宇宙的本质：对称性和最小作用量原理

第一章：对称性和最小作用量原理

我在知乎上，看到过这样一个问题：力和能量哪一个更为本质？

对于这个问题，你会怎么思考？就是这个问题，引导我进行了一些思考，然后就有了后面的论述。

知乎上的朋友怎么回答的，我摘录一个大家看看【会有改动】：力和能量，其实都不是最根本的。在牛顿力学里面，力是一个最直观的概念，但一旦进入场论，力就只是相互作用的一种“表象”。比如电磁力，它本质上就只是带电粒子和电磁场的相互作用。

能量看起来比力要更为根本，但从数学上讲，能量只是“时间平移对称性”的产物。能量守恒之所以成立，是因为自然界在时间上具有均匀性，而不是因为能量本身是某种根本的存在。

“时间平移对称性”我们后面还会提到，有必要给做一个通俗的解释。“时间平移对称性”这个概念，可以分为两个层面来理解：一是其直观含义，二是其深刻的物理意义。

一、时间平移对称性是什么？

1. 直观定义： 时间平移对称性，顾名思义，指的是物理定律在时间上的平移（即时间的流逝）下保持不变。

换句话说，无论你今天、明天还是一年后做同一个实验，只要初始条件完全相同，你得到的结果也会完全相同。物理规律不会因为时间是“2023年9月5日”还是“2024年9月5日”而改变。

例子1： 万有引力定律。苹果从树上落下，无论是在牛顿时代还是在今天，它都遵循F＝GMm/r² 的规律下落。引力常数G不会随着时间改变。

例子2：真空中光速不变。光在真空中的速度始终是 c≈3×108 m/s，这个值不随时间变化。

如果物理定律不具备时间平移对称性，那么科学实验将无法重复验证，整个科学体系也会崩塌，因为我们无法根据过去的实验预测未来的结果。

2. 深刻的物理意义（诺特定理）：这是这个概念最精彩的部分。时间平移对称性不仅仅是一个哲学观念，它直接导致了物理学中一条极其重要的守恒定律。

诺特定理指出：每一种连续对称性都对应着一个物理量的守恒定律。

· 空间平移对称性（物理定律在空间各处相同）对应动量守恒。

· 空间旋转对称性（物理定律在空间各个方向相同）对应 角动量守恒。

· 时间平移对称性（物理定律不随时间改变）对应 能量守恒。

因此，时间平移对称性之所以如此重要，是因为它正是能量守恒定律的根源。宇宙的基本规律不随时间流逝而改变，这一事实保证了能量既不能被创造，也不能被消灭，只能从一种形式转化为另一种形式。

1. 谁提出了“时间平移对称性”这一思想？这个思想其实非常古老，隐含在早期科学家的思考中。艾萨克·牛顿（Isaac Newton）的绝对时空观就为这种对称性提供了舞台。在他的经典力学体系中，时间是一个均匀、不断流逝的背景参数，物理定律在这个背景下成立。所以，可以说是牛顿力学体系本身就蕴含了时间平移对称性的思想。

2. 谁发现了其与能量守恒的深刻联系（即理论化）？ 这位科学家是埃米·诺特（Emmy Noether），一位德国的杰出数学家。

1915年，诺特受邀来到哥廷根大学，在数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert） 和费利克斯·克莱因（Felix Klein） 的邀请下，帮助解决爱因斯坦广义相对论中的能量守恒问题。

1918年，她发表了她里程碑式的论文，提出了现在被称为 “诺特定理”（Noether‘s Theorem） 的伟大发现。这个定理精确地证明了时间平移对称性必然导致能量守恒。

因此，时间平移对称性作为一个基本事实，其思想早已存在（如牛顿力学）。但是，是数学家埃米·诺特在1918年以其著名的“诺特定理”，首次深刻揭示并证明了“时间平移对称性”与“能量守恒定律”之间的必然因果关系。

在现代物理学中，“对称性”和“作用量原理”才是最本质的。对称性决定了守恒量，比如能量、动量、电荷等等的守恒。作用量的最小化原则又决定了运动方程。力是从作用量推导出来的一个次级概念，能量也是从对称性和作用量中推导出来的概念。换句话说就是，力和能量都不是最根本的，它们只是深层规律的一个衍生品。

那什么是“作用量原理”？作用量原理，也称为最小作用量原理或稳定作用量原理，是物理学中一个描述系统随时间演化的普遍法则。

1. 核心思想：大自然在演化时，似乎总是选择一个“最经济”或“最有效率”的路径。这个“效率”不是由能量或速度决定的，而是由一个叫做“作用量（Action）” 的物理量决定的。

该原理可以表述为：一个物理系统在所有可能发生的真实运动路径中，其作用量取极值（通常是最小值，但有时是最大值或驻值）。

2. 关键概念：

作用量(Action, S)： 这是一个标量（一个数字），其大小取决于系统整个路径的形态。它不是一个点上的函数，而是整个路径的函数之函数（泛函）。对于经典力学，作用量通常定义为拉格朗日函数L 对时间的积分：S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) dt

其中，L = T - V，即动能减去势能。q 是广义坐标，描述系统的位置。

变分法(Calculus of Variations)：这是数学上寻找泛函极值的方法。我们可以把它想象成“为整个路径求导”。应用变分法来寻找使作用量 S 取极值的路径，就可以推导出系统的运动方程。

3. 一个直观的类比：想象光从空气进入水中发生折射。

它为什么不走直线？因为水中速度慢，直线路径虽然距离短，但“花费”的时间并不是最少的。

它为什么不垂直下落？虽然在水里待的时间最短，但总路径又太长。

光实际上选择了一条“折中”的路径，使得总的旅行时间最短（这本身就是一种作用量原理，费马原理）。

作用量原理就像这个故事的升级版：系统不是在最小化时间，而是在最小化一个更抽象的“作用量”。

4. 为什么它如此强大和优美？

统一性：它用一个简单的公式δS = 0（作用量的变分为零）就可以推导出整个系统的所有运动方程（如牛顿第二定律、麦克斯韦方程、爱因斯坦场方程等）。

普适性：从经典力学到电磁学，从量子力学到相对论，几乎所有的物理基本定律都可以从作用量原理中导出。它是现代物理理论的标准表述方式。

深刻性：它暗示自然似乎有一种“目的性”或“经济性”，并且为理解对称性和守恒律（通过诺特定理）提供了最自然的基础。

作用量原理的发现和发展是一个跨越几个世纪的漫长过程，并非一人之功。以下是其中的关键人物：

1. 皮埃尔·德·费马 (Pierre de Fermat) - 1662年

提出了费马原理，指出光在两个点之间传播的路径是所需时间最短的路径。这可以说是作用量原理的最早雏形，但仅限于几何光学。

2. 皮埃尔·路易·莫佩尔蒂 (Pierre-Louis Maupertuis) - 1744年

首次提出了一个更一般的“最小作用量原理”。他认为自然界的运动发生时，一个叫做“作用量”（他定义为动量×距离）的量应取最小值。他的动机带有哲学和神学色彩（证明上帝设计的宇宙是“最经济的”）。虽然他的数学表述不完全正确，但他命名并推广了这一思想。

3. 莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) - 1744年

与莫佩尔蒂同期，欧拉独立地发展了变分法，并为处理这类极值问题提供了严格的数学工具。

4. 约瑟夫-路易·拉格朗日 (Joseph-Louis Lagrange) - 约 1760年

他是真正将作用量原理数学化和完善化的关键人物。他明确了作用量S 是拉格朗日函数 L 对时间的积分，并表明通过变分法 δS = 0 可以系统地推导出所有力学系统的运动方程（即欧拉-拉格朗日方程）。他的著作《分析力学》完全基于这个原理，无需借助牛顿的几何矢量分析。

5. 威廉·罗文·哈密顿 (William Rowan Hamilton) - 1830s

他进一步抽象和推广了拉格朗日的工作，提出了哈密顿原理，这是现代形式的作用量原理的最终表述。他还发展了哈密顿力学，将能量（哈密顿量H）置于中心地位，这为后续的统计力学和量子力学的发展铺平了道路。

因此，作用量原理由莫佩尔蒂提出核心思想，经欧拉和拉格朗日之手数学化并完善，最终由哈密顿完成其现代表述。其中，拉格朗日的贡献被视为最关键的一步。

最早人们对运动的理解非常朴素，你推一个东西，就能感受到力，牛顿就是在这样的直觉基础上建立的经典力学。但后来发现，用能量描述问题，往往会比力更简洁、更普遍。

比如在热力学领域，根本不好去谈“力”究竟是什么，反而是“能量”这样概念贯穿始终。再比如说，在电磁学领域，电场力、磁场力其实都有能量表达式，整个体系用能量来处理，比用“力”更加自然。

当物理学进入拉格朗日力学、哈密顿力学的时候，“力”几乎被完全地边缘化了。你根本不需要先定义一个力，如上文所述，只需要写出能量函数就可以推导出运动方程。

所以物理学家们意识到，能量比力更接近本质。无论是在相对论还是在量子力学里面，能量守恒都是最基本的规律。但数学家诺特告诉我们，能量守恒之所以存在，是因为自然界的规律在时间上是不变的，也就是所谓的时间平移对称性。通俗的说，如果今天的自然规律和明天的自然规律完全一样，那么能量就一定是守恒的。

能量看起来更本质，其实它只是“对称性”这个深层规律的结果。所以现在的物理学家们普遍认为，力不是最根本的，能量也不是最根本的，他们都来自一个更深的层次，那就是对称性和作用量原理。

对称性是大自然最深层的秩序，它决定了哪些东西必须守恒。比如时间的对称性就决定了能量守恒，空间的对称性决定了动量守恒，旋转的对称性决定了角动量守恒。作用量原理就像是宇宙的规则，它规定所有物理系统的演化都会沿着使得作用量最小的道路进行。这个规则一旦确定，力和能量都能从里面推导出来。力和能量都是我们理解世界的工具，但它们并不是宇宙最根本的原理，对称性和作用量才是。

为了照顾更多的读者，我来详细解读一下。

1. 力和能量在物理学中的角色

力：在牛顿力学中，力是描述物体运动变化的原因（如 ( F = ma )），它是一个直观的概念。但当物理学发展到场论（如电磁场、广义相对论）时，力不再是最基本的。例如，电磁力被理解为带电粒子与电磁场的相互作用，而场本身由更一般的方程（如麦克斯韦方程）描述，这些方程可以从作用量原理导出。

能量：能量是一个守恒量，但它的守恒性源于更深层的原理。根据诺特定理，每一个连续对称性都对应一个守恒定律。能量守恒源于时间平移对称性（即物理定律在时间上均匀）。因此，能量是对称性的产物，而不是原始实体。

2. 对称性和作用量原理的本质性

对称性：现代物理学（如量子场论、广义相对论）强调对称性的核心地位。对称性决定了所有基本守恒定律，如能量、动量、角动量、电荷等。例如，标准模型中的规范对称性定义了基本相互作用。

作用量原理：物理系统的行为通常由作用量（action）极值原理（如哈密顿原理）决定。作用量是拉格朗日量对时间的积分，运动方程（如欧拉-拉格朗日方程）可以从其导出。力往往作为势能的梯度出现，而能量是哈密顿量或拉格朗日量的组成部分。

3. 物理学发展的视角

牛顿力学：力是核心，但它无法解释所有现象（如电磁现象）。

分析力学（拉格朗日、哈密顿形式）：强调能量和作用量，力成为派生概念。

场论和现代物理：对称性和作用量成为理论基础。例如，在广义相对论中，引力不是力，而是时空弯曲的几何效应；在量子场论中，粒子通过场相互作用，作用量包含所有动力学信息。

现代物理学的共识：力和能量都是次级概念，而对称性和作用量原理更为根本。这并不意味着力和能量不重要——它们在实用计算和直观理解中极其有用——但它们的根源在于更深层的物理原理。

摘自独立学者，作家灵遁者科普书籍《信息与关系》

作者简介：灵遁者，中国独立学者。原名王银，陕西绥德县人。1988年出生，现居西安。哲学家，艺术家，作家。代表作品《触摸世界》《行者乾坤》《探索生命》《变化》《相观天下》《手诊面诊色诊大全》《笔有千钧》《非线性波动》《见微知著》《探索宇宙》《伟大的秘密》《自卑之旅》《云淡风清》《我的世界》《牙牙学语》等。其作品朴实大胆，富有新意。

个人座右铭：生命在于运动，更在于探索。

灵遁者热读书籍有：科普六部曲，国学三部曲，散文小说五部曲。

科普五部曲分别为：《变化》《见微知著》《探索生命》《重构世界》《观自在大千世界》《信息与关系》。

国学三部曲分别为：《相观天下》《手诊面诊色诊大观园》《朴易天下》。

散文小说五部曲分别为：《伟大的秘密》《非线性波动》《从今往后》，《云淡风轻》《我的世界》《春风与你》。