量子力学基本法则——薛定谔方程数学结构全解读

大名鼎鼎的薛定谔方程描述了电子绕原子核的运动状态，定态形式看着还是比较简单：

薛定谔方程的定态形式

定态形式不含波的位置随时间演化过程，真正能反映电子状态的薛定谔方程三维形式如下：

ih∂ψ/∂t = V(x,y,z)ψ - h²(∂²ψ/∂x²+∂²ψ/∂y²+∂²ψ/∂z²) /2m

等式左边：i为虚数，h为约化普朗克常数（即普朗克常数除以2π）；∂ψ/∂t表示电子的波函数对时间的微分。

等式右边：V(x,y,z)ψ表示电子在原子核所辐射电磁场的势能；m为电子质量；▽=∂²ψ/∂x²+∂²ψ/∂y²+∂²ψ/∂z²，▽即拉普拉斯算子，表示波函数对三维坐标的二次微分。

这样讲比较抽象，为了让没有微积分基础的读者也能理解，我们决定抛开官方传统术语，用通俗的语言详解薛定谔方程。

本文还是先分项讲解，最后总结。

1-波函数ψ

首先，要理解这个方程，必须要理解什么是波函数ψ。我之前的文章《量子力学中虚数的数学形式和物理意义》已经介绍过波函数的基本概念，量子力学中的波都可以视为一个或多个简谐波的合成。

1-1.一维平面波很好理解，比较直观的类似于水波，几何模型如下：

一维正弦简谐波，A为振幅，λ为波长

1-2.三维空间波稍微复杂一点，几何形态如下：

电子绕核旋转的轨迹像弹簧的螺旋线

如果我们将上图弹簧的红色中心看作原子核，那么电子绕核旋转的轨迹类似于环绕一圈的弹簧，即电子绕核圆周运动的同时，还以轨道中心为轴沿着螺旋线进行三维波动。

电子绕核圆周运动的轨迹每次都是不一样的，绕行直径和角度均有改变

一个电子绕核旋转一周后，又切换到一个与之前不共面的轨迹继续绕核旋转。大约要运动10^35圈（^表示次方），该电子才会重复最初的轨迹。

1-3.对于一维的平面波，如果不考虑初相位，平面波以ψ(x,t)表示，方程如下：

平面波函数公式

t为时间；f为频率即周期的倒数，ω为角频率，则ω=2πf； A为振幅；k为波数，λ为波长，有k=2π/λ；e为自然常数。

余弦cos算符中的ωt-kx，我们称之为波函数的相。

1-4.对于三维空间波，用笛卡尔坐标表示的方程如下：

三维波函数公式

K_x、K_y、K_z分别为x、y、z轴上的分量波数。

1-5.代入量子力学的德布罗意公式，E=Hv和P=h/λ（E为粒子的能量，P为动量；v为粒子波的频率，λ为波长；h为普朗克常数），上面1-3和1-4中的公式可以写作：

含能量和动量项的三维波函数公式

其中ψ0为不考虑时间的波函数，称为本征态函数；此时粒子具有确定的能量E，称为本征能量。

坐标0的位置，对应的就是波本征态ψ0，本征能量为E

本征态可能不太好理解，举个例子：称体重时你站在电子秤上静止不动，这时得出的重量就是本征态；如果你在电子秤上一直晃动，得出的重量就不是本征态而是状态值。

1-6.概括一下波函数的实质：粒子的波形在三维空间中，位置随着时间变化的数学形式。

2- 方程左边的h∂ψ/∂t

数学中位置对时间的微分，就是瞬间速率

薛定谔方程左边的∂ψ/∂t，数学上是波函数对时间求偏导，是∂ψ(x,y,z,t)/∂t的简化写法，即将电子的位置x/y/z作为常数，波函数ψ(x,y,z,t)对时间t求偏导。

2-1.在几何上，波函数ψ是粒子在希尔伯特空间中（多维空间）的运动轨迹，波函数对时间的导数∂ψ/∂t给出了这条轨迹的切向量（这类似于平面几何中，做一条直线与圆相切），换句话说就是波的位置随时间变化曲线的斜率。

2-2.量子力学中，∂ψ/∂t是波函数随时间的变化率，它表示了电子运动位置随时间变化的速率， ∂ψ/∂t越大意味着电子的速率越大，那么其能量值也就越大；反之越小。

普朗克常数即一个光子携带的能量，其余量子的能量都是它的整数倍

2-3.量子力学中，普朗克常数为h≈6.62×10^−34焦耳·秒(J·s)，表示了最小的量子能量单位。

2-4.那么三维波函数对时间的微分∂ψ/∂t，可以理解为粒子波的运动速率，再乘以普朗克常数基本能量单位；于是h ∂ψ/∂t的意义呼之欲出，即电子在电磁场中的总能量。

3- 方程右边的拉普拉斯算子▽

拉普拉斯算子可以认为是空间中某一点的曲率T的变化值

拉普拉斯算子▽=∂²ψ/∂x²+∂²ψ/∂y²+∂²ψ/∂z²，是波函数对三维坐标的二阶求导（或称二阶偏微分），在代数中的意义是：函数对其中的某个变量第一次微分运算后，再一次进行微分。

2-1.在几何上，波函数对位置的一阶求导∂ψ/∂x，表示波函数在空间某个点上函数值变化最快的方向，也称为梯度。而二阶求导∂²ψ/∂x²则表示该点与邻近区域的函数值变化率，即梯度的散度，我们可以理解为当前点对连续性函数中相邻区域的凹陷或凸起的程度，即波函数在希尔伯特空间中的曲率。

波函数曲率k值越大，粒子的动能就越大

2-2. 量子力学中，拉普拉斯算子▽可理解为波函数在空间中的曲率，曲率即波形的弯曲程度，表示了物质在空间获得加速的能力，代表着物质的能量。

曲率k越大，意味着电子的螺旋线构成的曲面越弯曲，那么其动能越大；反之则动能越小。

为了便于大家理解，见上图弹簧，曲率k值越大表示弹簧的螺旋线被压缩后圆弧半径变小，弹簧所储备的能量也越大，那么其动能也就越大。

2-3.从上得知，拉普拉斯算子▽表示了电子的动能，即电子波动的能量。

4- 方程右边的势能V(x,y,z)

钟摆摆动到最高点则势能越大，动能最小；最低点势能最小，动能最大

右边的势能V(x,y,z)，表示了电子在电磁场中的势能。

4-1.势能是高中就学习过的基本概念，是指物体在作用力下，因其位置或状态而具备的能量，这种能量可与其它形式的能量（比如动能）进行相互转化。

比如登山者受到重力作用，其所处的海拔越高，则人对海平面的势能就越大。

库仑力是电荷之间产生的一种静电力

4-2.原子核作为电磁场的场源，电子被电磁力牵引绕其旋转，电磁力F满足库仑公式：

F = kQq/r²

其中Q为原子核的电荷，q为电子的电荷，k为库仑常数，r为原子核和电子的球面距离。

r满足公式：

r = Sqrt(x²+y²+z²)

那么电子在该电磁场的势能V为：

V(x,y,z) = kQq/r

从这个公式可轻易看出，电子离原子核越近势能越大，离原子核越远则势能越小。

4-3.由此可知，势能V(x,y,z)表示了电子在能量场中所储备的能量，是产生粒子动能的能量源。

5- 薛定谔方程整体详解

除了虚数i之外（后面将解释i的含义），上面已经解释了薛定谔方程中各函数的数学和物理意义，我们来综合叙述方程的整体意义。

完整形式的薛定谔方程

5-1.去繁化简，薛定谔方程纯粹的文字描述如下：

粒子的总能量 = 粒子的场势能 – 粒子的动能

薛定谔方程属于本征值方程，以电子运动的能量为总的约束条件，来解释电子在原子核所辐射空间的运动状态。通过求解薛定谔方程，得到的是到电子在不同能级区的波函数和本征能量值。

中间紫色代表原子核，同心圆1~5代表电子绕核运动的轨道，表示了不同的能级

举个例子见上图，电子绕原子核运动的轨道1~5之间，分为K/L/M/N/O五个能级区。

K/L/M/N/O区每个能级中，电子又按照上图的波函数在空间做三维螺旋运动，并且每个能级区的波函数和本征能量是不同的。离原子核越远的能级区，电子波动的螺旋线直径越小、螺距越小，电子运动速度越快则动能越大，势能越小；离原子核越近的能级区，电子波动的螺旋线直径越大、螺距越大，电子运动速度越慢则动能越小，势能越大。

概率云即电子在一定区域内，以一定的概率出现在某个确定位置，这体现了粒子运动的不确定性

5-2. 薛定谔本人也无法解释方程中的虚数i，物理学家海森堡给出了合理的解释，对方程的解取模值的平方，即：

|iψ²|=ψ²

这就是概率云，表明电子具备波粒二象性，以一定的概率出现在原子核周围，是具备不确定的概率波，波函数满足概率统计的归一化条件，即粒子出现在全部区域的概率之和为1：

∫|ψr|²dr = 1

积分区间为(-∞, +∞)，表示电磁场作用范围为无穷远。

薛定谔的猫

5-3.推而广之，薛定谔的那只著名的猫：密封在盒子里的猫，在你观察之前，它的死活都存在一定的概率。

其实这个实验从来没有人做过，薛定谔并不是想论述猫的死活，只是用猫来比喻量子的状态，具备不可观测性和不确定性，这也是量子力学最基本的逻辑。

总结：

再次写出薛定谔方程的完整形式：

ih∂ψ/∂t = V(x,y,z)ψ - h²(∂²ψ/∂x²+∂²ψ/∂y²+∂²ψ/∂z²) /2m

方程中，普朗克常数h表示了电子是一种不可再分的基本粒子（即量子），电子具有质量m表示了电子是一种粒子，波函数ψ表示了电子还是一种波，拉普拉斯算子▽表示了电子的波动能量，V(x,y,z) 表示了电子在电磁场中的势能，虚数i则表示了电子运动位置是不确定的且只能以概率表示。

一切粒子都具备波粒二象性，轻子在能量场中周期性波动，重子则沿着本征态往复振动

薛定谔方程从本质上描述了以下两点：

★电子在电磁场中势能和动能的转换过程，势能是为电子带来动能的能量源，并驱使电子的波动，且势能与动能之和满足能量守恒。

★一切微观粒子既是实粒子也是波，就某一特定时间而言，其运动位置和能量是无法准确观测的。

薛定谔方程不仅体现了物理场中能量守恒的基本原理，也为粒子是波还是粒子的百年之争画上了句号——一切粒子都具备波粒二象性，同时具有不可观测性和不可预测性。

上面两位就不用介绍了，下左为麦克斯韦，下右为薛定谔

薛定谔方程可以说是量子力学的基石，与牛顿三大定律、爱因斯坦质能方程、麦克斯韦方程组并称为人类历史上最伟大的物理公式，谨以此文致敬上述几位科学巨匠。