情形即为此类系统的典型例子，因为涨落–耗散定理 [62–64] 对被动布朗粒子成立，且要求在统计稳态下分布为高斯型。对于那些主导耗散项与涨落项相匹配的活性布朗粒子，也可合理预期其分布接近高斯分布。

V. 与文献中已有结果的比较

本节并非全面的文献综述；此处我们将我们的分析及推导出的结果置于该领域一些相关参考论文和书籍的背景中进行讨论。

在文献 [25] 中，针对被动布朗粒子和在平面上具有近似恒定推进速度的活性粒子两种情形，分析了速度（或惯性项）的绝热消除问题。第一种情形的分析仅为说明性目的；在文献 [25] 的第2.2节中，不存在依赖于 φ 的力（在文献 [25] 中表述为“x-依赖”），计算仅限于速度的前三个矩，且忽略了 μ 的线性修正项。对于第二种情形，粒子扩散与速度方向的随机变化相关：在惯性趋于零的极限下，粒子速度涨落的影响相对于速度角动力学的背景而言消失。除了文献 [25] 中非线性形式导致的速度值近似恒定这一事实与本文方程 (67) 所描述的情形不同之外 [27,55–57]，更重要的是，本文推导出的方程 (119) 描述了一维设置下两个推进方向之间随机切换所引起的扩散。这种机制需要比与速度角连续随机游走相关的扩散机制更高阶的 μ 展开（μ ≪ 1）。

在文献 [3]（第六章 B 节）和文献 [1]（第七章）中，被动布朗粒子方程中的 μ¹ 修正项被忽略。当 μ → 0 时，速度矩的标度律未予考虑。

在文献 [2] 中，第6.4节（快变量的绝热消除）和第6.4.1节（算子与投影算子的抽象表述）的推导对应于对 w₀ 和 w₁ 的计算，但忽略了 w₂ 的 μ¹ 修正项。在文献 [2] 的第6.4.2节中，Gardiner 推导了 w₀ 的演化方程。在第6.4.3节中还指出，所推导的方程在 t ≫ μ 时成立；同样的结论也可应用于方程 (30)–(31)，其中我们忽略时间上的边界层 t ∼ μ。在第6.4.5节中，Gardiner 构造了一个关于 μ 的正则展开，并给出了布朗运动特例下的方程：

就本文而言，该方程写作：

与方程 (34) 相比，唯一缺失的项是 ∂ₜF 项，这是因为 Gardiner 仅考虑静态势作为力 F 的来源。方程 (120) 是一个修正的斯莫卢霍夫斯基方程。

在文献 [7] 中，原始的随机方程形式比本文更一般、更复杂；另一方面，它们服从非线性耗散律下的涨落–耗散定理及其他推广（这排除了活性粒子在理论范畴内）。在文献 [7] 的第 III.B 节中，考虑了方程 (1) 的情形，但未包含 μ¹ 修正项。

在文献 [6] 中，推导出了类似方程 (34) 的方程，但包含了 ∂ₜF 项；此外，对于任意空间维度，还得到了 ∂ₜ²F 项（见文献 [6] 第160页方程 (26)）。其推导过程等价于计算 w₃ 和 w₄。

VI. 应用于具有小惯性的噪声振子群体的集体动力学

对于一类重要的系统，其作用力形式为 F(φ, t) = ω(t) + Im[2h(t)e⁻ⁱφ]，在小惯性和弱噪声条件下，修正的斯莫卢霍夫斯基方程 (34) 可在傅里叶空间中写出：

A. 时间尺度与参数小量的条件

对于具有有效惯性的被动布朗粒子和相位振子，其参考动力学速率（时间）尺度由三个数值决定：1/μ、|F|、σ²。在表达任何模型约化适用性条件的不等式中，必须使等式两边的这些数值组合具有相同的量纲。这也可以表述为原始方程 (1) 的标度不变性，即该方程在以下重标度变换下保持不变：

其中 η 为任意正数。因此，所有以不等式形式表达的等式和条件也必须在此重标度变换下保持不变。

特别地，对于包含 μ¹ 修正项的修正斯莫卢霍夫斯基方程，惯性小量的条件为：

μ |F| ≪ 1； (127)

对于处于低同步状态的振子群体，该条件简化为 μ |ω| ≪ 1。后一限制阻碍了修正斯莫卢霍夫斯基方程及其相关方法在宽带和重尾频率分布情形下的严格分析应用。

对于 CC 方法及对无限方程链的少量 CC 截断，噪声强度在形式上要求很小，即 σ² ≪ X，其中 X 是某个逆参考时间的量纲参考值。在零惯性情形下，唯一的其他时间尺度是 1/|F|；因此，标度不变条件必须写为：

σ² ≪ |F|。 (128)

在非零但小惯性的情形下，基本条件是 (127)；将此条件与噪声弱性条件 (128) 结合，可得到不等式的层级结构：

B. 与弱同步极限下精确解析解的比较

在文献 [19] 中，针对圆周矩（CM）的无限方程链，推导出了修正斯莫卢霍夫斯基方程的时间无关解析解。但 CM 解无法用于稳定性分析，且对集体振荡状态不敏感。2CC 模型（124）–（125）可用于研究这两种情形。可通过与解析解比较来检验其准确性。值得注意的是，对于未截断无限方程链的 CM 方法，限制条件为 μ|F| ≪ 1，而附加条件 μσ² ≪ 1 则过于苛刻。然而，截断 CC 展开式的适用性要求满足 (129)。

本节中，我们讨论 h → 0 且 Kuramoto 序参量较小（可为有限值）的情形。在此情况下，条件 (129) 简化为 μσ² ≪ μ|ω| ≪ 1。允许的 ω 值范围是有界的，这会影响结果精度，具体取决于频率分布的宽度。对于窄分布，在接近集体模式激发阈值的区域，2CC 结果会偏离 CM 解。对于更宽的频率分布，两种方法的结果更为接近，但随着分布宽度进一步增加，两种方法均会逐渐偏离含惯性的原始福克–普朗克方程的精确解。另一方面，当 ω = 0 时，2CC 约化仅在 |h| 足够大（但仍小于 1/μ）时可靠准确——即对应于中等程度的同步；而在相变阈值附近，即使该误差的幅值可能很小，仍会出现系统性误差。

让我们通过一个具体例子明确说明这一点：我们将文献 [19] 中推导出的时间无关解析解，与方程 (124)–(125) 在 h → 0 时的渐近时间无关解进行比较。解析解展开的前两项 a₁ = κ₁ [19] 在 h → 0 时为

将式 (130) 与式 (131) 对比可见，h 的线性项完全相同，但 h³ 项因贡献 ∝ μσ² 和 ∝ μ²ω² 而不匹配——这属于层级关系 (129) 中更高阶的小量。

h 的线性和三次项提供了关于同步化转变的重要信息。特别是，Kuramoto 转变的临界耦合值 ε_cr 由 h 的线性项系数对 ω 的积分给出。例如，对于自然频率分布为 g(ω) 的 Kuramoto 集合体，有 h = εR/2 且 R = ∫g(ω)a₁(ω)dω。但转变类型（亚临界或超临界）由 h³ 项系数对 ω 的积分符号决定。因此，由于误差 ∝ μσ²，2CC 模型约化会给出有偏的临界惯性值 μ*，此时转变类型发生变化。例如，对于洛伦兹分布 g(ω) = γ/[π(γ² + ω²)]，采用 CM 解计算得到的临界值为 μ* = σ²/(γ² + 3σ²γ)，而 2CC 模型约化则给出 μ* = σ²/(γ² + 3σ²γ + σ⁴)。对于双峰分布 g(ω) = [δ(ω − γ) + δ(ω + γ)]/2，CM 解给出的临界惯性为 μ* = 2σ²(σ⁴ − 2γ²)/[γ²(γ⁴ + 13σ⁴)]，而 2CC 模型给出 μ* = 2σ²(σ⁴ − 2γ²)/(γ⁴ + 9σ⁴γ² + σ⁸)。当 γ ≫ σ² 时，2CC 模型的结果与 CM 解析解完全一致。因此，CC 方法在 σ² ≪ γ ≪ 1/μ 条件下可用于严格分析，否则仅可视为近似方法。

高程度的同步要求 |a₁| = |κ₁| ≈ 1，因而 |κ₂| 很小；通常可观察到高阶 CC 快速衰减 [30]，此时少量 CC 约化变得精确。本节讨论的情形是 |h| 较大，此时 2CC 解的误差再次变小。但请注意，|h| 进一步增大至 |h| ∼ 1/μ 时，修正的斯莫卢霍夫斯基方程将不再能准确近似含惯性的原始福克–普朗克方程。

最后，为了说明条件 μ|ω| ≪ 1（或 μγ ≪ 1）的重要性，我们比较线性项的系数：

该系数被绘制为均匀分布 g(ω) 在区间 [−γ, γ] 内的分布半宽 γ 的函数。对于小惯性情形，根据修正的斯莫卢霍夫斯基方程，临界耦合在有限分布宽度下会趋于无穷大（σ²/ε_cr = 0），这在现实中不会发生。当 γ ≳ 1/μ 时，与精确解的偏差变得显著。

C. 双峰分布

本节中，我们采用 2CC 模型 (124)–(125) 来研究具有双峰频率分布 g(ω) = [δ(ω − γ) + δ(ω + γ)]/2 的群体中的相变。具体而言，方程 (124) 和 (125) 分别针对每个子群体（ω = ±γ）写出，并通过 h = ε[κ₁(ω = +γ) + κ₁(ω = −γ)]/4 相互耦合。由此得到的 8 变量系统（两对耦合复数方程）通过数值方法求解。对于双峰频率分布，不同全局同步水平之间的相变图景由 Kuramoto 序参量 R 定量刻画，在无惯性情形下已得到充分研究 [70–73]。某些时间无关态是振荡不稳定的，人们可观察到稳定的集体振荡。振荡不稳定性和集体振荡均可在低维 2CC 模型框架内进行研究，但无法用文献 [19] 中发展的时间无关宏观态解析 CM 解法来研究。此外，包含 h₁ 的 2CC 模型使我们能够处理随时间变化的 h（因而也对应于随时间变化的 a₁(ω) 和 R）。在图5中，我们报告了宏观态的相图；并绘制了全局 Kuramoto 序参量 |R| 随 σ²/ε 的变化关系。

可以看出，对于较小的序参量值，时间无关解能被 2CC 模型准确描述。对于较小的 γ/σ² 值，中等同步水平（0.5 ≲ |R| ≲ 0.8）时出现偏差；2CC 方法低估了这些状态下的惯性修正。对于较大的 γ/σ² 值（图5e），2CC 模型能准确再现修正斯莫卢霍夫斯基方程的稳定时间无关解。最后，对于很大的 γ/σ² 值（图5f），2CC 模型的解与修正斯莫卢霍夫斯基方程的解在实际意义上完全相同，但两种模型都成为含惯性原始福克–普朗克方程的不准确约化。特别地，在 γ/σ² → 0 极限下，惯性引起的 Kuramoto 转变点偏移消失（即 ε_cr = 4σ²），而修正的斯莫卢霍夫斯基方程（以及 2CC 模型）则给出 ε_cr = 4/(1 − μσ²)。对于所考虑的双峰分布，若 μσ² ≪ 1，则该不准确性的绝对值很小。

综上所述，对双峰分布的数值比较发现，结果与 Buckingham 量纲分析法（第 VI A 节）的结果基本一致，并证实了含惯性修正的少量 CC 模型的适用性由不等式链 (129) 给出。值得注意的是，仅使用前两个 CC 的解能相当合理地捕捉噪声和惯性对时间无关态的影响。此外，它能充分再现文献中早先报道的无惯性情况下双峰分布的分岔情景 [70–73]。在含惯性的情形下，圆周累积量方法似乎是一个有前景的研究工具。

VII. 结论

本文针对含小惯性或大耗散的朗之万方程，探讨了消除速度（快变量）并将系统描述约化为单一变量 φ 的有效动力学问题。我们详细考察了四种方法：

a. 矩形式体系：以 wₙ(φ) = ∫₋∞⁺∞ vⁿρ(v, φ) dv 表示；使用方程 (16)–(19) 进行计算，参见图1(a) 和图2(a) [或对活性布朗粒子采用方程 (69)，见图3]。绝热消除需要元素 0–2；μ¹ 修正：0–4；μᵐ 修正：0–(2m + 2)。对于 wₙ 的无限方程链，最优截断发生在偶数阶元素 n = 2m 处，因为若将奇数阶元素作为最后一个非零项保留，会引入较大的截断误差并降低解的精度。

b. 累积量形式体系：以 Kₙ(φ)（或 χₙ = Kₙ/n!）表示，由递推公式 (39) 定义；使用方程 (42)–(43) 进行计算，参见图1(b) 和图2(b)。绝热消除需要元素 0–2；μ¹ 修正：0–2（绝热消除时使用相同的三个方程，但更高阶贡献被忽略）；μᵐ 修正：0–(m + 1)。

c. 厄米函数基 hₙ(u)，其为算子 L̂₁ = ∂ᵤ(u + ∂ᵤ) 的本征函数：

使用方程 (52)–(53) 进行计算，参见图1(c) 和图2(c)。绝热消除需要元素 0–1；μ¹ 修正：0–2；μᵐ 修正：0–(m + 1)。

d. 厄米函数基表示下的累积量形式体系类比：以由递推公式 (59) 定义的 χₙ 表示；使用方程 (60)–(61) 进行计算，参见图1(d) 和图2(d)。绝热消除需要元素 0–1；μ¹ 修正：0–2；μᵐ 修正：0–(m + 1)。

矩形式体系（a）和累积量形式体系（b）可直接用于活性布朗粒子群体宏观动力学的数值模拟 [25,65–67]（见图3）。通常，对于具有小但有限惯性的活性布朗粒子系统（69），计算需要冗长的级数展开，并可能遭遇数值不稳定性。为克服这些困难，我们采用了文献 [58] 中对指数时间差分法 [59] 的改进版本。

这些表示法也适用于理论研究。在活性粒子快变量消除程序的框架内，我们推导出了针对一维过活性粒子的有效随机动力学描述：参见福克–普朗克型方程 (119)。在二维和三维情形下，小惯性粒子的扩散/确定性动力学与速度角的随机游走/动力学相关联 [25–27,55–57]。在一维情形下，该自由度不存在，扩散完全由间歇性的速度反向（经过零点，伴随旋转运动）贡献。对于小惯性情形，该机制在高维中可忽略，其数学理论较为繁琐（见第四节）。福克–普朗克方程 (119) 中的扩散项和受迫漂移项，其常数 G₂ 和 γ₁ 由方程 (118) 和 (80) 给出，是本文的主要成果之一。

采用厄米函数基的方法（c）和（d）对于具有线性耗散律的系统最为高效 [13]。然而，将其推广到非线性耗散律（包括活性布朗粒子）时，需针对每个新定律进行单独的数学准备工作，这可能会带来问题。

本文的第二个主要实用成果是针对线性耗散律推导得出的。我们采用含时依赖力 F(φ, t) 的修正斯莫卢霍夫斯基方程 (34)，构建了适用于具有小有效惯性的振子的 Ott–Antonsen 假设的推广形式：参见第六节及方程 (124) 和 (125)。这些方程是一个封闭的四维（两个复变量）方程组，支配着 Kuramoto 序参量 κ₁ = a₁ 及其偏离 Ott–Antonsen 假设的部分 κ₂ = a₂ − a₁² 的宏观动力学。

原文链接： https://arxiv.org/pdf/2510.08502