关于四点共球的一些奇怪思考

继物理学不存在之后，数学也不存在了？中学生都开始用数学写小说了！

最近小编收到一位初中生投稿，特邀大家一同看看中学生如何证明空间中任意不共面四点共球。其中或有不尽严谨之处，虽已尽力完善，然囿于所学，未能臻至完美。但其探究之心弥足珍贵，所思所想亦有可取之处。现展示给大家，恳请指点！

还记得以前看过一个很好笑的视频。大致内容是：王羲之写的每一个字都能三点切圆。

（图片来源于网络）

不愧是大名鼎鼎的书法家！有一点数学素养的人，用脚趾头都能想到，平面内，只要不在同一条直线上的任意三点都能共圆。

如图，在纸上任意作三点A，B，C（A，B，C不共线），只要作出AB的中垂线与AC的中垂线，其两线的交点O即为圆心。以O为圆心，AO为半径，即可作出三角形ABC的外接圆，此时A，B，C共圆。

由此，我便联想到一个问题：如果点的个数增加一个，同时把平面的二维升到三维，那么四点能共三维的圆，即：

在三维空间中，任意四点能共球吗？

于是我与另一位同学展开了奇怪的思考探究过程。

---我是二维与三维的分割线---

如图，我在一个空间内作了四个点A，B，C，D。其中，A，B，C，D不共面。

由于ABC三点共圆，易得ABC共面。事实上，在空间内，任意不在同一直线上的三点都共面。

为了作图方便，这里设A，B，C三点共水平面α。

由于D不在平面α上，这里设D在平面α上方某一位置。

然后作三角形ABC的外心O（三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，即三角形外接圆的圆心），以O为圆心，OA为半径作圆并经过A，B，C三点。

此时OA=OB=OC=r。

如果A，B，C，D四点共球，则球心到空间内的四个点的距离必相等，已经有三条线段（OA，OB，OC）相等了，现在还差一个OD。那么为了让OD也等于r，我们可以先求出OA=OB=OC时，O的轨迹是什么。交轨法非常好用，只要求得O的轨迹，便可在轨迹上寻找一点O’，使O’A=O'B=O'C=O'D=r。

根据直觉很容易知道，这条轨迹是过圆O且垂直于平面α的直线。

那么如何证明呢？

如图，我过O作了一条直线OP，使得OP⊥平面α。在OP上任取一点Q（Q不与O重合），求证：QA=QB=QC。

∵OP⊥α，A，B，C，O在平面α上
∴OA⊥OP，OB⊥OP，OC⊥OP
∴∠QOA=∠QOB=∠QOC=90°
又∵在圆O中，OA=OB
OQ=OQ
∴三角形OQA全等于三角形OQB
同理，三角形OQB全等于三角形OQC
由全等三角形的传递性，
∴三角形OQA全等于三角形OQB全等于三角形OQC
∴QA=QB=QC

所以说在OP上任意一点Q，都能使QA=QB=QC。

现在联结BD，作BD的中点M，再过M作平面β，使平面β垂直于BD。

此时在平面β上任意一点N，都有ND=NB。

证明：
联结ND，NB，NM。
∵M为BD中点
∴MD=MB
∵BD⊥平面β
∴NM⊥BD
由等腰三角形三线合一性质知，ND=NB。

平面β与OP交于O'点。那为什么平面β与OP一定会有交点呢？有没有可能它们没有交点呢？

证明：运用反证法
设平面β∥OP
∵BD⊥β
∴OP⊥BD
又∵OP⊥OB
∴OP⊥平面DBO
∵OP⊥平面ABCO（平面α）
∴平面DBO，平面ABCO重合或平行
∵平面DBO，平面ABCO有B，O两个公共点
∴两面重合
∴A，B，C，D，O共面，与假设“A，B，C，D不在同一平面内”矛盾

所以平面β必与OP交于一点O’。

此时O'B=O'D

∴O'A=O'B=O'C=O'D

所以以O'为圆心，以O'A为半径作球O'，这个时候，A，B，C，D共球O'。

到此，四点共球得证。

但是，我与同学有了更大的野心：既然四点共球，那么视野再放宽，来到四维空间，能否证明：

四维空间中任意不在同一空间内的五点，能否共四维球？

---我是难度飙升三维与四维的分界线---

编者注：从三维到四维不一定能做几何上的简单类比，代数方法更为严谨，各位自行斟酌阅读。

刚刚，我们都在三维空间内讨论四点共球，现在增加了一个维度，怎么办呢？这个时候，需要通过一种最朴素的方法——建系，来增加理解。

刚刚讨论的三维空间，其实可以画作一个空间直角坐标系Oxyz，此时O为原点，x为表示前后的轴，y为表示左右的轴，z为表示上下的轴。

将球O放入空间直角坐标系中，可得到：

现在，我们要增加一条轴：t轴。

很多科学家说第四维度是时间，但是这里我把第四维度仍然当作空间的一个维度。

过O作一条轴t。此时，x轴，y轴，z轴，t轴两两垂直。这在我们生活的三维世界中是不存在的，所以比较难理解，但是在四维空间中，这是可实现的。

由于ABCD共球O，易得A，B，C，D共一空间。在空间ABCD外，有一点E。

运用类比的思想，还是交轨法，现在OA=OB=OC=OD，如何在第四个维度——t上，寻找一个轨迹，在这轨迹上的任意一点Q，都有QA=QB=QC=QD呢？

好比于在三维空间中，若一点不在一平面上，过这个点可以作这个平面的垂线，且有且只有一条。再推广到四维空间中，也可以过一点作三维空间的垂线，且有且仅有一条。

过O作OP垂直于空间ABCD（这里比较难理解，OP垂直于空间ABCD的任意一条棱，P在第四维空间中），易得此时P就在t轴上。在OP上作任意一点Q。求证：QA=QB=QC=QD

因为OP⊥空间ABCD
若在一空间中，一点垂直于一平面，则平面上任意一条直线均垂直于垂线段。现在升一个维度，若一个点垂直于一个空间，则空间中任意一个平面均垂直于四维中的垂线段。
∴∠QOA=∠QOB=∠QOC=∠QOD=90°
又QO=QO，OA=OB=OC=OD
∴三角形OQA全等于三角形OQB
同理，通过一大堆的证明与全等三角形的传递性，可得：
三角形OQA全等于OQB全等于OQC全等于OQD
∴QA=QB=QC=QD

所以在t轴上（即OP上）任意一点Q，都有QA=QB=QC=QD。

这时再联结AE。如果在三维世界中，你会看到这样一个景象：在空间里会出现一个悬空的点（没错，是悬空的，由于A在三维空间中，所以你能看到A），但是线段AE与E你是看不见的，是因为它们都延伸进入了四维空间，是你无法触及到的维度。

作AE的中点M，过M作平面β，使β垂直于AE。求证：平面β与t轴有且仅有一公共点。

还是运用反证法，设平面β∥t轴，与t轴没有公共点。
∵AE⊥β
∴AE⊥OP
∵OP⊥空间ABCDO
∴OP⊥AO
∴OP⊥平面AEO
∵OP⊥平面AOC
∴OP⊥空间AOCE
又∵OP⊥空间ABCDO
∴空间ABCDO与空间AOCE平行或重合
∵空间ABCDO与空间AOCE有A，O，C公共点
∴空间ABCDO与空间AOCE重合
∴A，B，C，D，O，E共空间
与假设“A，B，C，D，E不在同一三维空间中”矛盾

∴平面β与t轴必有且仅有一公共点，记此点为O'。

此时O'A=O'E

所以O'A=O'B=O'C=O'D=O'E。

∴球O'即为所求。由于球O’在四维空间中，不妨定义它为超球。

∴超球O'即为所求。

---我是四维与高维的分界线---

以此类推，6点共5维超球，7点共6维超球……

我们可以得到这样一个结论：

任意不在同一(n-1)维的空间中的（n+1）个点可以共n维（超）球或圆（n≥2）

n=2时，可得：任意不在同一一维空间上的三点，可以共二维球。

（说人话：任意不在同一直线上的三点共圆。）

n=3时，不在同一二维平面内的四个点可以共球

n=4时，不在同一三维空间内的五个点可以共四维超球。

真的很有意思。这本质就是一个维数增加，迭代的过程，没想到一个三点共圆，可以推出那么多的结论。

那么我得出这个结论的目的是什么呢？

宇宙有11维。若n=11，则可得到：

任意不在同一10维空间中的12点可以共11维超球。

所以说，只要给我12个点，我就能创造宇宙。

是不是很好笑？说实话，也挺幼稚的。

最后，这是我与由yy（18）同学因闲的没事干而探讨出了这个结论，本帖子对结论（即 任意不在同一(n-1)维的空间中，（n+1）个点可以共n维（超）球或圆（n≥2） ）作出了更完整，更严格的证明，并加以完善。

---End---

改版后备注

在四维以后，传统的几何方法局限于三维，不能再很方便地研究“五点共四维超球”问题，这就需要建立直角坐标系，通过定义四维坐标（x,y,z,t）的方式，利用点之间的距离公式（四维的公式为：

可以得到O'A,O'B,O'C,O'D,O'E的长度，只需要证明它们的距离相等，便能证明“五点共四维超球”及之后“以此类推”的定理。

由于本文撰写时间仓促，再加上代数方法过于复杂，作者实力不够，这里不作证明。有兴趣的读者可自行探索。

鸣谢名单：

1.由yy，协助我完成初步的探索

2.李xd，提供反证法解题思路，证明“平面β与OP必有一公共交点”问题

3.“二分”微信用户，为本文的第一版提出大量修改建议

以及所有支持我的粉丝们！

来源：数学幻境

原标题：关于四点共球的一些奇怪思考（修改版）

编辑：二分

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