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No.340
圆周率的推算
金 庸
梁羽生兄在《数学与逻辑》一文中，曾谈到祖冲之的圆周率，说是全世界最早的精密。这在数学史上是一个有趣的问题。
圆周与直径的比例怎样，这在实用上是常遇到的，我国最早的数学书是《周髀算经》，其中称“周三径一”，即周率是三。据传说，这是周初的商高计算出来的。如果传说不错，那么这是公元前十二世纪的事了。
希腊人说，周率的应用是始于公元前三世纪的大物理学家阿基米德，就是那位因洗澡而发现阿基米德定律的人。希腊人称圆周率为“阿基米德值”。
阿基米德雕像
我国著名桥梁专家、设计建造钱塘江大桥的茅以升先生在《圆周率略史》中说：“西洋数学史多以为此率源于印度，而声息相通之阿拉伯亦认为印度所产。”
到底，粗疏的圆周率是哪一民族的人最先发现的？我想，三与一之比的周率，随便用尺与绳子一量就量得出来。在实用上需用的时候，许多民族都会一量而依照这比率计算。所以，到底谁最早发现，那是很难说的。至于精密的计算，则是较后的事。
我们说祖冲之最先计算出精密的圆周率，是根据《隋书·律历志》中的记载。那上面说：“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。又设开差冪，开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。”
这一段话稍加说明，就极易清楚：
我国历史上首先用数学方法推算圆周率的，是汉代的大学者刘歆（公元23年为王莽所杀），他的圆周率是3.1547。张衡（78—139）是我国著名的天文学家，他的周率是。刘徽（公元263年前后时人）用割圆术来推算，即圆内画一六边形，逐渐增加边数，这多边形与圆会越来越接近，计算多边形的边，算到九十六边形时，周率定为3.14。王蕃（228—266）是142/45=3.155。皮延宗（公元445年前后时人）的周率考查不出来。据李俨的《中国算学史》中说，在祖冲之之前，还有一位何承天（370—447），周率为22/7，即3.1428。这些周率都不精密。
祖冲之
祖冲之（429—500）是南北朝的刘宋时人，他算出的周率据《隋书》中说，是小于3.1415927而大于3.1415926，可定为3.14159265，精密地说，是355/113，约略地说，是22/7。西欧人算得这样精密的，是一千多年以后（公元1573年）的德国人奥托，但他也只算到小数点后的六位。
祖冲之的儿子祖恒之，也是一位大数学家，他发现了计算圆球体面积与体积的公式。因为他们的推理方法在那时是太精妙了，管理文化教育事宜的官吏根本不懂，于是“废而不理”。
在各文化古国中，我国的数学是不算十分发达的。我国数学一直限制于实用，与实用无关的比较抽象的推理几乎都不去接触。最突出的贡献，恐怕是这圆周率了。我在初中读书时，教我数学的是章克标先生。他因写小说而出名，为人很是滑稽，同学们经常和他玩闹而不大听他讲书。他曾写过一部《数学的故事》，其中说到有一个欧洲青年花了极长的时间，把圆周率推算到小数点后六百多位。这个圆周率，当然是毫无实用价值的。
在写小说《书剑恩仇录》时，为了要多知道一些陈家洛的身世，我曾翻过一些关于他祖宗海宁陈氏的记载，发现有一位与他父亲陈世倌同辈的陈世仁（1676—1722）。这位先生是康熙时翰林，竟是一位数学大家，著有《少广补遗》一卷，对于“级数”颇有研究，发现了许多据说是前人从来没有谈过的公式。书中一直研究到奇数偶数平方立方的级数和等问题。
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